Поверхность К3 - K3 surface

Гладкая поверхность четвертой степени в 3-м пространстве. На рисунке показана часть реальных точек (действительной размерности 2) на некоторой комплексной поверхности K3 (комплексной размерности 2, следовательно, реальной размерности 4).

В математике комплексная аналитическая K3-поверхность - это компактное связное комплексное многообразие размерности 2 с тривиальным каноническим расслоением и нулевой неправильностью . Под (алгебраической) поверхностью типа K3 над любым полем понимается гладкая собственная геометрически связная алгебраическая поверхность , удовлетворяющая тем же условиям. В классификации поверхностей Энриквеса – Кодаиры K3-поверхности образуют один из четырех классов минимальных поверхностей нулевой размерности Кодаиры . Простым примером является поверхность Ферма четвертой степени

${\ displaystyle x ^ {4} + y ^ {4} + z ^ {4} + w ^ {4} = 0}$

в комплексном проективном 3-пространстве .

Вместе с двумерными компактными комплексными торами K3-поверхности представляют собой многообразия Калаби – Яу (а также гиперкэлеровы многообразия ) размерности два. Таким образом, они находятся в центре классификации алгебраических поверхностей между положительно искривленными поверхностями дель Пеццо (которые легко классифицируются) и отрицательно искривленными поверхностями общего типа (которые по существу неклассифицируемы). K3-поверхности можно рассматривать как простейшие алгебраические многообразия, структура которых не сводится к кривым или абелевым многообразиям , но в которых возможно существенное понимание. Комплексная поверхность K3 имеет вещественную размерность 4 и играет важную роль в изучении гладких 4-многообразий . Поверхности K3 применялись к алгебрам Каца – Муди , зеркальной симметрии и теории струн .

Может быть полезно рассматривать комплексные алгебраические K3-поверхности как часть более широкого семейства комплексных аналитических K3-поверхностей. Многие другие типы алгебраических многообразий не имеют таких неалгебраических деформаций.

Определение

Есть несколько эквивалентных способов определения поверхностей K3. Единственные компактные комплексные поверхности с тривиальным каноническим расслоением - это K3-поверхности и компактные комплексные торы, поэтому можно добавить любое условие, исключающее последнее, для определения K3-поверхностей. Например, это эквивалентно определению комплексной аналитической K3-поверхности как односвязного компактного комплексного многообразия размерности 2 с голоморфной 2-формой, которая не обращается в нуль . (Последнее условие в точности говорит о тривиальности канонического расслоения.)

Есть также несколько вариантов определения. Некоторые авторы рассматривают комплексные числа только на алгебраических K3 поверхностях. (Алгебраическая поверхность K3 автоматически является проективной .) Или можно допустить, чтобы поверхности K3 имели особенности Дюваля ( канонические особенности размерности 2), а не были гладкими.

Расчет чисел Бетти

В числе Бетти комплексной аналитической K3 поверхности вычисляется следующим образом . (Аналогичное рассуждение дает тот же ответ для чисел Беттих алгебраической K3 поверхности над любым полем, определяется с использованием Салической когомологии .) По определению, каноническое расслоение тривиально, а нерегулярность д ( Х ) (размерность из когерентная группа когомологий пучка ) равна нулю. По двойственности Серра , ${\ displaystyle K_ {X} = \ Omega _ {X} ^ {2}}$${\ displaystyle h ^ {1} (X, O_ {X})}$${\ displaystyle H ^ {1} (X, O_ {X})}$

${\ displaystyle h ^ {2} (X, {\ mathcal {O}} _ {X}) = h ^ {0} (X, K_ {X}) = 1.}$

В результате арифметический род (или голоморфная эйлерова характеристика ) X равен:

${\ displaystyle \ chi (X, {\ mathcal {O}} _ {X}): = \ sum _ {i} (- 1) ^ {i} h ^ {i} (X, {\ mathcal {O}) } _ {X}) = 1-0 + 1 = 2.}$

С другой стороны, теорема Римана – Роха (формула Нётер) гласит:

${\ displaystyle \ chi (X, {\ mathcal {O}} _ {X}) = {\ frac {1} {12}} \ left (c_ {1} (X) ^ {2} + c_ {2} (X) \ right),}$

где это я -м класс Черна из касательного расслоения . Поскольку он тривиален, его первый класс Черна равен нулю, и поэтому . ${\ displaystyle c_ {i} (X)}$${\ displaystyle K_ {X}}$${\ Displaystyle c_ {1} (K_ {X}) = - c_ {1} (X)}$${\ displaystyle c_ {2} (X) = 24}$

Затем экспоненциальная последовательность дает точную последовательность групп когомологий , и так далее . Таким образом, число Бетти равно нулю, и двойственности Пуанкаре , также равен нулю. Наконец, равен топологической эйлеровой характеристике${\ displaystyle 0 \ to \ mathbb {Z} _ {X} \ to O_ {X} \ to O_ {X} ^ {*} \ to 0}$${\ Displaystyle 0 \ к H ^ {1} (X, \ mathbb {Z}) \ to H ^ {1} (X, O_ {X})}$${\ Displaystyle Н ^ {1} (Х, \ mathbb {Z}) = 0}$${\ displaystyle b_ {1} (X)}$${\ displaystyle b_ {3} (X)}$${\ displaystyle c_ {2} (X) = 24}$

${\ displaystyle \ chi (X) = \ sum _ {i} (- 1) ^ {i} b_ {i} (X).}$

Поскольку и , отсюда следует, что . ${\ displaystyle b_ {0} (X) = b_ {4} (X) = 1}$${\ displaystyle b_ {1} (X) = b_ {3} (X) = 0}$${\ displaystyle b_ {2} (X) = 22}$

Характеристики

• По Кунихико Кодаира, любые две комплексные аналитические K3-поверхности диффеоморфны как гладкие 4-многообразия .
• Каждый комплекс аналитической К3 поверхность имеет метрику кэлерову , по Yum-Tong Сиу . (Аналогично, но гораздо проще: любая алгебраическая K3 поверхности над полем проективно.) По Shing-Tung Яу решение «s к гипотезе Калаби , то отсюда следует , что каждая комплексная аналитическая К3 поверхность имеет Риччи-плоской метрикой Kähler.
• Эти номера Ходжевы любой поверхности K3 перечислены в алмазе Ходж:

  		1
  	0		0
  1		20		1
  	0		0
  		1

  Один из способов показать это - вычислить якобиев идеал конкретной поверхности K3, а затем использовать вариацию структуры Ходжа на модулях алгебраических поверхностей K3, чтобы показать, что все такие поверхности K3 имеют одинаковые числа Ходжа. Более низкое вычисление может быть выполнено с использованием вычисления чисел Бетти вместе с частями структуры Ходжа, вычисленными для произвольной поверхности K3. В данном случае силы симметрии Ходжа , следовательно . Для поверхностей типа K3 с характеристикой p > 0 это впервые показали Алексей Рудаков и Игорь Шафаревич .${\ Displaystyle Н ^ {2} (Х; \ mathbb {Z})}$${\ displaystyle H ^ {0} (X; \ Omega _ {X} ^ {2}) \ cong \ mathbb {C}}$${\ displaystyle H ^ {1} (X, \ Omega _ {X}) \ cong \ mathbb {C} ^ {20}}$

• Для комплексной аналитической поверхности X K3 форма пересечения (или чашеобразное произведение ) на представляет собой симметричную билинейную форму со значениями в целых числах, известную как решетка K3 . Это изоморфно четной унимодулярной решетке или, что эквивалентно , где U - гиперболическая решетка ранга 2, а - решетка E8 .${\ Displaystyle Н ^ {2} (Х, \ mathbb {Z}) \ cong \ mathbb {Z} ^ {22}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {II} _ {3,19}}$${\ Displaystyle E_ {8} (- 1) ^ {\ oplus 2} \ oplus U ^ {\ oplus 3}}$${\ displaystyle E_ {8}}$
• Гипотеза Юкио Мацумото 11/8 предсказывает, что каждое гладкое ориентированное 4-многообразие X с четной формой пересечения имеет второе число Бетти, по крайней мере, в 11/8 раз превышающее абсолютное значение сигнатуры . Это было бы оптимальным, если бы это было так, поскольку равенство выполняется для комплексной поверхности K3, имеющей сигнатуру 3−19 = −16. Гипотеза будет означать , что каждый односвязны гладкое 4-многообразие с даже формой пересечения является гомеоморфными к связной сумме копий поверхности K3 и в .${\ Displaystyle S ^ {2} \ раз S ^ {2}}$
• Каждая комплексная поверхность, диффеоморфная поверхности K3, является поверхностью K3 Роберта Фридмана и Джона Моргана . С другой стороны, есть гладкие комплексные поверхности (некоторые из них проективные), которые гомеоморфны, но не диффеоморфны поверхности K3, Кодаира и Майкл Фридман . Все эти «гомотопические K3-поверхности» имеют размерность Кодаиры 1.

Примеры

• Двойная крышка Х из проективной плоскости , разветвленной вдоль гладкой секстики (степень 6) кривой является поверхностью К3 рода 2 (то есть, степень 2 г -2 = 2). (Эта терминология означает, что прообраз в X общей гиперплоскости в является гладкой кривой рода 2.)${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {2}}$
• Гладкая поверхность квартики (степени 4) в - это K3-поверхность рода 3 (то есть степени 4).${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$
• Куммерова поверхность является фактором двумерного абелева многообразия А действием . Это приводит к 16 особенностей, по 2-кручения точек А . Минимальное разрешение этой особой поверхности можно также назвать куммерова; это разрешение - поверхность K3. Когда A - якобиан кривой рода 2, Куммер показал, что фактор может быть вложен в поверхность четвертой степени с 16 узлами .${\ Displaystyle а \ mapsto -a}$${\ Displaystyle A / (\ pm 1)}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$
• В более общем смысле: для любой поверхности четвертой степени Y с особенностями Дю Валя минимальное разрешение Y является алгебраической поверхностью K3.
• Пересечение квадрики и кубики в является поверхностью K3 рода 4 (то есть степени 6).${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {4}}$
• Пересечение трех квадрик в является поверхностью K3 рода 5 (то есть степени 8).${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {5}}$
• Существует несколько баз данных о K3-поверхностях с особенностями Дю Валя в весовых проективных пространствах .

Решетка Пикара

Пикард группа Pic ( X ) комплексной аналитической К3 поверхность X означает абелеву группу комплексных аналитических расслоений на X . Для алгебраической поверхности K3, Pic ( X ) означает группу алгебраических расслоений на X . Два определения соглашаются на комплексной алгебраической К3 поверхности, по Жан-Пьер Серр «s GAGA теоремы.

Группа Пикара K3-поверхности X всегда является конечно порожденной свободной абелевой группой; его ранг называется числом Пикара . В комплексном случае Pic ( X ) является подгруппой в . Важной особенностью поверхностей K3 является то, что может встречаться много различных чисел Пикара. Для X комплексной алгебраической поверхности K3 может быть любое целое число от 1 до 20. В комплексно-аналитическом случае также может быть равно нулю. (В этом случае X вообще не содержит замкнутых комплексных кривых. Напротив, алгебраическая поверхность всегда содержит множество непрерывных семейств кривых.) Над алгебраически замкнутым полем характеристики p > 0 существует специальный класс K3-поверхностей, суперсингулярный Поверхности K3 с числом Пикара 22. ${\ displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle Н ^ {2} (Х, \ mathbb {Z}) \ cong \ mathbb {Z} ^ {22}}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ rho}$

Решетка Пикара поверхности K3 означает абелева группа Pic ( X ) вместе с его формой пересечения, симметричную билинейную форму со значениями в целых числах. (Вверху форма пересечения означает ограничение формы пересечения на . В общем поле форму пересечения можно определить, используя теорию пересечений кривых на поверхности, отождествляя группу Пикара с группой классов дивизоров .) решетка поверхности K3 всегда четная , что означает, что целое число четное для каждой . ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle Н ^ {2} (Х, \ mathbb {Z})}$${\ displaystyle u ^ {2}}$${\ Displaystyle и \ в \ OperatorName {Pic} (X)}$

Из теоремы Ходжа об индексе следует, что решетка Пикара алгебраической K3-поверхности имеет сигнатуру . Многие свойства поверхности K3 определяются ее решеткой Пикара как симметричной билинейной формы над целыми числами. Это приводит к сильной связи между теорией K3-поверхностей и арифметикой симметричных билинейных форм. В качестве первого примера этой связи: комплексная аналитическая поверхность K3 является алгебраической тогда и только тогда, когда существует элемент с . ${\ displaystyle (1, \ rho -1)}$${\ Displaystyle и \ в \ OperatorName {Pic} (X)}$${\ displaystyle u ^ {2}> 0}$

Грубо говоря, пространство всех комплексных аналитических K3-поверхностей имеет комплексную размерность 20, а пространство K3-поверхностей с числом Пикара имеет размерность (исключая суперсингулярный случай). В частности, алгебраические K3-поверхности входят в 19-мерные семейства. Более подробная информация о пространствах модулей K3-поверхностей приводится ниже. ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle 20- \ rho}$

Точное описание того, какие решетки могут быть решетками Пикара для K3-поверхностей, сложно. Одно ясное утверждение, сделанное Вячеславом Никулиным и Дэвидом Моррисоном , состоит в том, что каждая четная решетка сигнатуры с является решеткой Пикара некоторой комплексной проективной поверхности K3. Пространство таких поверхностей имеет размерность . ${\ displaystyle (1, \ rho -1)}$${\ displaystyle \ rho \ leq 11}$${\ displaystyle 20- \ rho}$

Эллиптические поверхности K3

Важный подкласс K3-поверхностей, который легче анализировать, чем общий случай, состоит из K3-поверхностей с эллиптическим расслоением . «Эллиптический» означает, что все слои этого морфизма, кроме конечного числа, являются гладкими кривыми рода 1. Особые слои являются объединениями рациональных кривых с возможными типами особых слоев, классифицированными Кодаирой. Всегда есть особые слои, поскольку сумма топологических эйлеровых характеристик особых слоев равна . Общая эллиптическая поверхность K3 имеет ровно 24 особых слоя каждого типа (узловая кубическая кривая). ${\ Displaystyle X \ к \ mathbf {P} ^ {1}}$${\ Displaystyle \ чи (Х) = 24}$${\ displaystyle I_ {1}}$

Является ли поверхность K3 эллиптической, можно определить по ее решетке Пикара. А именно, в характеристике, отличной от 2 или 3, K3-поверхность X имеет эллиптическое расслоение тогда и только тогда, когда существует ненулевой элемент с . (В характеристике 2 или 3 последнее условие также может соответствовать квазиэллиптическому расслоению .) Отсюда следует, что наличие эллиптического расслоения является условием коразмерности-1 на поверхности K3. Итак, существуют 19-мерные семейства комплексных аналитических K3-поверхностей с эллиптическим расслоением и 18-мерные пространства модулей проективных K3-поверхностей с эллиптическим расслоением. ${\ Displaystyle и \ в \ OperatorName {Pic} (X)}$${\ displaystyle u ^ {2} = 0}$

Пример: Каждый гладкой поверхности квартика X в том , что содержит линию L имеет эллиптическое расслоение , учитывая при проектировании от L . Пространство модулей всех гладких поверхностей четвертой степени (с точностью до изоморфизма) имеет размерность 19, а подпространство поверхностей четвертой степени, содержащее прямую, имеет размерность 18. ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$${\ Displaystyle X \ к \ mathbf {P} ^ {1}}$

Рациональные кривые на K3 поверхностях

В отличие от многообразий с положительной кривизной, таких как поверхности дель Пеццо, комплексная алгебраическая K3-поверхность X не является однолинейной ; то есть он не покрывается непрерывным семейством рациональных кривых. С другой стороны, в отличие от многообразий с отрицательной кривизной, таких как поверхности общего типа, X содержит большой дискретный набор рациональных кривых (возможно, особых). В частности, Федор Богомолов и Дэвид Мамфорд показали , что каждый кривой на X является линейно эквивалентен к положительной линейной комбинации рациональных кривых.

Еще одно отличие от многообразий с отрицательной кривизной состоит в том, что метрика Кобаяши на комплексной аналитической K3-поверхности X тождественно равна нулю. Доказательство использует то, что алгебраическая K3-поверхность X всегда покрывается непрерывным семейством образов эллиптических кривых. (Эти кривые сингулярны в X , если только X не является эллиптической поверхностью K3.) Остается открытым более сильный вопрос, допускает ли каждая комплексная поверхность K3 невырожденное голоморфное отображение из (где «невырожденное» означает, что производная отображения равна изоморфизм в какой-то момент). ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$

Карта периода

Определим разметку комплексной аналитической K3-поверхности X как изоморфизм решеток из в K3-решетку . Пространство N отмеченных комплексных K3-поверхностей является нехаусдорфовым комплексным многообразием размерности 20. Множество классов изоморфизма комплексных аналитических K3-поверхностей является фактором N по ортогональной группе , но этот фактор не является геометрически значимым пространством модулей, потому что действие далеко не прерывисто . (Например, пространство гладких квартик неприводимо размерности 19, и все же каждая комплексная аналитическая поверхность K3 в 20-мерном семействе N имеет сколь угодно малые деформации, изоморфные гладким квартикам.) По той же причине не существует осмысленное пространство модулей компактных комплексных торов размерности не меньше 2. ${\ Displaystyle Н ^ {2} (Х, \ mathbb {Z})}$${\ Displaystyle \ Lambda = E_ {8} (- 1) ^ {\ oplus 2} \ oplus U ^ {\ oplus 3}}$ ${\ Displaystyle О (\ Лямбда)}$${\ Displaystyle О (\ Лямбда)}$

Отображение периодов отправляет поверхность K3 его структуры Ходжа . При тщательной формулировке теорема Торелли верна : поверхность K3 определяется своей структурой Ходжа. Область периодов определяется как 20-мерное комплексное многообразие

${\ displaystyle D = \ {u \ in P (\ Lambda \ otimes \ mathbb {C}): u ^ {2} = 0, \, u \ cdot {\ overline {u}}> 0 \}.}$

Отображение периодов отправляет отмеченную поверхность X K3 на комплексную прямую . Это сюръективный и локальный изоморфизм, но не изоморфизм (в частности, потому что D хаусдорфов, а N нет). Однако глобальная теорема Торелли для поверхностей K3 утверждает, что фактор-отображение множеств ${\ displaystyle N \ to D}$${\ displaystyle H ^ {0} (X, \ Omega ^ {2}) \ subset H ^ {2} (X, \ mathbb {C}) \ cong \ Lambda \ otimes \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle Н / О (\ Лямбда) \ к Д / О (\ Лямбда)}$

биективен. Отсюда следует, что две комплексные аналитические K3-поверхности X и Y изоморфны тогда и только тогда, когда существует изометрия Ходжа из в , то есть изоморфизм абелевых групп, сохраняющий форму пересечения и отправляющий в . ${\ Displaystyle Н ^ {2} (Х, \ mathbb {Z})}$${\ Displaystyle Н ^ {2} (Y, \ mathbb {Z})}$${\ displaystyle H ^ {0} (X, \ Omega ^ {2}) \ subset H ^ {2} (X, \ mathbb {C})}$${\ displaystyle H ^ {0} (Y, \ Omega ^ {2})}$

Пространства модулей проективных K3-поверхностей

Поляризованный К3 поверхность Х из рода г определяются как проективное К3 поверхности вместе с обильным линейным расслоением L такое , что L примитивно (то есть, не 2 или более раз другая линия расслоение) и . Это также называется поляризованной поверхностью K3 степени 2 g −2. ${\ Displaystyle c_ {1} (L) ^ {2} = 2g-2}$

При этих предположениях L не имеет базовых точек . В нулевой характеристике, теорема Бертини следует , что существует гладкая кривая C в линейной системе | L |, Все такие кривые имеют род g , что объясняет, почему ( X , L ) имеет род g .

Векторное пространство сечений L имеет размерность g + 1, и поэтому L дает морфизм из X в проективное пространство . В большинстве случаев этот морфизм является вложением, так что X изоморфно поверхности степени 2 g −2 in . ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {g}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {g}}$

Для каждой существует неприводимое грубое пространство модулей поляризованных комплексных K3-поверхностей рода g ; его можно рассматривать как открытое по Зарисскому подмножество многообразия Шимуры для группы SO (2,19) . Для каждого г , является квазипроективно комплексным многообразием размерности 19. Шигеру Мукаи показал , что это пространство модулей унирационально , если или . Напротив, Валерий Гриценко, Клаус Хулек и Грегори Шанкаран показали, что это общий тип if или . Обзор этой области был дан Voisin (2008) . ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {g}}$${\ displaystyle g \ geq 2}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {g}}$${\ displaystyle g \ leq 13}$${\ displaystyle g = 18,20}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {g}}$${\ displaystyle g \ geq 63}$${\ displaystyle g = 47,51,55,58,59,61}$

Различные 19-мерные пространства модулей сложным образом перекрываются. В самом деле, существует счетно бесконечное множество подмногообразий коразмерности 1, каждое из которых соответствует K3-поверхностям с числом Пикара не менее 2. Эти K3-поверхности имеют поляризации бесконечно многих различных степеней, а не только 2 g –2. Таким образом, можно сказать, что бесконечно много других пространств модулей пересекаются . Это неточно, поскольку не существует пространства с хорошим поведением, содержащего все пространства модулей . Однако конкретным вариантом этой идеи является тот факт, что любые две комплексные алгебраические K3-поверхности деформационно эквивалентны через алгебраические K3-поверхности. ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {g}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {g}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {h}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {g}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {g}}$

В более общем смысле, квазиполяризованная поверхность K3 рода g означает проективную поверхность K3 с примитивным nef и большим линейным расслоением L такими, что . Такое линейное расслоение еще дает морфизм в , но теперь он может заключить договор с конечным числом (-2) -кривых, так что образ Y из X является особой. ( (−2) -кривая на поверхности означает кривую, изоморфную кривой с самопересечением −2.) Пространство модулей квазиполяризованных K3-поверхностей рода g по-прежнему неприводимо размерности 19 (содержащее предыдущее пространство модулей в качестве открытое подмножество). Формально его лучше рассматривать как пространство модулей K3-поверхностей Y с особенностями Дю Валя. ${\ Displaystyle c_ {1} (L) ^ {2} = 2g-2}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {g}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {1}}$

Обильный конус и конус кривых

Замечательная особенность алгебраических K3-поверхностей состоит в том, что решетка Пикара определяет многие геометрические свойства поверхности, включая выпуклый конус обильных дивизоров (с точностью до автоморфизмов решетки Пикара). Обильный конус определяется решеткой Пикара следующим образом. По теореме об индексе Ходжа форма пересечения на вещественном векторном пространстве имеет сигнатуру . Отсюда следует, что множество элементов с положительным самопересечением имеет две компоненты связности . Вызвать положительный конус компонент , который содержит любой обильный дивизор на X . ${\ Displaystyle N ^ {1} (X): = \ operatorname {Pic} (X) \ otimes \ mathbb {R}}$${\ displaystyle (1, \ rho -1)}$${\ Displaystyle N ^ {1} (X)}$

Случай 1. Нет элемента u в Pic ( X ) с . Тогда обильный конус равен положительному конусу. Таким образом, это стандартный круглый конус. ${\ displaystyle u ^ {2} = - 2}$

Случай 2: В противном случае пусть множество корней решетки Пикара. В ортогональных дополнениях корней образуют множество гиперплоскостей , которые все проходят через положительный конус. Тогда обильный конус является связной компонентой дополнения этих гиперплоскостей в положительном конусе. Любые две такие компоненты изоморфны через ортогональную группу решетки Pic ( X ), поскольку она содержит отражение через каждую корневую гиперплоскость. В этом смысле решетка Пикара определяет обильный конус с точностью до изоморфизма. ${\ displaystyle \ Delta = \ {u \ in \ operatorname {Pic} (X): u ^ {2} = - 2 \}}$

Связанное с этим заявлением, в связи с Шандором Ковача, является то , что зная один достаточно делитель А в Pic ( X ) определяет весь конус кривых на X . А именно, предположим, что X имеет число Пикара . Если множество корней пусто, то замкнутый конус кривых является замыканием положительного конуса. В противном случае замкнутый конус кривых - это замкнутый выпуклый конус, натянутый на все элементы с . В первом случае X не содержит (−2) -кривых; во втором случае замкнутый конус кривых - это замкнутый выпуклый конус, натянутый на все (−2) -кривые. (Если есть еще одна возможность: конус кривых может быть натянут на одну (−2) -кривую и одну кривую с самопересечением 0.) Таким образом, конус кривых является либо стандартным круглым конусом, либо он имеет «острые углы» (поскольку каждая (−2) -кривая пересекает изолированный экстремальный луч конуса кривых). ${\ displaystyle \ rho \ geq 3}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle u \ in \ Delta}$${\ displaystyle A \ cdot u> 0}$${\ displaystyle \ rho = 2}$

Группа автоморфизмов

K3-поверхности несколько необычны среди алгебраических многообразий тем, что их группы автоморфизмов могут быть бесконечными, дискретными и сильно неабелевыми. Согласно версии теоремы Торелли решетка Пикара комплексной алгебраической K3-поверхности X определяет группу автоморфизмов X с точностью до соизмеримости . А именно, пусть группа Вейля W будет подгруппой ортогональной группы O (Pic ( X )), порожденной отражениями в множестве корней . Тогда W является нормальной подгруппой из O (Pic ( X )), а группа автоморфизмов X соизмерима с фактор - группой О (Pic ( X )) / Вт . Связанное с этим утверждение, сделанное Гансом Стерком, состоит в том, что Aut ( X ) действует на nef-конусе X с рациональной полиэдральной фундаментальной областью . ${\ displaystyle \ Delta}$

Отношение к струнной двойственности

Поверхности K3 почти повсеместно появляются в струнной дуальности и являются важным инструментом для ее понимания. Компактификации струн на этих поверхностях нетривиальны, но они достаточно просты, чтобы детально проанализировать большинство их свойств. Струна типа IIA, струна типа IIB, гетеротическая струна E ₈ × E _8, гетеротическая струна Spin (32) / Z2 и M-теория связаны компактификацией на поверхности K3. Например, струна типа IIA, компактифицированная на поверхности K3, эквивалентна гетеротической струне, компактифицированной на 4-торе ( Aspinwall (1996) ). Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFAspinwall1996 ( справка )

История

Поверхности четвертой степени изучались Эрнстом Куммером , Артуром Кэли , Фридрихом Шуром и другими геометрами 19-го века. В более общем плане Федериго Энрикес заметил в 1893 году, что для различных чисел g существуют поверхности степени 2 g −2 in с тривиальным каноническим расслоением и нулевой неправильностью. В 1909 году Энрикес показал, что такие поверхности существуют для всех , а Франческо Севери показал, что пространство модулей таких поверхностей имеет размерность 19 для каждого g . ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {g}}$${\ displaystyle g \ geq 3}$

Андре Вейль (1958) дал поверхностям К3 их имя (см. Цитату выше) и сделал несколько важных предположений об их классификации. Кунихико Кодаира завершил основную теорию примерно в 1960 году, в частности, провел первое систематическое исследование комплексных аналитических K3-поверхностей, которые не являются алгебраическими. Он показал, что любые две комплексные аналитические K3-поверхности деформационно эквивалентны и, следовательно, диффеоморфны, что было новым даже для алгебраических K3-поверхностей. Важным более поздним достижением стало доказательство теоремы Торелли для комплексных алгебраических K3-поверхностей Илья Пятецки-Шапиро и Игоря Шафаревича (1971), распространенное на комплексные аналитические K3-поверхности Дэниелом Бернсом и Майклом Рапопортом (1975).

Смотрите также

• Поверхность Энриквеса
• Гипотеза Тейта
• Самогон Матье , загадочная связь между поверхностями K3 и группой Матье M24 .

Примечания

использованная литература

• Аспинуолл, Пол (1997), «Поверхности K3 и струнная двойственность», « Поля, струны и двойственность» (Боулдер, Колорадо, 1996) , World Scientific, стр. 421–540, arXiv : hep-th / 9611137 , MR  1479699
• Barth, Wolf P .; Хулек, Клаус ; Питерс, Крис AM; Ван де Вен, Антониус (2004) [1984], Компактные сложные поверхности , Springer , DOI : 10.1007 / 978-3-642-57739-0 , ISBN 978-3-540-00832-3, MR  2030225
• Бовиль, Арно (1983), "Поверхности K3", семинар Бурбаки, Vol. 1982/83 Exp 609 , Astérisque, 105 , Paris: Société Mathématique de France , стр. 217–229, MR  0728990
• Бовиль, А .; Бургиньон, Ж.-П. ; Демазюр, М. (1985), Géométrie des поверхностей K3: modules et périodes, Séminaire Palaiseau , Astérisque, 126 , Париж: Société Mathématique de France , MR  0785216
• Браун, Гэвин (2007), "база данных поляризованной K3 поверхностей" , Экспериментальная Математика , 16 (1): 7-20, DOI : 10,1080 / 10586458.2007.10128983 , МР  2312974 , S2CID  24693572
• Бернс, Дэниел; Рапопорт, Майкл (1975), "О задаче Торелли для келеровых K-3 поверхностей" , Анналов Научных де l'Эколь Нормаль , Серия 4, 8 (2): 235-273, DOI : 10,24033 / asens.1287 , MR  0447635
• Энриквеса, Федерий (1893 г.), "Richerche ди Геометрия Sulle Superficie algebriche" , Memorie Академия ди Торино , 2, 44 : 171-232, СУЛ  25.1212.02
• Энрикес, Федерий (1909), "Le Superficie ди уно жанры" , Rendiconti Accademia ди Болонья , 13 : 25-28, JFM  40.0685.01
• Гриценко В.А.; Хулек, Клаус ; Sankaran, GK (2007), "Размерность Кодаира модулей поверхностей K3", Inventiones Mathematicae , 169 (3): 519–567, arXiv : math / 0607339 , Bibcode : 2007InMat.169..519G , doi : 10.1007 / s00222-007-0054-1 , Руководство по ремонту  2336040 , S2CID  14877568
• Хайбрехтс, Даниэль (2016), Лекции о поверхностях K3 (PDF) , Кембриджские исследования по высшей математике, 158 , Cambridge University Press, ISBN 978-1107153042, Руководство по ремонту  3586372
• Каменова Людмила; Лу, Стивен; Вербицкий, Миша (2014), «Псевдометрия Кобаяши на гиперкэлеровых многообразиях», Журнал Лондонского математического общества , 90 (2): 436–450, arXiv : 1308.5667 , doi : 10.1112 / jlms / jdu038 , MR  3263959 , S2CID  28495199
• Мукаи, Сигэру (2006), "Поляризованные поверхности K3 рода тринадцать", Пространства модулей и арифметическая геометрия , Adv. Stud. Чистая математика, 45 , Токио: Математика. Soc. Япония, стр. 315–326, MR  2310254
• Пятецкий-Шапиро, II ; Шафаревич, И. Р. (1971), «Теорема Торелли для алгебраических поверхностей типа K3», Математика СССР - Известия , 5 (3): 547–588, Bibcode : 1971IzMat ... 5..547P , doi : 10.1070 / IM1971v005n03ABEH001075 , Руководство по ремонту  0284440
• Рудаков, А.Н. (2001) [1994], "Поверхность К3" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Скорпан, Александру (2005), Дикий мир 4-многообразий , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3749-8, Руководство по ремонту  2136212
• Severi, Франческо (1909), "Le Superficie algebriche жулик Curva Canonica d'нулевой Ordine" (PDF) , Атти дель Istituto Veneto , 68 : 249-260, JFM  40.0683.03
• Вуазен, Клэр (2008), «Геометрия пространств модулей курбов и поверхностей K3 (d'après Gritsenko-Hulek-Sankaran, Farkas-Popa, Mukai, Verra, и др.)» (PDF) , Astérisque , Séminaire Bourbaki . 2006/2007. Опыт 981 (317): 467–490, ISBN. 978-2-85629-253-2, MR  2487743
• Вейль, Андре (1958), "Заключительный отчет по контракту AF 18 (603) -57", Научные работы. Сборник статей , II , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 390–395, 545–547, ISBN 978-0-387-90330-9, MR  0537935

внешние ссылки

• Домашняя страница базы данных Graded Ring для каталога поверхностей K3
• База данных K3 для системы компьютерной алгебры Magma
• Геометрия поверхностей K3 , лекции Дэвида Моррисона (1988).