Расширенная строка действительных чисел - Extended real number line

В математике , то аффинно расширенная система действительного числа получаются из вещественного числа системы пути добавления два бесконечности элементов: и где бесконечности рассматриваются как реальные цифры. Это полезно при описании алгебры бесконечностей и различных предельных поведений в исчислении и математическом анализе , особенно в теории меры и интегрирования . Аффинно расширенная система действительных чисел обозначается или, или Это завершение Дедекинда – МакНила действительных чисел. ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle + \ infty}$ ${\ displaystyle - \ infty,}$ ${\ Displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$ ${\ displaystyle [- \ infty, + \ infty]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ cup \ left \ {- \ infty, + \ infty \ right \}.}$

Когда значение ясно из контекста, символ часто записывается просто как ${\ displaystyle + \ infty}$ ${\ displaystyle \ infty.}$

Мотивация

Пределы

Часто бывает полезно описать поведение функции, поскольку либо аргумент, либо значение функции в некотором смысле становится «бесконечно большим». Например, рассмотрим функцию ${\ displaystyle f (x),}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle f (x)}$

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x ^ {2}}}.}

График этой функции имеет горизонтальную асимптоту при геометрическом движении все дальше вправо по оси - значение приближается к $0$ . Это ограничивающее поведение аналогично пределу функции, в которой действительное число приближается, за исключением того, что нет действительного числа, к которому приближается. ${\ displaystyle y = 0.}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ textstyle {1} / {х ^ {2}}}$ ${\ textstyle \ lim _ {х \ к х_ {0}} е (х)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x_ {0},}$ ${\ displaystyle x}$

Присоединяя элементы и чтобы она позволяет формулировку в «предел на бесконечности», с топологическими свойствами , сходными с таковыми для ${\ displaystyle + \ infty}$ ${\ displaystyle - \ infty}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$

Для того, чтобы сделать вещи совершенно формальным, в последовательности Коши определение о позволяет определить как совокупность всех последовательностей рациональных чисел, таких , что каждое связано с соответствующим , для которых для всех определению могут быть построены аналогично. ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle + \ infty}$ ${\ displaystyle \ left \ {a_ {n} \ right \}}$ ${\ Displaystyle M \ in \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle N \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle a_ {n}> M}$ ${\ displaystyle n> N.}$ ${\ displaystyle - \ infty}$

Измерение и интеграция

В теории меры часто бывает полезно разрешить множества с бесконечной мерой и интегралами, значение которых может быть бесконечным.

Такие меры естественным образом возникают из расчетов. Например, при назначении меры , чтобы , что согласуется с обычной длиной интервалов, эта мера должна быть больше , чем любое конечное действительное число. Кроме того, при рассмотрении несобственных интегралов , таких как ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

{\ displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {x}}}

возникает значение «бесконечность». Наконец, часто бывает полезно рассмотреть предел последовательности функций, например

{\ displaystyle f_ {n} (x) = {\ begin {case} 2n \ left (1-nx \ right), & {\ mbox {if}} 0 \ leq x \ leq {\ frac {1} {n }} \\ 0, & {\ mbox {if}} {\ frac {1} {n}} <x \ leq 1 \ end {case}}}

Без разрешения функций принимать бесконечные значения такие важные результаты, как теорема о монотонной сходимости и теорема о доминирующей сходимости , не имели бы смысла.

Порядок и топологические свойства

Аффинно расширенная система действительного числа может быть превращена в полностью упорядоченном множество , определив для всех С этой топологией порядка , обладают желательным свойством компактности : всякое подмножество имеет супремум и инфимум (инфимум пустого множества , а его супремум ). Кроме того, с этой топологией, является гомеоморфно на единичный интервал Таким образом, топология метризуемый , соответствующая (для данного гомеоморфизму) , чтобы обычный метрика на этом интервале. Однако не существует метрики, которая являлась бы расширением обычной метрики на ${\ displaystyle - \ infty \ leq a \ leq + \ infty}$ ${\ displaystyle a.}$ ${\ Displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$ ${\ Displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$ ${\ displaystyle + \ infty}$ ${\ displaystyle - \ infty}$ ${\ Displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$ ${\ displaystyle [0,1].}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$

В этой топологии множество является окрестностью из , если и только если она содержит набор для некоторого действительного числа Понятия окрестностей могут быть определена аналогичным образом . Используя эту характеристику расширенных вещественных окрестностей, пределы со стремлением к или и пределы, "равные" и , сводятся к общему топологическому определению пределов - вместо того, чтобы иметь специальное определение в действительной системе счисления. ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle + \ infty}$ ${\ Displaystyle \ {х: х> а \}}$ ${\ displaystyle a.}$ ${\ displaystyle - \ infty}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle + \ infty}$ ${\ displaystyle - \ infty}$ ${\ displaystyle + \ infty}$ ${\ displaystyle - \ infty}$

Арифметические операции

Арифметические операции можно частично расширить до следующего: ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$

{\ displaystyle {\ begin {align} a + \ infty = + \ infty + a & = + \ infty, & a & \ neq - \ infty \\ a- \ infty = - \ infty + a & = - \ infty, & a & \ neq + \ infty \\ a \ cdot (\ pm \ infty) = \ pm \ infty \ cdot a & = \ pm \ infty, & a & \ in (0, + \ infty] \\ a \ cdot (\ pm \ infty) = \ pm \ infty \ cdot a & = \ mp \ infty, & a & \ in [- \ infty, 0) \\ {\ frac {a} {\ pm \ infty}} & = 0, & a & \ in \ mathbb {R} \ \ {\ frac {\ pm \ infty} {a}} & = \ pm \ infty, & a & \ in (0, + \ infty) \\ {\ frac {\ pm \ infty} {a}} & = \ mp \ infty, & a & \ in (- \ infty, 0) \ end {выровнено}}}

Для возведения в степень см. Возведение в степень § Пределы полномочий . Здесь означает оба, а в то время как означает и то, и другое. ${\ displaystyle a + \ infty}$ ${\ Displaystyle а + (+ \ infty)}$ ${\ Displaystyle а - (- \ infty),}$ ${\ displaystyle a- \ infty}$ ${\ Displaystyle а - (+ \ infty)}$ ${\ displaystyle a + (- \ infty).}$

Выражения и (называемые неопределенными формами ) обычно остаются неопределенными . Эти правила построены на законах бесконечных ограничений . Однако в контексте теории вероятностей или меры часто определяется как ${\ Displaystyle \ infty - \ infty, 0 \ раз (\ pm \ infty)}$ ${\ Displaystyle \ pm \ infty / \ pm \ infty}$ ${\ displaystyle 0 \ times \ pm \ infty}$ ${\ displaystyle 0.}$

Когда мы имеем дело как с положительным и отрицательным расширенной действительными чисел, то выражение , как правило , остается неопределенные, потому что, хотя это правда , что для каждой реальной последовательности ненулевой , что сходится к обратной последовательности , в конечном счете , содержащийся в каждых окрестностях этого является не верно , что последовательность должен сам сходиться к одному или другим способом, если непрерывная функция достигает нуля при определенном значении, тогда это не обязательно тот случай, который стремится к одному или в пределе, как стремится к. Это случай для пределов функции идентичности when стремится к и of (для последней функции ни и не является пределом, даже если учитываются только положительные значения ). ${\ displaystyle 1/0}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle 0,}$ ${\ displaystyle 1 / f}$ ${\ displaystyle \ {\ infty, - \ infty \},}$ ${\ displaystyle 1 / f}$ ${\ displaystyle - \ infty}$ ${\ displaystyle \ infty.}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle x_ {0},}$ ${\ displaystyle 1 / f}$ ${\ displaystyle - \ infty}$ ${\ displaystyle \ infty}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x_ {0}.}$ ${\ Displaystyle е (х) = х}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle 0,}$ ${\ Displaystyle е (х) = х ^ {2} \ грех \ влево (1 / х \ вправо)}$ ${\ displaystyle - \ infty}$ ${\ displaystyle \ infty}$ ${\ displaystyle 1 / f (x),}$ ${\ displaystyle x}$

Однако в условиях , когда рассматриваются только неотрицательные значения, часто бывает удобно определить , например, при работе с степенных рядов, то радиус сходимости в виде степенных рядов с коэффициентами часто определяется как величина , обратная предельной-супремуму последовательность Таким образом, если можно взять значение, то можно использовать эту формулу независимо от того, есть ли предел-супремум или нет. ${\ displaystyle 1/0 = + \ infty.}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ ${\ displaystyle \ left \ {| a_ {n} | ^ {1 / n} \ right \}.}$ ${\ displaystyle 1/0}$ ${\ displaystyle + \ infty,}$ ${\ displaystyle 0}$

Алгебраические свойства

Согласно этим определениям, это даже не полугруппа , не говоря уже о группе , кольце или поле, как в случае с. Однако у него есть несколько удобных свойств: ${\ Displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$

${\ Displaystyle а + (Ь + с)}$ и либо равны, либо оба не определены. ${\ Displaystyle (а + б) + с}$
${\ displaystyle a + b}$ и либо равны, либо оба не определены. ${\ displaystyle b + a}$
${\ Displaystyle а \ cdot (б \ cdot с)}$ и либо равны, либо оба не определены. ${\ Displaystyle (а \ cdot b) \ cdot c}$
${\ displaystyle a \ cdot b}$ и либо равны, либо оба не определены ${\ displaystyle b \ cdot a}$
${\ Displaystyle а \ cdot (Ь + с)}$ и равны, если оба определены. ${\ Displaystyle (а \ cdot b) + (а \ cdot c)}$
Если и если определены оба и , то ${\ displaystyle a \ leq b}$ ${\ displaystyle a + c}$ ${\ displaystyle b + c}$ ${\ displaystyle a + c \ leq b + c.}$
Если и и если определены оба и , то ${\ displaystyle a \ leq b}$ ${\ displaystyle c> 0}$ ${\ displaystyle a \ cdot c}$ ${\ displaystyle b \ cdot c}$ ${\ displaystyle a \ cdot c \ leq b \ cdot c.}$

В общем, все законы арифметики действительны до тех пор, пока определены все встречающиеся выражения. ${\ Displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$

Разное

Некоторые функции можно непрерывно расширять за счет ограничения. Например, можно определить экстремальные точки следующих функций как: ${\ Displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$

{\ Displaystyle \ ехр (- \ infty) = 0,}

{\ Displaystyle \ пер (0) = - \ infty,}

{\ Displaystyle \ tanh (\ pm \ infty) = \ pm 1,}

{\ displaystyle \ arctan (\ pm \ infty) = \ pm {\ frac {\ pi} {2}}.}

Некоторые особенности могут быть дополнительно удалены. Например, функция может быть непрерывно расширена до (в соответствии с некоторыми определениями непрерывности) путем установки значения для и для и С другой стороны, функция не может быть непрерывно расширена, потому что функция приближается по мере приближения снизу, и как приближается сверху. ${\ displaystyle 1 / x ^ {2}}$ ${\ Displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$ ${\ displaystyle + \ infty}$ ${\ displaystyle x = 0,}$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ Displaystyle х = + \ infty}$ ${\ displaystyle x = - \ infty.}$ ${\ displaystyle 1 / x}$ ${\ displaystyle - \ infty}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle + \ infty}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle 0}$

Подобная, но другая система вещественных линий, проективно расширенная реальная линия , не различает и (т.е. бесконечность беззнаковая). В результате функция может иметь предел на проективно расширенной действительной линии, в то время как в аффинно расширенной системе вещественных чисел предел имеет только абсолютное значение функции, например, в случае функции в С другой стороны, и соответствуют на проективно расширенной вещественной прямой только пределу справа и одному пределу слева, соответственно, причем полный предел существует только тогда, когда они равны. Таким образом, функции и нельзя сделать непрерывными на проективно продолженной вещественной прямой. ${\ displaystyle + \ infty}$ ${\ displaystyle - \ infty}$ ${\ displaystyle \ infty}$ ${\ displaystyle 1 / x}$ ${\ displaystyle x = 0.}$ ${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к - \ infty} {е (х)}}$ ${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к + \ infty} {е (х)}}$ ${\ displaystyle e ^ {x}}$ ${\ Displaystyle \ arctan (х)}$ ${\ Displaystyle х = \ infty}$