Теорема о теннисной ракетке - Tennis racket theorem

Основные оси теннисной ракетки.

Титульный лист книги "Новая Теория вращения корпуса", печать 1852 года.

Теорема о теннисной ракетке или теорема о промежуточной оси является результатом классической механики, описывающей движение твердого тела с тремя различными основными моментами инерции . Его также называют эффектом Джанибекова , в честь советского космонавта Владимира Джанибекова, который заметил одно из логических следствий теоремы в космосе в 1985 году, хотя эффект был известен уже как минимум за 150 лет до этого.

Теорема описывает следующий эффект: вращение объекта вокруг своей первой и третьей главных осей устойчиво, а вращение вокруг своей второй главной оси (или промежуточной оси) - нет.

Это можно продемонстрировать с помощью следующего эксперимента: возьмите теннисную ракетку за ручку, повернув ее лицом горизонтально, и попытайтесь подбросить ее в воздух так, чтобы она совершила полный оборот вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной ручке, и попробуйте поймать ручку. Почти во всех случаях во время этого поворота грань также совершит половину оборота, так что теперь другая грань находится вверх. В отличие от этого, ракетку легко бросить так, чтобы она вращалась вокруг оси ручки (ê ₁ на схеме) без полуоборота вокруг другой оси; также можно заставить его вращаться вокруг вертикальной оси, перпендикулярной ручке (ê ₃ ), без какого-либо сопутствующего полуоборота.

Эксперимент можно провести с любым объектом, имеющим три различных момента инерции, например, с книгой, пультом дистанционного управления или смартфоном. Эффект возникает всякий раз, когда ось вращения лишь незначительно отличается от второй главной оси объекта; сопротивление воздуха или сила тяжести не требуются.

Теория

Визуализация нестабильности промежуточной оси. Величина углового момента и кинетическая энергия вращающегося объекта сохраняются. В результате вектор угловой скорости остается на пересечении двух эллипсоидов.

Воспроизвести медиа

Демонстрация эффекта Джанибекова в условиях микрогравитации , НАСА .

Теорема о теннисной ракетке может быть качественно проанализирована с помощью уравнений Эйлера . В условиях отсутствия крутящего момента они принимают следующий вид:

${\ displaystyle {\ begin {align} I_ {1} {\ dot {\ omega}} _ {1} & = (I_ {3} -I_ {2}) \ omega _ {3} \ omega _ {2} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ {\ text {(1)}} \\ I_ {2} {\ dot {\ omega}} _ {2} & = ( I_ {1} -I_ {3}) \ omega _ {1} \ omega _ {3} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ {\ text {(2)} } \\ I_ {3} {\ dot {\ omega}} _ {3} & = (I_ {2} -I_ {1}) \ omega _ {2} \ omega _ {1} ~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~ {\ text {(3)}} \ end {выровнено}}}$

Здесь обозначим основные моменты инерции объекта, и мы предполагаем . Угловые скорости вокруг трех главных осей объекта и их производные по времени обозначены . ${\ displaystyle I_ {1}, I_ {2}, I_ {3}}$${\ displaystyle I_ {1} <I_ {2} <I_ {3}}$${\ displaystyle \ omega _ {1}, \ omega _ {2}, \ omega _ {3}}$${\ displaystyle {\ dot {\ omega}} _ {1}, {\ dot {\ omega}} _ {2}, {\ dot {\ omega}} _ {3}}$

Стабильное вращение вокруг первой и третьей главной оси

Рассмотрим ситуацию, когда объект вращается вокруг оси с моментом инерции . Чтобы определить характер равновесия, предположите малые начальные угловые скорости вдоль двух других осей. В результате, согласно уравнению (1), очень мало. Поэтому временной зависимостью можно пренебречь. ${\ displaystyle I_ {1}}$${\ displaystyle ~ {\ dot {\ omega}} _ {1}}$${\ displaystyle ~ \ omega _ {1}}$

Теперь, дифференцируя уравнение (2) и подставляя из уравнения (3), ${\ displaystyle {\ dot {\ omega}} _ {3}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} I_ {2} {\ ddot {\ omega}} _ {2} & = (I_ {1} -I_ {3}) \ omega _ {1} {\ dot {\ omega }} _ {3} \\ I_ {3} I_ {2} {\ ddot {\ omega}} _ {2} & = (I_ {1} -I_ {3}) (I_ {2} -I_ {1 }) (\ omega _ {1}) ^ {2} \ omega _ {2} \\ {\ text {ie}} ~~~~ {\ ddot {\ omega}} _ {2} & = {\ text {(отрицательное количество)}} \ cdot \ omega _ {2} \ end {align}}}$

потому что и . ${\ displaystyle I_ {2} -I_ {1}> 0}$${\ displaystyle I_ {1} -I_ {3} <0}$

Обратите внимание, что это противодействие, поэтому вращение вокруг этой оси является стабильным для объекта. ${\ displaystyle \ omega _ {2}}$

Аналогичные рассуждения показывают, что вращение вокруг оси с моментом инерции также устойчиво. ${\ displaystyle I_ {3}}$

Нестабильное вращение вокруг второй главной оси

Теперь примените тот же анализ к оси с моментом инерции. Это время очень мало. Поэтому временной зависимостью можно пренебречь. ${\ displaystyle I_ {2}.}$${\ displaystyle {\ dot {\ omega}} _ {2}}$${\ displaystyle ~ \ omega _ {2}}$

Теперь, дифференцируя уравнение (1) и подставляя из уравнения (3), ${\ displaystyle {\ dot {\ omega}} _ {3}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} I_ {1} I_ {3} {\ ddot {\ omega}} _ {1} & = (I_ {3} -I_ {2}) (I_ {2} -I_ { 1}) (\ omega _ {2}) ^ {2} \ omega _ {1} \\ {\ text {ie}} ~~~~ {\ ddot {\ omega}} _ {1} & = {\ текст {(положительное количество)}} \ cdot \ omega _ {1} \ end {выровнено}}}$

Обратите внимание, что это не противоположно (и, следовательно, будет расти), поэтому вращение вокруг второй оси нестабильно . Следовательно, даже небольшое возмущение по другим осям заставляет объект «переворачиваться». ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$

Смотрите также

• Бифуркационная диаграмма  - Визуализация внезапных изменений поведения, вызванных непрерывными изменениями параметров
• Теория бифуркации  - Изучение внезапных качественных изменений поведения, вызванных небольшими изменениями параметров
• Углы Эйлера  - Описание ориентации твердого тела
• Резонанс Фано
• Константы Фейгенбаума  - математические константы, связанные с хаотическим поведением
• Метастабильность
• Момент инерции  - скалярная мера инерции вращения относительно фиксированной оси вращения.
• Эллипсоид Пуансо  - геометрический метод для визуализации вращающегося твердого тела
• Polhode  - Кривая, полученная вектором угловой скорости на эллипсоиде инерции
• Резонанс формы

использованная литература

внешние ссылки

• Дэн Рассел (5 марта 2010 г.). «Демонстрация замедленного действия Джанибекова с ракетками для настольного тенниса» . Проверено 2 февраля 2017 года - через YouTube.
• Западловский (16 июня 2010 г.). «Демонстрация эффекта Джанибекова» . Проверено 2 февраля 2017 года - через YouTube.на Международной космической станции " Мир"
• Вячеслав Мезенцев (7 сентября 2011 г.). «Эффект Джанибекова смоделирован в Mathcad 14» . Проверено 2 февраля 2017 года - через YouTube.
• Луи Пуансо , Новая Теория вращения корпуса , Париж, Башелье, 1834, 170 с. OCLC  457954839  : исторически первое математическое описание этого эффекта.
• «Эллипсоиды и причудливое поведение вращающихся тел» .- интуитивно понятное видеообъяснение Мэтта Паркера