Схема Гильберта - Hilbert scheme

В алгебраической геометрии , разделе математики , схема Гильберта - это схема, которая является пространством параметров для замкнутых подсхем некоторого проективного пространства (или более общей проективной схемой), уточняя многообразие Чоу . Схема Гильберта представляет собой несвязное объединение проективных подсхем, соответствующих многочленам Гильберта . Основная теория схем Гильберта была разработана Александром Гротендиком  ( 1961 ). Пример Хиронаки показывает, что непроективные многообразия не обязательно должны иметь схемы Гильберта.

Схема Гильберта проективного пространства

Схема Гильберта в классифицирует замкнутые подсхемы проективного пространства в следующем смысле: для любых локально нетеровых схем S , множество S - значных точки ${\ displaystyle \ mathbf {Hilb} (п)}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$

${\ Displaystyle \ OperatorName {Hom} (S, \ mathbf {Hilb} (п))}$

схемы Гильберта естественно изоморфно множеству замкнутых подсхем , которые плоско над S . Замкнутые подсхемы , что плоские над S неформально можно рассматривать как семьи подсхем проективного пространства параметризованного S . Схема Гильберта распадается как объединение непересекающихся частей , соответствующих многочлена Гильберта подсхем проективного пространства с многочленом Гильберта P . Каждая из этих фигур проективна . ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n} \ times S}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n} \ times S}$${\ displaystyle \ mathbf {Hilb} (п)}$${\ displaystyle \ mathbf {Hilb} (n, P)}$${\ displaystyle \ operatorname {Spec} (\ mathbb {Z})}$

Строительство как определяющая разновидность

Гротендик построил схему Гильберта из - мерного проективного пространства как подсхемы в грассманиане , определенных в нуле различного детерминанта . Его фундаментальное свойство состоит в том, что для схемы он представляет функтор, чьи -значные точки являются замкнутыми подсхемами, над которыми плоско . ${\ displaystyle \ mathbf {Hilb} (п)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n} \ times T}$${\ displaystyle T}$

Если это Подсхема - мерного проективного пространства, то соответствует градуированному идеалу кольца многочленов в переменных, с градуированными штуками . При достаточно больших все высшие группы когомологий с коэффициентами равны нулю. Используя точную последовательность${\ displaystyle X}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle I_ {X} ^ {\ bullet}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle n + 1}$${\ displaystyle I_ {X} ^ {m}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (м)}$

${\ displaystyle 0 \ to I_ {X} \ to {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} \ to {\ mathcal {O}} _ {X} \ to 0}$

у нас есть размерность , где - многочлен Гильберта проективного пространства. Это может быть продемонстрировано путем натяжения указанной выше точной последовательности локально плоскими пучками , давая точную последовательность, в которой последние два члена имеют тривиальные когомологии, что подразумевает тривиальность высших когомологий . Отметим, что мы используем равенство полинома Гильберта когерентного пучка с эйлеровой характеристикой его групп когомологий пучка. ${\ Displaystyle I_ {X} ^ {m} = \ Gamma (I_ {X} \ otimes {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} (m))}$${\ Displaystyle Q (м) -P_ {X} (м)}$${\ displaystyle Q}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} (м)}$${\ displaystyle I_ {X} (м)}$

Выберите достаточно большое значение . - Мерное пространство является подпространством - мерного пространства , поэтому представляет собой точку грассманиана . Это даст вложение части схемы Гильберта, соответствующей многочлену Гильберта, в этот грассманиан. ${\ displaystyle m}$${\ Displaystyle (Q (м) -P_ {X} (м))}$${\ displaystyle I_ {X} ^ {m}}$${\ Displaystyle Q (м)}$${\ Displaystyle S ^ {п}}$${\ Displaystyle {\ textbf {Gr}} (Q (м) -P_ {X} (м), Q (м))}$${\ displaystyle P_ {X}}$

Осталось описать структуру схемы на этом изображении, то есть описать достаточное количество элементов для соответствующего ему идеала. Достаточное количество таких элементов задается условиями, что отображение I _X ( m ) ⊗ S ( k ) → S ( k + m ) имеет ранг не выше dim ( I _X ( k + m )) для всех положительных k , что эквивалентно к обращению в нуль различных детерминант. (Более тщательный анализ показывает, что достаточно просто взять k = 1. )

Характеристики

Универсальность

Для замкнутой подсхемы над полем с полиномом Гильберта схема Гильберта H = Hilb ( n , P ) имеет универсальную подсхему, плоскую над такой, что ${\ Displaystyle Y \ подмножество \ mathbb {P} _ {k} ^ {n} = X}$${\ displaystyle P}$${\ Displaystyle W \ подмножество X \ раз H}$${\ displaystyle H}$

• Слои над замкнутыми точками являются замкнутыми подсхемами . Для обозначим эту точку как .${\ displaystyle W_ {x}}$${\ displaystyle x \ in H}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle Y \ подмножество X}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle [Y] \ in H}$
• ${\ displaystyle H}$универсален относительно всех плоских семейств подсхем, имеющих полином Гильберта . То есть для данной схемы и плоского семейства существует уникальный морфизм такой, что .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle T}$${\ Displaystyle W '\ подмножество X \ раз T}$${\ displaystyle \ phi: T \ to H}$${\ Displaystyle \ phi ^ {*} W \ cong W '}$

Касательное пространство

Касательное пространство точки задается глобальными сечениями нормального расслоения ; то есть, ${\ displaystyle [Y] \ in H}$${\ displaystyle N_ {Y / X}}$

${\ displaystyle T _ {[Y]} H = H ^ {0} (Y, N_ {Y / X})}$

Беспрепятственность полных пересечений

Для локальных полных пересечений, таких что , точка гладкая. Это означает , каждая деформация из ин не засорена. ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle H ^ {1} (Y, N_ {X / Y}) = 0}$${\ displaystyle [Y] \ in H}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$

Размер касательного пространства

В этом случае размер at больше или равен . ${\ displaystyle H ^ {1} (Y, N_ {X / Y}) \ neq 0}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle [Y]}$${\ displaystyle h ^ {0} (Y, N_ {X / Y}) - h ^ {1} (Y, N_ {X / Y})}$

В дополнение к этим свойствам Фрэнсис Соуэрби Маколей  ( 1927 ) определил, для каких многочленов схема Гильберта непуста, а Робин Хартсхорн  ( 1966 ) показал, что если непуста, то она линейно связна. Таким образом, две подсхемы проективного пространства находятся в одной связной компоненте схемы Гильберта тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же многочлен Гильберта. ${\ displaystyle \ mathbf {Hilb} (n, P)}$${\ displaystyle \ mathbf {Hilb} (n, P)}$

Схемы Гильберта могут иметь плохие особенности, такие как неприводимые компоненты, которые не редуцированы во всех точках. Они также могут иметь неприводимые компоненты неожиданно большой размерности. Например, можно было бы ожидать, что схема Гильберта из d точек (точнее, размерность 0, длина d подсхем) схемы размерности n будет иметь размерность dn , но если n ≥ 3, ее неприводимые компоненты могут иметь гораздо большую размерность.

Функциональная интерпретация

Существует альтернативная интерпретация схемы Гильберта, которая приводит к обобщению относительных схем Гильберта, параметризующих подсхемы относительной схемы. Для фиксированной базовой схемы пусть и пусть${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle X \ in (Sch / S)}$

${\ displaystyle {\ underline {\ text {Hilb}}} _ {X / S} :( Sch / S) ^ {op} \ to Sets}$

- функтор, отправляющий относительную схему множеству классов изоморфизма множества${\ displaystyle T \ to S}$

${\ displaystyle {\ underline {\ text {Hilb}}} _ {X / S} (T) = \ left \ {{\ begin {matrix} Z & \ hookrightarrow & X \ times _ {S} T & \ to & X \\ \ downarrow && \ downarrow && \ downarrow \\ T & = & T & \ to & S \ end {matrix}}: Z \ to T {\ text {плоский}} \ right \} / \ sim}$

где отношение эквивалентности задается классами изоморфизма . Эта конструкция является функториальной, поскольку принимает обратные вызовы семейств. Учитывая , существует семейство более . ${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle f: T '\ to T}$${\ displaystyle f ^ {*} Z = Z \ times _ {T} T '}$${\ displaystyle T '}$

Представимость проективных отображений

Если структурное отображение проективно, то этот функтор представлен построенной выше схемой Гильберта. Обобщение этого на случай отображений конечного типа требует технологии алгебраических пространств, разработанной Артином. ${\ displaystyle X \ to S}$

Относительная схема Гильберта для отображений алгебраических пространств

В своей наибольшей общности функтор Гильберта определен для отображения конечного типа алгебраических пространств, определенных над схемой . Тогда функтор Гильберта определяется как ${\ displaystyle f \ двоеточие X \ to B}$${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle {\ underline {\ text {Hilb}}} _ {X / B} :( Sch / B) ^ {op} \ to Sets}$

отправив Т в

${\ displaystyle {\ underline {\ text {Hilb}}} _ {X / B} (T) = \ left \ {Z \ subset X \ times _ {B} T: {\ begin {align} & Z \ to T {\ text {плоский, правильный,}} \\ & {\ text {и конечный формат}} \ end {выравнивается}} \ right \}}$.

Этот функтор представляется не схемой, а алгебраическим пространством. Кроме того, если и является отображением схем конечного типа, их функтор Гильберта представлен алгебраическим пространством. ${\ Displaystyle S = {\ текст {Spec}} (\ mathbb {Z})}$${\ displaystyle X \ to B}$

Примеры схем Гильберта

Схемы Фано гиперповерхностей

Одним из мотивирующих примеров для исследования схемы Гильберта в целом была схема Фано проективной схемы. Учитывая подсхемы степени , есть схема в параметрирования , где это -плоскость в , то есть это степень один встраивание . Для гладких поверхностей степени in непустые схемы Фано гладкие и нульмерные. Это потому, что линии на гладких поверхностях имеют отрицательное самопересечение. ${\ Displaystyle X \ подмножество \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle F_ {k} (X)}$${\ Displaystyle \ mathbb {G} (к, п)}$${\ Displaystyle H \ подмножество X \ подмножество \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {k}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {3}}$${\ displaystyle d \ geq 3}$${\ displaystyle F_ {k} (X)}$

Схема точек Гильберта

Другой распространенный набор примеров - это схемы Гильберта точек схемы , обычно обозначаемые . Ведь существует хорошая геометрическая интерпретация, в которой граничные локусы, описывающие пересечение точек, можно рассматривать как параметризацию точек вместе с их касательными векторами. Например, это раздутие диагонали по модулю симметричного действия. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle X ^ {[п]}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {2}}$${\ Displaystyle B \ подмножество H}$${\ Displaystyle (\ mathbb {P} ^ {2}) ^ {[2]}}$${\ Displaystyle Bl _ {\ Delta} (\ mathbb {P} ^ {2} \ times \ mathbb {P} ^ {2} / S_ {2})}$

Гиперповерхности степени d

Схема Гильберта гиперповерхностей степени k в задается проективизацией . Например, схема Гильберта гиперповерхностей степени 2 в имеет универсальную гиперповерхность, заданную формулой ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} (\ Gamma ({\ mathcal {O}} (к)))}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {1}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ text {Proj}} (к [x_ {0}, x_ {1}] [\ alpha, \ beta, \ gamma] / (\ alpha x_ {0} ^ {2} + \ beta x_ { 0} x_ {1} + \ gamma x_ {1} ^ {2})) \ substeq \ mathbb {P} _ {x_ {0}, x_ {1}} ^ {1} \ times \ mathbb {P} _ {\ alpha, \ beta, \ gamma} ^ {2}}$

где нижележащее кольцо является бигрейдным.

Схема Гильберта кривых и модули кривых

Для алгебраической кривой фиксированного рода степень дуализирующего пучка с тройным тензором порождается глобально, то есть его эйлерова характеристика определяется размерностью глобальных сечений, поэтому ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle \ omega _ {C} ^ {\ otimes 3}}$

${\ displaystyle \ chi (\ omega _ {C} ^ {\ otimes 3}) = \ dim H ^ {0} (C, \ omega _ {X} ^ {\ otimes 3})}$.

Размерность этого векторного пространства равна , следовательно, глобальные секции определяют вложение в кривую каждого рода . Используя формулу Римана-Роха, ассоциированный многочлен Гильберта может быть вычислен как ${\ displaystyle 5g-5}$${\ displaystyle \ omega _ {C} ^ {\ otimes 3}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {5g-6}}$${\ displaystyle g}$

${\ Displaystyle Н_ {С} (т) = 6 (г-1) т + (1-г)}$.

Тогда схема Гильберта

${\ displaystyle {\ text {Hilb}} _ {\ mathbb {P} ^ {5g-6}} ^ {H_ {C} (t)}}$

параметризует все кривые рода g . Построение этой схемы является первым шагом в построении стека модулей алгебраических кривых. Другой основной технический инструмент - это фактор-группы GIT, поскольку это пространство модулей строится как фактор-фактор.

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g} = [U_ {g} / GL_ {5g-6}]}$,

где - подлокус гладких кривых в схеме Гильберта. ${\ displaystyle U_ {g}}$

Схема Гильберта точек на многообразии

«Схема Гильберта» иногда относится к точечной схеме Гильберта 0-мерных подсхем на схеме. Неформально это можно представить как что-то вроде конечного набора точек на схеме, хотя эта картина может вводить в заблуждение, когда несколько точек совпадают.

Существует морфизм Гильберта – Чоу от приведенной схемы точек Гильберта к многообразию циклов Чжоу, переводящий любую 0-мерную схему в связанный с ней 0-цикл. (Фогарти  1968 , 1969 , 1973 ).

Схема Гильберта из п точек на М оснащена естественным морфизмом к п -го симметричному произведению М . Этот морфизм бирационален для M размерности не больше 2. Для M размерности не меньше 3 морфизм не бирациональный для больших n : схема Гильберта в общем случае сводима и имеет компоненты размерности намного больше, чем у симметричного произведения. ${\ Displaystyle М ^ {[п]}}$

Схема Гильберта точек на кривой С (размерность-1 комплексное многообразие) изоморфна симметрической степени из C . Это гладко.

Схема Гильберта из n точек на поверхности также является гладкой (Гротендик). Если , это получается из раздува диагонали, а затем деления на действие, вызванное . Это было использовано Марком Хайманом в его доказательстве положительности коэффициентов некоторых многочленов Макдональда . ${\ displaystyle n = 2}$${\ displaystyle M \ times M}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle (х, у) \ mapsto (у, х)}$

Схема Гильберта гладкого многообразия размерности 3 или более обычно не является гладкой.

Схемы Гильберта и гиперкэлерова геометрия

Пусть M - комплексная кэлерова поверхность с ( поверхностью K3 или тором). Каноническое расслоение M тривиально, как следует из классификации поверхностей Кодаиры . Следовательно, M допускает голоморфную симплектическую форму. Это наблюдал Акира Фуджики (для и Арно Бовиль, который также является голоморфно симплектическим. Это нетрудно увидеть, например, для . В самом деле, это раздутие симметрического квадрата M. Особенности локально изоморфны . Раздутие is , и это пространство является симплектическим. Это используется для того, чтобы показать, что симплектическая форма естественным образом продолжается до гладкой части исключительных делителей пространства . Она расширяется до остальной части по принципу Гартогса . ${\ displaystyle c_ {1} = 0}$${\ displaystyle n = 2}$${\ Displaystyle М ^ {[п]}}$${\ displaystyle n = 2}$${\ displaystyle M ^ {[2]}}$${\ displaystyle \ operatorname {Sym} ^ {2} M}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2} \ times \ mathbb {C} ^ {2} / \ {\ pm 1 \}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2} / \ {\ pm 1 \}}$${\ Displaystyle Т ^ {*} \ mathbb {P} ^ {1} (\ mathbb {C})}$${\ Displaystyle М ^ {[п]}}$${\ Displaystyle М ^ {[п]}}$

Голоморфно симплектическое, кэлеровы многообразие является гиперкэлеровым , как следует из теоремы Калаби-Яу . Схемы Гильберта точек на поверхности K3 и на 4-мерном торе дают две серии примеров гиперкэлеровых многообразий : схему Гильберта точек на K3 и обобщенную поверхность Куммера .

Смотрите также

• Схема котировки
• Регулярность Кастельнуово – Мамфорда.
• Большая теорема Мацусаки
• Модули алгебраических кривых
• Модульное пространство
• Модульная поверхность Гильберта
• Модульное разнообразие Siegel

использованная литература

• Beauville, Arnaud (1983), "Варьете Kähleriennes Dont л Première Classe де Черна Эст Nulle", Журнал дифференциальной геометрии , 18 (4): 755-782, DOI : 10,4310 / Судьи / 1214438181 , MR  0730926
• И. Долгачев (2001) [1994], "Схема Гильберта" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Фантечи, Барбара; Гётче, Лотар; Иллюзи, Люк ; Клейман, Стивен Л .; Ницурэ, Нитин; Вистоли, Анджело (2005), Фундаментальная алгебраическая геометрия , Математические обзоры и монографии, 123 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3541-8, Руководство по ремонту  2222646
• Фогарти, Джон (1968), "Алгебраические семьи на алгебраической поверхности", Американский журнал математики , The Johns Hopkins University Press, 90 (2): 511-521, DOI : 10,2307 / 2373541 , JSTOR  2373541 , MR  0237496
• Фогарти, Джон (1969), «Усеченные функторы Гильберта» , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 234 : 65–88, MR  0244268 , заархивировано из оригинала 12 февраля 2013 г.
• Фогарти, Джон (1973),, "Алгебраические семьи на алгебраической поверхности II Пикара схема пунктуальных схем Гильберта.." American Journal математики , Johns Hopkins University Press , 95 (3): 660-687, DOI : 10.2307 / 2373734 , JSTOR  2373734 , MR  0335512
• Göttsche, Lothar (1994), схемы Гильберта нульмерных подсхем гладких многообразий , Lecture Notes in Mathematics, 1572 , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0073491 , ISBN 978-3-540-57814-7, Руководство по ремонту  1312161
• Гротендик, Александр (1961), Методы построения и теории существования ан géométrie algébrique. IV. Les schémas de Hilbert , Séminaire Bourbaki 221Перепечатано в Adrien Douady; Роджер Годеман; Ален Гишарде ... (1995), Séminaire Bourbaki, Vol. 6 , Париж: Société Mathématique de France , стр. 249–276, ISBN 2-85629-039-6, Руководство по ремонту  1611822
• Хартшорн, Робин (1966), «Связность схемы Гильберта» , Publications Mathématiques de l'IHÉS (29): 5–48, MR  0213368
• Маколей, Фрэнсис Соуэрби (1927), "Некоторые свойства перечисления в теории модульных систем", Труды Лондонского математического общества , серия 2, 26 : 531–555, doi : 10.1112 / plms / s2-26.1.531
• Мамфорд, Дэвид (1966-08-21), Лекции о кривых на алгебраической поверхности , Annals of Mathematics Studies, 59 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-07993-6
• Накадзима, Хираку (1999), Лекции по схемам Гильберта точек на поверхностях , Университетская серия лекций, 18 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-1956-2, Руководство по ремонту  1711344
• Ницуре, Нитин (2005), "Построение схем Гильберта и Квота", Фундаментальная алгебраическая геометрия , Матем. Surveys Monogr., 123 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 105–137, arXiv : math / 0504590 , Bibcode : 2005math ...... 4590N , MR  2223407
• Цинь, Чжэнбо (2018), схемы Гильберта точек и бесконечномерные алгебры Ли , Математические обзоры и монографии, 228 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-1-4704-4188-3

Примеры и приложения

• Формула Ботта и перечислительная геометрия
• Число скрученных кубиков на квинтичном тройном многообразии
• Рациональные кривые на трехмерных многообразиях Калаби – Яу: проверка предсказаний зеркальной симметрии

внешние ссылки

• Бертрам, Аарон (1999), Построение схемы Гильберта , получено 2008-09-06
• Болоньезе, Барбара; Лосев, Иван, Общее введение в схему Гильберта точек на плоскости (PDF) , заархивировано из оригинала 30.08.2017CS1 maint: bot: исходный статус URL неизвестен ( ссылка )
• Маклаган, Дайан , Заметки о схемах Гильберта (PDF) , заархивировано из оригинала 07 марта 2016 г.CS1 maint: bot: исходный статус URL неизвестен ( ссылка )