Метод гибкости - Flexibility method

В структурной инженерии , то метод гибкости , называемый также методом последовательных деформаций , является традиционным методом для вычисления силы членов и смещений в структурных системах. Его современная версия, сформулированная в терминах матриц гибкости стержней, также носит название матричный метод силы из-за использования сил стержней в качестве первичных неизвестных.

Гибкость участников

Гибкость - это противоположность жесткости . Например, рассмотрим пружину, у которой Q и q - соответственно ее сила и деформация:

• Соотношение жесткости пружины Q = kq, где k - жесткость пружины.
• Его отношение гибкости q = f Q , где f - упругость пружины.
• Следовательно, f = 1 / k .

Типичное отношение гибкости члена имеет следующую общую форму:

${\ displaystyle \ mathbf {q} ^ {m} = \ mathbf {f} ^ {m} \ mathbf {Q} ^ {m} + \ mathbf {q} ^ {om}}$

( 1 )

где

m = номер элемента m .

${\ Displaystyle \ mathbf {д} ^ {м}}$ = вектор характеристических деформаций стержня.

${\ displaystyle \ mathbf {f} ^ {m}}$ = матрица гибкости стержня, которая характеризует восприимчивость стержня к деформации под действием сил.

${\ displaystyle \ mathbf {Q} ^ {m}}$= вектор независимых характеристических сил стержня, которые являются неизвестными внутренними силами. Эти независимые силы создают все силы на концах стержня за счет равновесия стержня.

${\ Displaystyle \ mathbf {д} ^ {ом}}$= вектор характеристических деформаций элемента, вызванных внешними воздействиями (такими как известные силы и изменения температуры), приложенными к изолированному, отсоединенному элементу (т.е. с ).${\ Displaystyle \ mathbf {Q} ^ {m} = 0}$

Для системы, состоящей из множества элементов, соединенных между собой в точках, называемых узлами, отношения гибкости элементов можно объединить в одно матричное уравнение, опустив верхний индекс m:

${\ displaystyle \ mathbf {q} _ {M \ times 1} = \ mathbf {f} _ {M \ times M} \ mathbf {Q} _ {M \ times 1} + \ mathbf {q} _ {M \ раз 1} ^ {o}}$

( 2 )

где M - общее количество характерных деформаций или сил стержней в системе.

В отличие от метода жесткости матрицы , где отношения жесткости элементов могут быть легко интегрированы с помощью узловых условий равновесия и совместимости, нынешняя гибкая форма уравнения ( 2 ) представляет серьезные трудности. С стержневыми силами в качестве первичных неизвестных, количество узловых уравнений равновесия недостаточно для решения, в общем случае - если система не является статически определимой . ${\ displaystyle \ mathbf {Q} _ {M \ times 1}}$

Уравнения узлового равновесия

Чтобы решить эту проблему, сначала мы используем уравнения узлового равновесия, чтобы уменьшить количество независимых неизвестных сил стержня. Уравнение узлового равновесия системы имеет вид:

${\ displaystyle \ mathbf {R} _ {N \ times 1} = \ mathbf {b} _ {N \ times M} \ mathbf {Q} _ {M \ times 1} + \ mathbf {W} _ {N \ раз 1}}$

( 3 )

где

${\ displaystyle \ mathbf {R} _ {N \ times 1}}$: Вектор узловых сил на всех N степенях свободы системы.

${\ displaystyle \ mathbf {b} _ {N \ times M}}$: Полученная узловая матрица равновесия

${\ displaystyle \ mathbf {W} _ {N \ times 1}}$: Вектор сил, возникающих от нагрузки на стержни.

В случае детерминированных систем матрица b является квадратной, и решение для Q может быть найдено немедленно из ( 3 ) при условии, что система устойчива.

Первичная система

Для статически неопределимых систем M > N , и, следовательно, мы можем дополнить ( 3 ) I = M - N уравнениями вида:

${\ displaystyle X_ {i} = \ alpha Q_ {j} + \ beta Q_ {k} + \ cdots \ qquad i = 1,2, \ ldots, I}$

( 4 )

Вектор X - это так называемый вектор избыточных сил, а I - степень статической неопределенности системы. Обычно мы выбираем j , k ,…, и такие, которые являются опорной реакцией или внутренней силой на конце стержня. При соответствующем выборе избыточных сил система уравнений ( 3 ), дополненная ( 4 ), теперь может быть решена для получения: ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle X_ {i}}$

${\ displaystyle \ mathbf {Q} _ {M \ times 1} = \ mathbf {B} _ {R} \ mathbf {R} _ {N \ times 1} + \ mathbf {B} _ {X} \ mathbf { X} _ {I \ times 1} + \ mathbf {Q} _ {v \ cdot M \ times 1}}$

( 5 )

Подстановка в ( 2 ) дает:

${\ displaystyle \ mathbf {q} _ {M \ times 1} = \ mathbf {f} _ {M \ times M} {\ Big (} \ mathbf {B} _ {R} \ mathbf {R} _ {N \ times 1} + \ mathbf {B} _ {X} \ mathbf {X} _ {I \ times 1} + \ mathbf {Q} _ {v \ cdot M \ times 1} {\ Big)} + \ mathbf {q} _ {M \ times 1} ^ {o}}$

( 6 )

Уравнения ( 5 ) и ( 6 ) представляют собой решение для первичной системы, которая является исходной системой, которая была статически определена с помощью разрезов, в которых проявляются избыточные силы . Уравнение ( 5 ) эффективно сокращает набор неизвестных сил до . ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$

Уравнение совместимости и решение

Затем нам нужно создать уравнения совместимости, чтобы найти . Уравнения совместимости восстанавливают требуемую непрерывность на участках разреза, устанавливая относительные смещения в дублирующих элементах X равными нулю. То есть, используя метод фиктивной силы единицы : ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {X}}$

${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {X} = \ mathbf {B} _ {X} ^ {T} \ mathbf {q} = \ mathbf {B} _ {X} ^ {T} {\ Big [} \ mathbf {f} {\ Big (} \ mathbf {B} _ {R} \ mathbf {R} + \ mathbf {B} _ {X} \ mathbf {X} + \ mathbf {Q} _ {v} { \ Big)} + \ mathbf {q} ^ {o} {\ Big]} = 0}$

( 7а )

или же ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {X} = \ mathbf {F} _ {XX} \ mathbf {X} + \ mathbf {r} _ {X} ^ {o} = 0}$

( 7b )

где

${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {XX} = \ mathbf {B} _ {X} ^ {T} \ mathbf {f} \ mathbf {B} _ {X}}$

${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {X} ^ {o} = \ mathbf {B} _ {X} ^ {T} {\ Big [} \ mathbf {f} {\ Big (} \ mathbf {B} _ {R} \ mathbf {R} + \ mathbf {Q} _ {v} {\ Big)} + \ mathbf {q} ^ {o} {\ Big]}}$

Уравнение ( 7b ) может быть решено относительно X , и силы стержней затем находятся из ( 5 ), в то время как узловые смещения могут быть найдены как

${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {R} = \ mathbf {B} _ {R} ^ {T} \ mathbf {q} = \ mathbf {F} _ {RR} \ mathbf {R} + \ mathbf { r} _ {R} ^ {o}}$

где

${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {RR} = \ mathbf {B} _ {R} ^ {T} \ mathbf {f} \ mathbf {B} _ {R}}$является матрица гибкости системы .

${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {R} ^ {o} = \ mathbf {B} _ {R} ^ {T} {\ Big [} \ mathbf {f} {\ Big (} \ mathbf {B} _ {X} \ mathbf {X} + \ mathbf {Q} _ {v} {\ Big)} + \ mathbf {q} ^ {o} {\ Big]}}$

Движения опор, происходящие в дублирующих элементах, могут быть включены в правую часть уравнения ( 7 ), в то время как движения опор в других местах также должны быть включены в и . ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {X} ^ {o}}$${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {R} ^ {o}}$

Преимущества и недостатки

Хотя выбор избыточных сил в ( 4 ) кажется произвольным и проблематичным для автоматического вычисления, это возражение можно преодолеть, перейдя от ( 3 ) непосредственно к ( 5 ), используя модифицированный процесс исключения Гаусса – Жордана . Это надежная процедура, которая автоматически выбирает хороший набор избыточных сил для обеспечения числовой стабильности.

Из описанного выше процесса очевидно, что метод жесткости матрицы легче понять и реализовать для автоматического вычисления. Его также легче расширить для расширенных приложений, таких как нелинейный анализ, устойчивость, вибрации и т. Д. По этим причинам метод жесткости матрицы является методом выбора для использования в пакетах программного обеспечения для структурного анализа общего назначения. С другой стороны, для линейных систем с низкой степенью статической неопределенности метод гибкости имеет то преимущество, что он менее требователен к вычислениям. Это преимущество, однако, является спорным вопросом, поскольку персональные компьютеры широко доступны и более мощные. В настоящее время главным искупительным фактором в изучении этого метода является его образовательная ценность, заключающаяся в передаче концепций равновесия и совместимости в дополнение к его исторической ценности. Напротив, процедура метода прямой жесткости настолько механична, что рискует быть использованной без особого понимания поведения конструкции.

Верхние аргументы были в силе до конца 1990-х годов. Однако недавние достижения в области численных вычислений показали возвращение метода силы, особенно в случае нелинейных систем. Были разработаны новые структуры, которые позволяют «точные» формулировки независимо от типа или природы нелинейностей системы. Основное преимущество метода гибкости заключается в том, что ошибка результата не зависит от дискретизации модели и что это действительно очень быстрый метод. Например, упруго-пластическое решение непрерывной балки с использованием силового метода требует всего 4 балочных элемента, тогда как коммерческий код МКЭ «на основе жесткости» требует 500 элементов, чтобы давать результаты с такой же точностью. В заключение можно сказать, что в случае, когда решение задачи требует рекурсивных оценок силового поля, как в случае структурной оптимизации или идентификации системы , эффективность метода гибкости неоспорима.

Смотрите также

• Метод конечных элементов в строительной механике
• Структурный анализ
• Метод жесткости

Рекомендации

Внешние ссылки

• Последовательные деформации - метод силы