Замкнутые и точные дифференциальные формы - Closed and exact differential forms

В математике , особенно в векторном исчислении и дифференциальной топологии , замкнутая форма - это дифференциальная форма α , внешняя производная которой равна нулю ( dα = 0 ), а точная форма - это дифференциальная форма α , которая является внешней производной другой дифференциальной формы β. . Таким образом, точная форма в изображении из д и закрытая форма находится в ядре в г .

Для точной формы α , α = dβ для некоторой дифференциальной формы β степени меньше, чем у α . Форма β называется «потенциальной формой» или «примитивной» для α . Поскольку внешняя производная замкнутой формы равна нулю, β не единственно, но может быть изменено добавлением любой замкнутой формы степени на один меньше, чем у α .

Поскольку d ² = 0 , каждая точная форма обязательно замкнута. Вопрос о том, является ли каждая замкнутая форма точной, зависит от топологии интересующей области. На стягиваемой области каждая замкнутая форма точна по лемме Пуанкаре . Более общие вопросы такого рода на произвольном дифференцируемом многообразии являются предметом когомологий де Рама , которые позволяют получать чисто топологическую информацию с помощью дифференциальных методов.

Примеры

Простым примером формы, которая является замкнутой, но не точной, является 1-форма, заданная производной аргумента на проколотой плоскости . Поскольку на самом деле это не функция (см. Следующий абзац), это не точная форма. Тем не менее, имеет исчезающую производную и поэтому закрыт. ${\ displaystyle d \ theta}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {2} \ setminus \ {0 \}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle d \ theta}$${\ displaystyle d \ theta}$

Обратите внимание , что аргумент только определяется с точностью до целого кратного , так как одна точка может быть назначены различные аргументы , , и т.д. Мы можем присвоить аргументы в локально последовательно вокруг , но не глобально последовательным образом. Это связано с тем, что, если мы проследим цикл от начала координат до начала координат против часовой стрелки и обратно , аргумент увеличивается на . Обычно аргумент меняется на ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle r}$ ${\ Displaystyle г + 2 \ пи}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ displaystyle \ theta}$

${\ Displaystyle \ oint _ {S ^ {1}} д \ тета}$

по петле, ориентированной против часовой стрелки .${\ Displaystyle S ^ {1}}$

Несмотря на то, что аргумент технически не является функцией, различные локальные определения точки отличаются друг от друга константами. Поскольку производная в использует только локальные данные, и поскольку функции, которые различаются константой, имеют одну и ту же производную, аргумент имеет глобально четко определенную производную " ".${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle d \ theta}$

В результате получается одна форма, которая на самом деле не является производной какой-либо четко определенной функции . Мы говорим , что это не точная . В явном виде дается как: ${\ displaystyle d \ theta}$${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {2} \ setminus \ {0 \}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle d \ theta}$${\ displaystyle d \ theta}$

${\ displaystyle d \ theta = {\ frac {-y \, dx + x \, dy} {x ^ {2} + y ^ {2}}},}$

который при осмотре имеет нулевую производную. Поскольку имеет нулевую производную, мы говорим, что она замкнута . ${\ displaystyle d \ theta}$

Эта форма создает группы когомологий де Рамы означает , что любая замкнутая форма является суммой точной формы и кратно : , где приходится нетривиальным интеграл контура вокруг начала координат, которая является единственным препятствием к закрытой форме на проколотая плоскость (локально производная потенциальной функции ), являющаяся производной глобально определенной функции. ${\ Displaystyle H_ {dR} ^ {1} (\ mathbf {R} ^ {2} \ setminus \ {0 \}) \ cong \ mathbf {R},}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle df}$${\ displaystyle d \ theta}$ ${\ Displaystyle \ омега = дф + к \ д \ тета}$${\ textstyle к = {\ гидроразрыва {1} {2 \ pi}} \ oint _ {S ^ {1}} \ omega}$

Примеры в малых размерах

Дифференциальные формы в R ² и R ³ были хорошо известны в математической физике девятнадцатого века. На плоскости 0-формы - это просто функции, а 2-формы - это функции, умноженные на основной элемент площади dx ∧ dy , так что это 1-формы

${\ Displaystyle \ альфа = е (х, y) \, dx + g (x, y) \, dy}$

которые представляют реальный интерес. Формула для внешней производной d здесь имеет вид

${\ displaystyle d \ alpha = (g_ {x} -f_ {y}) \, dx \ wedge dy}$

где нижние индексы обозначают частные производные . Поэтому условие , чтобы быть закрыто является ${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle f_ {y} = g_ {x}.}$

В этом случае, если h ( x , y ) - функция, то

${\ displaystyle dh = h_ {x} \, dx + h_ {y} \, dy.}$

Импликация от «точного» к «замкнутому» тогда является следствием симметрии вторых производных по x и y .

Теорема градиента утверждает, что 1-форма является точной тогда и только тогда, когда линейный интеграл формы зависит только от концов кривой, или, что то же самое, если интеграл вокруг любой гладкой замкнутой кривой равен нулю.

Аналогии с векторным полем

На риманове многообразия , или в более общем виде псевдориманов многообразия , K -форм соответствует K -векторных полей (по двойственности через метрику ), так что есть понятие векторного поля , соответствующее закрытой или точной форма.

В трехмерном пространстве точное векторное поле (рассматриваемое как 1-форма) называется консервативным векторным полем , что означает, что это производная ( градиент ) 0-формы (гладкое скалярное поле), называемое скалярным потенциалом . Замкнутое векторное поле (рассматриваемое как 1-форма) - это поле, у которого производная ( ротор ) равна нулю, и называется безвихревым векторным полем .

Если рассматривать векторное поле как 2-форму, замкнутое векторное поле - это такое, производная ( дивергенция ) которого равна нулю, и называется несжимаемым потоком (иногда соленоидальным векторным полем ). Термин «несжимаемый» используется потому, что ненулевое расхождение соответствует наличию источников и стоков по аналогии с жидкостью.

Концепции консервативных и несжимаемых векторных полей обобщаются до n измерений, потому что градиент и дивергенция обобщаются до n измерений; curl определяется только в трех измерениях, поэтому концепция безвихревого векторного поля не обобщается.

Лемма Пуанкаре

Леммы Пуанкаре утверждает , что если В открытый шар в R ^п , любой гладкой замкнутой р -формы ω , определенная на B является точным, для любого целого р с 1 ≤ р ≤ н .

Сдвигая, если необходимо, можно считать, что шар B имеет центр 0. Пусть α _s поток на R ^n, определенный формулой α _s x = e ^{- s} x . При s ≥ 0 он переводит B в себя и индуцирует действие на функциях и дифференциальных формах. Производная потока - это векторное поле X, заданное на функциях f формулой Xf = d ( α _s f ) / ds | _{s = 0} : это радиальное векторное поле - r ∂/∂ r= −Σ x _i ∂/∂ х _я. Производная потока по формам определяет производную Ли по X, задаваемую формулой . Особенно ${\ textstyle L_ {X} \ omega = \ left. {\ frac {d (\ alpha _ {s} \ omega)} {ds}} \ right | _ {s = 0}}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {ds}} \ alpha _ {s} \ omega = \ alpha _ {s} L_ {X} \ omega,}$

Теперь определим

${\ displaystyle h \, \ omega = - \ int _ {0} ^ {\ infty} \ alpha _ {t} \ omega \, dt.}$

По основной теореме исчисления имеем, что

${\ displaystyle L_ {X} h \, \ omega = - \ int _ {0} ^ {\ infty} \ alpha _ {t} L_ {X} \ omega \, dt = - \ int _ {0} ^ { \ infty} {d \ over dt} (\ alpha _ {t} \ omega) \, dt = - [\ alpha _ {t} \ omega] _ {0} ^ {\ infty} = \ omega.}$

Поскольку это внутреннее умножение или сжатие векторным полем X , формула Картана утверждает, что ${\ displaystyle \ iota _ {X}}$

${\ Displaystyle L_ {X} = d \ iota _ {X} + \ iota _ {X} d.}$

Используя тот факт , что г коммутирует с L _X , и час , мы получаем: ${\ displaystyle \ alpha _ {s}}$

${\ displaystyle \ omega = L_ {X} h \, \ omega = (d \ iota _ {X} + \ iota _ {X} d) h \ omega = d (\ iota _ {X} h \ omega) + \ iota _ {X} hd \ omega.}$

Параметр

${\ Displaystyle г (\ omega) = \ iota _ {X} час (\ omega),}$

ведет к идентичности

${\ displaystyle (dg + gd) \, \ omega = \ omega.}$

Отсюда следует, что если ω замкнуто, т. Е. Dω = 0 , то d ( g ω ) = ω , так что ω точна и лемма Пуанкаре доказана.

(На языке гомологической алгебры , г является «стягивающей гомотопией».)

Тот же метод применяется к любому открытому множеству в R ⁿ , имеющему звездообразную форму около 0, то есть к любому открытому множеству, содержащему 0 и инвариантному относительно α _t для . ${\ Displaystyle 1 <т <\ infty}$

Другое стандартное доказательство леммы Пуанкаре использует формулу гомотопической инвариантности и может быть найдено в Singer & Thorpe (1976 , стр. 128–132), Lee (2012) , Tu (2011) и Bott & Tu (1982) . Локальная форма оператора гомотопии описана в Edelen (2005), а связь леммы с формой Маурера-Картана объясняется в Sharpe (1997) .

Эту формулировку можно сформулировать в терминах гомотопии между открытыми областями U в R ^m и V в R ⁿ . Если F ( t , x ) является гомотопией из [0,1] × U в V , положим F _t ( x ) = F ( t , x ). Для получения в р -форма на V , определим ${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle g (\ omega) = \ int _ {0} ^ {1} \ iota _ {\ partial _ {t}} (F_ {t} ^ {*} (\ omega)) \, dt}$

потом

${\ displaystyle (dg + gd) \, \ omega = \ int _ {0} ^ {1} (d \ iota _ {\ partial _ {t}} + \ iota _ {\ partial _ {t}} d) F_ {t} ^ {*} (\ omega) \, dt = \ int _ {0} ^ {1} L _ {\ partial _ {t}} F_ {t} ^ {*} (\ omega) \, dt = \ int _ {0} ^ {1} \ partial _ {t} F_ {t} ^ {*} (\ omega) \, dt = F_ {1} ^ {*} (\ omega) -F_ {0} ^ {*} (\ omega).}$

Пример : в двух измерениях лемма Пуанкаре может быть доказана непосредственно для замкнутых 1-форм и 2-форм следующим образом.

Если ω = p dx + q dy - замкнутая 1-форма на ( a , b ) × ( c , d ) , то p _y = q _x . Если ω = df, то p = f _x и q = f _y . Установленный

${\ displaystyle g (x, y) = \ int _ {a} ^ {x} p (t, y) \, dt,}$

так что g _x = p . Тогда h = f - g должно удовлетворять h _x = 0 и h _y = q - g _y . Правая часть здесь не зависит от x, поскольку ее частная производная по x равна 0. Таким образом,

${\ displaystyle h (x, y) = \ int _ {c} ^ {y} q (a, s) \, ds-g (a, y) = \ int _ {c} ^ {y} q (a , s) \, ds,}$

и, следовательно

${\ displaystyle f (x, y) = \ int _ {a} ^ {x} p (t, y) \, dt + \ int _ {c} ^ {y} q (a, s) \, ds.}$

Аналогично, если Ω = r dx ∧ dy, то Ω = d ( a dx + b dy ) с b _x - a _y = r . Таким образом, решение задается формулой a = 0 и

${\ displaystyle b (x, y) = \ int _ {a} ^ {x} r (t, y) \, dt.}$

Формулировка как когомологии

Когда разность двух замкнутых форм является точной формой, они называются когомологичными друг другу. То есть, если ζ и η - замкнутые формы и можно найти такое β , что

${\ displaystyle \ zeta - \ eta = d \ beta}$

тогда говорят, что ζ и η когомологичны друг другу. Иногда говорят, что точные формы когомологичны нулю . Множество всех форм, когомологичных данной форме (и, следовательно, друг другу), называется классом когомологий де Рама ; общее изучение таких классов известно как когомологии . Нет никакого смысла спрашивать, точна ли 0-форма (гладкая функция), поскольку d увеличивает степень на 1; но подсказки из топологии подсказывают, что «точной» следует называть только нулевую функцию. Классы когомологий отождествляются с локально постоянными функциями.

Используя сжимающие гомотопии, подобные тем, которые использовались при доказательстве леммы Пуанкаре, можно показать, что когомологии де Рама гомотопически инвариантны.

Применение в электродинамике

В электродинамике важен случай магнитного поля, создаваемого стационарным электрическим током. Там речь идет о векторном потенциале этого поля. Этот случай соответствует k = 2 , и определяющая область - полная . Вектор плотности тока равен . Это соответствует нынешней двухформатной ${\ Displaystyle {\ vec {B}} (\ mathbf {r})}$ ${\ Displaystyle {\ vec {A}} (\ mathbf {r})}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle {\ vec {j}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {I}: = j_ {1} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) \, {\ rm {d}} x_ {2} \ wedge {\ rm {d }} x_ {3} + j_ {2} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) \, {\ rm {d}} x_ {3} \ wedge {\ rm {d}} x_ {1} + j_ {3} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) \, {\ rm {d}} x_ {1} \ wedge {\ rm {d}} x_ {2} .}$

Для получения магнитного поля один имеют аналогичные результаты: она соответствует индукциям два-формы , и может быть получена из векторного потенциала , или соответствующей одной формы , ${\ displaystyle {\ vec {B}}}$${\ displaystyle \ Phi _ {B}: = B_ {1} {\ rm {d}} x_ {2} \ wedge {\ rm {d}} x_ {3} + \ cdots}$${\ displaystyle {\ vec {A}}}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

${\ displaystyle {\ vec {B}} = \ operatorname {curl} {\ vec {A}} = \ left \ {{\ frac {\ partial A_ {3}} {\ partial x_ {2}}} - { \ frac {\ partial A_ {2}} {\ partial x_ {3}}}, {\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {3}}} - {\ frac {\ partial A_ {3 }} {\ partial x_ {1}}}, {\ frac {\ partial A_ {2}} {\ partial x_ {1}}} - {\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {2 }}} \ right \}, {\ text {или}} \ Phi _ {B} = {\ rm {d}} \ mathbf {A}.}$

Таким образом, векторный потенциал соответствует однообразной форме потенциала ${\ displaystyle {\ vec {A}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {A}: = A_ {1} \, {\ rm {d}} x_ {1} + A_ {2} \, {\ rm {d}} x_ {2} + A_ {3} \, {\ rm {d}} x_ {3}.}$

Замкнутость магнитной индукции две-формы соответствует свойству магнитного поля , что оно является источником свободной: , то есть, что нет магнитных монополей . ${\ Displaystyle \ OperatorName {div} {\ vec {B}} \ эквив 0}$

В специальной калибровке это означает, что для i = 1, 2, 3${\ displaystyle \ operatorname {div} {\ vec {A}} {~ {\ stackrel {!} {=}} ~} 0}$

${\ displaystyle A_ {i} ({\ vec {r}}) = \ int {\ frac {\ mu _ {0} j_ {i} \ left ({\ vec {r}} ^ {\, '} \ справа) \, \, dx_ {1} 'dx_ {2}' dx_ {3} '} {4 \ pi | {\ vec {r}} - {\ vec {r}} ^ {\,'} |} } \ ,.}$

(Здесь постоянная магнитная проницаемость вакуума.) ${\ displaystyle \ mu _ {0}}$

Это уравнение замечательно, потому что она полностью соответствует известной формуле для электрического поля , а именно для электростатического кулоновского потенциала в виде плотности заряда . Здесь уже можно догадаться, что ${\ displaystyle {\ vec {E}}}$ ${\ displaystyle \ phi (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$ ${\ Displaystyle \ rho (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$

• ${\ displaystyle {\ vec {E}}}$ а также ${\ displaystyle {\ vec {B}},}$
• ${\ displaystyle \ rho}$ а также ${\ displaystyle {\ vec {j}},}$
• ${\ displaystyle \ phi}$ а также ${\ displaystyle {\ vec {A}}}$

может быть унифицирован до количества с шестью рсп. четыре нетривиальных компонентов, что является основой релятивистской инвариантности из уравнений Максвелла .

Если условие стационарности остается, на левой стороне упомянутого выше уравнения следует добавить, в уравнениях , к трем пространственным координатам, в качестве четвертой переменной также время т , в то время как на правой сторона, в , так называемом «запаздывающего времени» , должен быть использован, т.е. добавляется к аргументу плотности тока. Наконец, как и раньше, интегрируют по трем штриховым координатам в пространстве. (Как обычно, c - это скорость света в вакууме.) ${\ displaystyle A_ {i}}$${\ displaystyle j_ {i} '}$${\ displaystyle t ': = t - {\ frac {| {\ vec {r}} - {\ vec {r}} ^ {\,'} |} {c}}}$

Примечания

Сноски

использованная литература

• Фландрия, Харлей (1989) [1963]. Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам . Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN 978-0-486-66169-8..
• Уорнер, Франк В. (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Тексты для выпускников по математике, 94 , Springer, ISBN 0-387-90894-3
• Напье, Терренс; Рамачандран, Мохан (2011), Введение в римановы поверхности , Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4693-6
• Певица, ИМ ; Торп, Дж. А. (1976), Конспект лекций по элементарной топологии и геометрии , Университет Бангалора, ISBN 0721114784