Бозон Голдстоуна - Goldstone boson

В частиц и физике конденсированных сред , бозонов или Намбу бозонов ( NGBs ) являются бозонов , которые появляются обязательно в моделях проявляет спонтанное нарушение в непрерывных симметрий . Они были обнаружены Йоитиро Намбу в физике элементарных частиц в контексте механизма сверхпроводимости БКШ , впоследствии объяснены Джеффри Голдстоуном и систематически обобщены в контексте квантовой теории поля . В физике конденсированного состояния такие бозоны являются квазичастицами и известны как моды Андерсона-Боголюбова.

Эти бесспиновые бозоны соответствуют генераторам спонтанно нарушенной внутренней симметрии и характеризуются их квантовыми числами . Они нелинейно трансформируются (сдвигаются) под действием этих генераторов и, таким образом, могут возбуждаться этими генераторами из асимметричного вакуума. Таким образом, их можно рассматривать как возбуждения поля в направлениях нарушенной симметрии в групповом пространстве - и они являются безмассовыми, если спонтанно нарушенная симметрия также не нарушается явно .

Если вместо этого симметрия не точна, то есть если она явно нарушена, а также спонтанно нарушена, то бозоны Намбу – Голдстоуна не являются безмассовыми, хотя обычно они остаются относительно легкими; их тогда называют бозонами псевдоголдстоуна или бозонами псевдо-Намбу-Голдстоуна (сокращенно PNGB ).

Теорема Голдстоуна

Теорема Голдстоуна исследует общую непрерывную симметрию, которая спонтанно нарушается ; т. е. его токи сохраняются, но основное состояние не инвариантно под действием соответствующих зарядов. Тогда обязательно в спектре возможных возбуждений появляются новые безмассовые (или легкие, если симметрия не точна) скалярные частицы. Существует одна скалярная частица, называемая бозоном Намбу – Голдстоуна, для каждого генератора нарушенной симметрии, т. Е. Не сохраняющего основное состояние . Мода Намбу – Голдстоуна представляет собой длинноволновую флуктуацию соответствующего параметра порядка .

В силу своих особых свойств, связанных с вакуумом соответствующей теории с нарушенной симметрией, исчезающие импульсные («мягкие») голдстоуновские бозоны, входящие в теоретико-полевые амплитуды, заставляют такие амплитуды обращаться в нуль («нули Адлера»).

Примеры

Естественный

В жидкостях , то фонон продольно и является голдстоун из спонтанно нарушенной симметрии галилеевом . В твердых телах ситуация более сложная; бозоны Голдстоуна - это продольные и поперечные фононы, и они оказались голдстоуновскими бозонами спонтанно нарушенной галилеевой, трансляционной и вращательной симметрии без простого взаимно однозначного соответствия между модами Голдстоуна и нарушенными симметриями.
В магнитах первоначальная симметрия вращения (присутствующая в отсутствие внешнего магнитного поля) спонтанно нарушается, так что намагниченность указывает в определенном направлении. Тогда бозоны Голдстоуна являются магнонами , т. Е. Спиновыми волнами, в которых направление локальной намагниченности колеблется.
Эти пионы являются псевдо-бозонами , которые являются результат спонтанного нарушения хирального-вкусовой симметрии КХДА , осуществленным кварковой конденсацией из - за сильное взаимодействие. Эти симметрии также явно нарушаются массами кварков, так что пионы не безмассовые, но их масса значительно меньше, чем типичные массы адронов.
Продольные поляризационные компоненты W- и Z-бозонов соответствуют голдстоуновским бозонам спонтанно нарушенной части электрослабой симметрии SU (2) ⊗ U (1) , которые, однако, не наблюдаются. Поскольку эта симметрия является калибровочной, три потенциальных голдстоуновских бозона поглощаются тремя калибровочными бозонами, соответствующими трем сломанным генераторам; это придает этим трем калибровочным бозонам массу и соответствующую необходимую третью степень свободы поляризации. Это описано в Стандартной модели через механизм Хиггса . Аналогичное явление происходит в сверхпроводимости , которая послужила первоначальным источником вдохновения для Намбу, а именно, фотон развивает динамическую массу (выраженную как исключение магнитного потока из сверхпроводника), ср. теория Гинзбурга-Ландау .

Теория

Рассмотрим комплексное скалярное поле $ϕ$ с ограничением, которое является константой. Один из способов наложить ограничение такого рода - включить член потенциального взаимодействия в его плотность лагранжиана , ${\ Displaystyle \ phi ^ {*} \ phi = v ^ {2}}$

{\ Displaystyle \ лямбда (\ phi ^ {*} \ phi -v ^ {2}) ^ {2} ~,}

и переходя к пределу при $λ \to \infty$ . Это называется «абелевой нелинейной σ-моделью».

Связь и действие ниже инвариантны относительно фазового преобразования U (1), $δϕ = i εϕ$ . Поле может быть переопределено, чтобы дать реальное скалярное поле (т.е. частицу с нулевым спином) $θ$ без каких-либо ограничений с помощью

{\ Displaystyle \ phi = ве ^ {я \ тета}}

где $θ$ - бозон Намбу – Голдстоуна (на самом деле есть), а преобразование симметрии U (1) приводит к сдвигу на $θ$ , а именно ${\ displaystyle v \ theta}$

{\ displaystyle \ delta \ theta = \ epsilon ~,}

но не сохраняет основное состояние $| 0〉$ (т. е. указанное выше бесконечно малое преобразование не уничтожает его - признак инвариантности), как видно из заряда тока ниже.

Таким образом, вакуум является вырожденным и неинвариантным под действием спонтанно нарушенной симметрии.

Соответствующая плотность лагранжиана определяется выражением

{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ гидроразрыва {1} {2}} (\ partial ^ {\ mu} \ phi ^ {*}) \ partial _ {\ mu} \ phi -m ^ {2 } \ phi ^ {*} \ phi = {\ frac {1} {2}} (- ive ^ {- i \ theta} \ partial ^ {\ mu} \ theta) (ive ^ {i \ theta} \ partial _ {\ mu} \ theta) -m ^ {2} v ^ {2},}

и поэтому

{\ Displaystyle = {\ гидроразрыва {v ^ {2}} {2}} (\ partial ^ {\ mu} \ theta) (\ partial _ {\ mu} \ theta) -m ^ {2} v ^ {2 } ~.}

Обратите внимание, что постоянный член в плотности лагранжиана не имеет физического значения, а другой член в нем - просто кинетический член для безмассового скаляра. ${\ displaystyle m ^ {2} v ^ {2}}$

Сохраняющийся ток U (1), индуцированный симметрией, равен

{\ Displaystyle J _ {\ mu} = v ^ {2} \ partial _ {\ mu} \ theta ~.}

Заряд Q , возникающий в результате этого тока, сдвигает $θ$ и основное состояние в новое, вырожденное, основное состояние. Таким образом, вакуум с $〈 θ 〉 = 0$ сместится в другой вакуум с $〈 θ 〉 = ε$ . Ток связывает исходный вакуум с бозонным состоянием Намбу – Голдстоуна, $〈0 | J 0 (0) | θ 〉 \neq 0$ .

В общем, в теории с несколькими скалярными полями $ϕ j$ мода Намбу – Голдстоуна $ϕ g$ является безмассовой и параметризует кривую возможных (вырожденных) вакуумных состояний. Его отличительной чертой при преобразовании нарушенной симметрии является ненулевое вакуумное ожидание $〈 δϕ g 〉$ , параметр порядка , для обращения в нуль $〈 ϕ g 〉 = 0$ при некотором основном состоянии | 0〉, выбранном в минимуме потенциала, $〈\partial V / \partial ϕ i 〉 = 0$ . В принципе, вакуум должен быть минимумом эффективного потенциала, учитывающего квантовые эффекты, однако в первом приближении он равен классическому потенциалу. Симметрия означает, что все вариации потенциала относительно полей во всех направлениях симметрии исчезают. Величина вакуума вариации первого порядка в любом направлении исчезает, как мы только что видели; в то время как вакуумное значение вариации второго порядка также должно обращаться в нуль, как показано ниже. Исчезающие значения вакуума инкрементов преобразования симметрии поля не добавляют новой информации.

Однако, в отличие от этого, ненулевые вакуумные математические ожидания приращений преобразования , $〈 δϕ g 〉$ , задают соответствующие (голдстоуновские) нулевые собственные векторы матрицы масс ,

${\ displaystyle \ left \ langle {\ partial ^ {2} V \ over \ partial \ phi _ {i} \ partial \ phi _ {j}} \ right \ rangle \ langle \ delta \ phi _ {j} \ rangle = 0 ~,}$

и, следовательно, соответствующие собственные значения с нулевой массой.

Аргумент Голдстоуна

Принцип, лежащий в основе аргумента Голдстоуна, заключается в том, что основное состояние не уникально. Обычно при сохранении тока оператор заряда для любого тока симметрии не зависит от времени,

{\ displaystyle {d \ over dt} Q = {d \ over dt} \ int _ {x} J ^ {0} (x) = 0.}

Воздействие оператора заряда на вакуум либо уничтожает вакуум , если он симметричен; в противном случае, если нет , как в случае спонтанного нарушения симметрии, он создает из него состояние с нулевой частотой с помощью функции преобразования сдвига, проиллюстрированной выше. Собственно, здесь сам заряд нечетко определен, ср. аргумент Фабри – Пикассо ниже.

Но его коммутаторы с лучшими характеристиками с полями, то есть ненулевые преобразования сдвигов $〈 δϕ g 〉$ , тем не менее, инвариантны во времени ,

{\ displaystyle {\ frac {d \ langle \ delta \ phi _ {g} \ rangle} {dt}} = 0,}

таким образом порождая $δ (k 0)$ в его преобразовании Фурье. (Это гарантирует, что вставка полного набора промежуточных состояний в коммутатор тока, отличного от нуля, может привести к исчезновению временной эволюции только в том случае, если одно или несколько из этих состояний безмассовые.)

Таким образом, если вакуум не инвариантен относительно симметрии, действие оператора заряда создает состояние, отличное от выбранного вакуума, но имеющее нулевую частоту. Это длинноволновые колебания поля, которое почти стационарно: существуют физические состояния с нулевой частотой, $k 0$ , так что теория не может иметь разрыва между массами .

Этот аргумент дополнительно проясняется, если внимательно изучить предел. Если к вакууму приложить приближенный оператор заряда, действующий в огромной, но конечной области $A$ ,

{\ displaystyle {d \ over dt} Q_ {A} = {d \ over dt} \ int _ {x} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2A ^ {2}}}} J ^ {0} (x) = - \ int _ {x} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2A ^ {2}}}} \ nabla \ cdot J = \ int _ {x} \ nabla \ left (e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2A ^ {2}}}} \ right) \ cdot J,}

создается состояние с приблизительно равной нулю производной по времени,

{\ displaystyle \ left \ | {d \ over dt} Q_ {A} | 0 \ rangle \ right \ | \ приблизительно {\ frac {1} {A}} \ left \ | Q_ {A} | 0 \ rangle \ вправо \ |.}

Предполагая ненулевой массовый зазор $m 0$ , частота любого состояния, подобного приведенному выше, которое ортогонально вакууму, составляет по крайней мере $m 0$ ,

{\ displaystyle \ left \ | {\ frac {d} {dt}} | \ theta \ rangle \ right \ | = \ | H | \ theta \ rangle \ | \ geq m_ {0} \ || \ theta \ rangle \ |.}

Разрешение $A$ стать большим приводит к противоречию. Следовательно, $m$ ₀ = 0. Однако этот аргумент неверен, когда симметрия калибрована, потому что тогда генератор симметрии выполняет только калибровочное преобразование. Преобразованное калибровочное состояние - это то же самое точное состояние, так что действие генератора симметрии не выводит его из вакуума.

Теорема Фабри – Пикассо.

Q

не существует в гильбертовом пространстве, если

Q | 0〉 = 0

.

Аргумент требует, чтобы и вакуум, и заряд $Q$ были трансляционно-инвариантными, $P | 0〉 = 0$ , $[P, Q] = 0$ .

Рассмотрим корреляционную функцию заряда с самим собой,

{\ displaystyle {\ begin {align} \ langle 0 | QQ | 0 \ rangle & = \ int d ^ {3} x \ langle 0 | j_ {0} (x) Q | 0 \ rangle \\ & = \ int d ^ {3} x \ left \ langle 0 \ left | e ^ {iPx} j_ {0} (0) e ^ {- iPx} Q \ right | 0 \ right \ rangle \\ & = \ int d ^ { 3} x \ left \ langle 0 \ left | e ^ {iPx} j_ {0} (0) e ^ {- iPx} Qe ^ {iPx} e ^ {- iPx} \ right | 0 \ right \ rangle \\ & = \ int d ^ {3} x \ left \ langle 0 \ left | j_ {0} (0) Q \ right | 0 \ right \ rangle \ end {выровнено}}}

поэтому подынтегральное выражение в правой части не зависит от положения.

Таким образом, его значение пропорционально общему объему пространства - если симметрия не нарушена, $Q$ $| 0〉 = 0$ . Следовательно, $Q$ не существует в гильбертовом пространстве. ${\ Displaystyle \ | Q | 0 \ rangle \ | ^ {2} = \ infty}$

Инфрачастицы

В теореме есть спорная лазейка. Если внимательно прочитать теорему, она только утверждает, что существуют невакуумные состояния со сколь угодно малой энергией. Возьмет, например , хиральную N = 1 супер - КХД модель с ненулевым скварком вакуумным который является конформным в ИК . Киральная симметрия - это глобальная симметрия, которая (частично) спонтанно нарушается. Некоторые из «голдстоуновских бозонов», связанных с этим спонтанным нарушением симметрии, заряжены под непрерывной калибровочной группой, и, следовательно, эти составные бозоны имеют непрерывный спектр масс с произвольно малыми массами, но все же нет голдстоуновского бозона с точно нулевой массой . Другими словами, бозоны Голдстоуна - инфрачастицы .

Нерелятивистские теории

Версия теоремы Голдстоуна также применима к нерелятивистским теориям (а также к релятивистским теориям со спонтанно нарушенными симметриями пространства-времени, такими как симметрия Лоренца или конформная симметрия, вращательная или трансляционная инвариантность).

По сути, он утверждает, что каждой спонтанно нарушенной симметрии соответствует некоторая квазичастица без энергетической щели - нерелятивистская версия массовой щели . (Обратите внимание, что энергия здесь на самом деле $H - μN - α \to \cdot P \to,$ а не $H.$ ) Однако теперь два разных спонтанно нарушенных генератора могут дать начало одному и тому же бозону Намбу – Голдстоуна. Например, в сверхтекучей , как U (1) симметрии числа частиц и галилеянин симметрия спонтанно нарушена. Однако фонон является бозоном Голдстоуна для обоих.

В общем случае фонон является бозоном Намбу – Голдстоуна для спонтанно нарушенной галилеевой / лоренцевой симметрии. Однако, в отличие от случая нарушения внутренней симметрии, когда симметрии пространства-времени нарушаются, параметр порядка не обязательно должен быть скалярным полем, но может быть тензорным полем, и соответствующие независимые безмассовые моды теперь могут быть меньше, чем количество спонтанно возникающих сломанные генераторы, потому что моды Голдстоуна теперь могут быть линейно зависимыми между собой: например, режимы Голдстоуна для некоторых генераторов могут быть выражены как градиенты режимов Голдстоуна для других сломанных генераторов.

Фермионы Намбу – Голдстоуна

Спонтанно нарушенные глобальные фермионные симметрии, которые встречаются в некоторых суперсимметричных моделях, приводят к фермионам Намбу – Голдстоуна , или голдстино . Они имеют спин 1 ⁄ 2 вместо 0 и несут все квантовые числа соответствующих генераторов суперсимметрии, спонтанно нарушенные.

Спонтанное нарушение суперсимметрии разрушает («сокращает») супермультиплетные структуры до характерных нелинейных реализаций нарушенной суперсимметрии, так что голдстино являются суперпартнерами всех частиц в теории, любого спина , и при этом единственными суперпартнерами. То есть, скажем, две не-голдстино-частицы связаны только с голдстино через преобразования суперсимметрии, а не друг с другом, даже если они были так связаны до нарушения суперсимметрии. В результате массы и спиновые множественности таких частиц будут произвольными.

Смотрите также

Примечания

использованная литература

Перейти ↑ Nambu, Y (1960). «Квазичастицы и калибровочная инвариантность в теории сверхпроводимости». Физический обзор . 117 (3): 648–663. Bibcode : 1960PhRv..117..648N . DOI : 10.1103 / PhysRev.117.648 .
^ Голдстоун, J (1961). «Теории поля со сверхпроводящими растворами» . Nuovo Cimento . 19 (1): 154–164. Bibcode : 1961NCim ... 19..154G . DOI : 10.1007 / BF02812722 .
^ Голдстоун, Дж; Салам, Абдус; Вайнберг, Стивен (1962). «Нарушенные симметрии». Физический обзор . 127 (3): 965–970. Bibcode : 1962PhRv..127..965G . DOI : 10.1103 / PhysRev.127.965 .
^ PW Андерсон (1958). «Когерентные возбужденные состояния в теории сверхпроводимости: калибровочная инвариантность и эффект Мейснера». 110 (4): 827. Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
^ PW Андерсон (1958). «Случайно-фазовое приближение в теории сверхпроводимости». 112 (6): 1900. Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
↑ Н. Н. Боголюбов; Толмачев В.В.; Д.В. Ширков (1958). «Новый метод в теории сверхпроводимости». Цитировать журнал требует |journal=( помощь )CS1 maint: использует параметр авторов ( ссылка )
^ Доказательство Scholarpedia
^ См. Механизм Хиггса .
^ Фабри, E и Пикассо, LE (1966), "Квантовая теория поля и приближенные симметрии", Phys. Rev. Lett. 16 (1966) 408 DOI : 10.1103 / PhysRevLett.16.408.2
^ Волков, ДВ; Акулов, В (1973). «Является ли нейтрино частицей голдстоуна?». Письма по физике . B46 (1): 109–110. Полномочный код : 1973PhLB ... 46..109V . DOI : 10.1016 / 0370-2693 (73) 90490-5 .
^ Салам, А; и другие. (1974). «О Голдстоуном Фермионе». Письма по физике . B49 (5): 465–467. Полномочный код : 1974PhLB ... 49..465S . DOI : 10.1016 / 0370-2693 (74) 90637-6 .

[1] Перейти ↑ Nambu, Y (1960). «Квазичастицы и калибровочная инвариантность в теории сверхпроводимости». Физический обзор . 117 (3): 648–663. Bibcode : 1960PhRv..117..648N . DOI : 10.1103 / PhysRev.117.648 .

[2] Голдстоун, J (1961). «Теории поля со сверхпроводящими растворами» . Nuovo Cimento . 19 (1): 154–164. Bibcode : 1961NCim ... 19..154G . DOI : 10.1007 / BF02812722 .

[3] Голдстоун, Дж; Салам, Абдус; Вайнберг, Стивен (1962). «Нарушенные симметрии». Физический обзор . 127 (3): 965–970. Bibcode : 1962PhRv..127..965G . DOI : 10.1103 / PhysRev.127.965 .

[4] PW Андерсон (1958). «Когерентные возбужденные состояния в теории сверхпроводимости: калибровочная инвариантность и эффект Мейснера». 110 (4): 827. Цитировать журнал требует |journal=( помощь )

[5] PW Андерсон (1958). «Случайно-фазовое приближение в теории сверхпроводимости». 112 (6): 1900. Цитировать журнал требует |journal=( помощь )

[6] Н. Н. Боголюбов; Толмачев В.В.; Д.В. Ширков (1958). «Новый метод в теории сверхпроводимости». Цитировать журнал требует |journal=( помощь )CS1 maint: использует параметр авторов ( ссылка )

[9] Доказательство Scholarpedia

[10] См. Механизм Хиггса .

[11] Фабри, E и Пикассо, LE (1966), "Квантовая теория поля и приближенные симметрии", Phys. Rev. Lett. 16 (1966) 408 DOI : 10.1103 / PhysRevLett.16.408.2

[12] Волков, ДВ; Акулов, В (1973). «Является ли нейтрино частицей голдстоуна?». Письма по физике . B46 (1): 109–110. Полномочный код : 1973PhLB ... 46..109V . DOI : 10.1016 / 0370-2693 (73) 90490-5 .

[13] Салам, А; и другие. (1974). «О Голдстоуном Фермионе». Письма по физике . B49 (5): 465–467. Полномочный код : 1974PhLB ... 49..465S . DOI : 10.1016 / 0370-2693 (74) 90637-6 .

Languages

In other projects