Обратная задача для лагранжевой механики - Inverse problem for Lagrangian mechanics

В математике , то обратная задача для механики Лагранжа является проблема определения , является ли данная система обыкновенных дифференциальных уравнений может возникнуть как уравнения Эйлера-Лагранжа для некоторого Лагранжа функции.

С начала 20 века в изучении этой проблемы ведется активная работа. Заметным достижением в этой области была статья американского математика Джесси Дугласа 1941 года , в которой он предоставил необходимые и достаточные условия для того, чтобы проблема имела решение; эти условия теперь известны как условия Гельмгольца в честь немецкого физика Германа фон Гельмгольца .

Предпосылки и постановка проблемы

Обычная установка лагранжевой механики на n - мерном евклидовом пространстве R ⁿ выглядит следующим образом. Рассмотрим дифференцируемый путь u  : [0,  T ] →  R ⁿ . Действие пути ¯u , обозначается S ( U ), задается

${\ displaystyle S (u) = \ int _ {0} ^ {T} L (t, u (t), {\ dot {u}} (t)) \, \ mathrm {d} t,}$

где L - функция времени, положения и скорости, известная как лагранжиан . Принцип наименьшего действия гласит , что, учитывая начальное состояние х ₀ и конечное состояние х ₁ в R ^п , траектория , что система определяется L будет на самом деле следуют должны быть минимизант действия функционального S , удовлетворяющее граничным условиям ¯u ( 0) =  х ₀ , и (Т) =  х ₁ . Кроме того, критические точки (и, следовательно, минимизаторы) S должны удовлетворять уравнениям Эйлера – Лагранжа для S :

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {u}} ^ {i}}} - {\ frac {\ partial L} {\ partial u ^ {i}}} = 0 \ quad {\ text {for}} 1 \ leq i \ leq n,}$

где верхние индексы i обозначают компоненты u  = ( u ¹ , ...,  u ⁿ ).

В классическом случае

${\ displaystyle T ({\ dot {u}}) = {\ frac {1} {2}} м | {\ dot {u}} | ^ {2},}$

${\ displaystyle V: [0, T] \ times \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R},}$

${\ displaystyle L (t, u, {\ dot {u}}) = T ({\ dot {u}}) - V (t, u),}$

уравнения Эйлера – Лагранжа - обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка, более известные как законы движения Ньютона :

${\ displaystyle m {\ ddot {u}} ^ {i} = - {\ frac {\ partial V (t, u)} {\ partial u ^ {i}}} \ quad {\ text {for}} 1 \ leq i \ leq n,}$

${\ displaystyle {\ mbox {ie}} m {\ ddot {u}} = - \ nabla _ {u} V (t, u).}$

Обратная задача механики Лагранжа состоит в следующем: дана система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

${\ displaystyle {\ ddot {u}} ^ {i} = f ^ {i} (u ^ {j}, {\ dot {u}} ^ {j}) \ quad {\ text {for}} 1 \ leq i, j \ leq n, \ quad {\ mbox {(E)}}}$

которое выполняется для времен 0 ≤  t  ≤  T , существует ли лагранжиан L  : [0,  T ] ×  R ⁿ  ×  R ⁿ  →  R, для которого эти обыкновенные дифференциальные уравнения (E) являются уравнениями Эйлера – Лагранжа? Вообще говоря, эта задача ставится не на евклидовом пространстве R ⁿ , а на n -мерном многообразии M , а лагранжиан - это функция L  : [0,  T ] × T M  →  R , где T M обозначает касательное расслоение к M .

Теорема Дугласа и условия Гельмгольца

Для упрощения обозначений пусть

${\ displaystyle v ^ {i} = {\ dot {u}} ^ {i}}$

и определим набор из n ² функций Φ _j ⁱ формулой

${\ displaystyle \ Phi _ {j} ^ {i} = {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial f ^ {i}} {\ partial v ^ {j}}} - {\ frac {\ partial f ^ {i}} {\ partial u ^ {j}}} - {\ frac {1} {4}} { \ frac {\ partial f ^ {i}} {\ partial v ^ {k}}} {\ frac {\ partial f ^ {k}} {\ partial v ^ {j}}}.}$

Теорема. (Дуглас 1941) Существует лагранжиан L  : [0,  T ] × T M  →  R такой, что уравнения (E) являются его уравнениями Эйлера – Лагранжа тогда и только тогда, когда существует невырожденная симметричная матрица g с элементами g _ij в зависимости от u и v, удовлетворяющих следующим трем условиям Гельмгольца :

${\ Displaystyle г \ Phi = (г \ Phi) ^ {\ top}, \ quad {\ mbox {(H1)}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} g_ {ij}} {\ mathrm {d} t}} + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial f ^ {k}} { \ partial v ^ {i}}} g_ {kj} + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial f ^ {k}} {\ partial v ^ {j}}} g_ {ki} = 0 {\ mbox {for}} 1 \ leq i, j \ leq n, \ quad {\ mbox {(H2)}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial g_ {ij}} {\ partial v ^ {k}}} = {\ frac {\ partial g_ {ik}} {\ partial v ^ {j}}} {\ mbox { для}} 1 \ leq i, j, k \ leq n. \ quad {\ mbox {(H3)}}}$

(Для повторяющихся индексов используется правило суммирования Эйнштейна .)

Применение теоремы Дугласа

На первый взгляд решение уравнений Гельмгольца (H1) - (H3) кажется чрезвычайно сложной задачей. Условие (H1) решить проще всего: всегда можно найти g , удовлетворяющий (H1), и само по себе это не означает, что лагранжиан сингулярен. Уравнение (H2) представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений: обычные теоремы о существовании и единственности решений обыкновенных дифференциальных уравнений подразумевают, что в принципе возможно решить (H2). Интегрирование не дает дополнительных констант, а дает первые интегралы системы (E), поэтому этот шаг становится трудным на практике, если (E) не имеет достаточно явных первых интегралов. В некоторых хороших случаях (например, геодезический поток для канонической связности на группе Ли ) это условие выполняется.

Последний и самый сложный шаг - решить уравнение (H3), которое называется условиями замыкания, поскольку (H3) - это условие того, что дифференциальная 1-форма g _i является замкнутой формой для каждого i . Причина, по которой это так пугает, состоит в том, что (H3) представляет собой большую систему связанных дифференциальных уравнений в частных производных: для n степеней свободы (H3) представляет собой систему

${\ displaystyle 2 \ left ({\ begin {matrix} n + 1 \\ 3 \ end {matrix}} \ right)}$

уравнения в частных производных от 2 n независимых переменных, которые являются компонентами g _ij функции g , где

${\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} п \\ k \ end {matrix}} \ right)}$

обозначает биномиальный коэффициент . Чтобы построить наиболее общий лагранжиан, нужно решить эту огромную систему!

К счастью, есть некоторые вспомогательные условия, которые могут быть наложены, чтобы помочь в решении условий Гельмгольца. Во-первых, (H1) - чисто алгебраическое условие на неизвестную матрицу g . Вспомогательные алгебраические условия на g могут быть заданы следующим образом: определить функции

Ψ _jk ^я

по

${\ displaystyle \ Psi _ {jk} ^ {i} = {\ frac {1} {3}} \ left ({\ frac {\ partial \ Phi _ {j} ^ {i}} {\ partial v ^ { k}}} - {\ frac {\ partial \ Phi _ {k} ^ {i}} {\ partial v ^ {j}}} \ right).}$

Тогда вспомогательное условие на g имеет вид

${\ displaystyle g_ {mi} \ Psi _ {jk} ^ {m} + g_ {mk} \ Psi _ {ij} ^ {m} + g_ {mj} \ Psi _ {ki} ^ {m} = 0 { \ mbox {for}} 1 \ leq i, j \ leq n. \ quad {\ mbox {(A)}}}$

Фактически, уравнения (H2) и (A) являются лишь первыми в бесконечной иерархии подобных алгебраических условий. В случае параллельной связи (такой как каноническая связность на группе Ли) всегда выполняются условия высшего порядка, поэтому интерес представляют только (H2) и (A). Обратите внимание, что (A) включает

${\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} п \\ 3 \ end {matrix}} \ right)}$

условия, тогда как (H1) включает

${\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} п \\ 2 \ end {matrix}} \ right)}$

условия. Таким образом, возможно, что из (H1) и (A) вместе следует, что функция Лагранжа сингулярна. По состоянию на 2006 год не существует общей теоремы, позволяющей обойти эту трудность в произвольной размерности, хотя некоторые частные случаи были разрешены.

Второй путь атаки состоит в том, чтобы увидеть, допускает ли система (E) погружение в систему меньшей размерности, и попытаться «поднять» лагранжиан для системы меньшей размерности до уровня более высокой размерности. На самом деле это не столько попытка решить условия Гельмгольца, сколько попытка построить лагранжиан, а затем показать, что его уравнения Эйлера – Лагранжа действительно являются системой (E).

Ссылки

• Дуглас, Джесси (1941). «Решение обратной задачи вариационного исчисления» . Труды Американского математического общества . 50 (1): 71–128. DOI : 10.2307 / 1989912 . ISSN  0002-9947 . JSTOR  1989912 .
• Равашдех, М., и Томпсон, Г. (2006). «Обратная задача для шестимерных коразмерных двух нильрадикальных алгебр Ли». Журнал математической физики . 47 (11): 112901. DOI : 10,1063 / 1,2378620 . ISSN  0022-2488 .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )