Теорема Колмогорова – Арнольда о представлении - Kolmogorov–Arnold representation theorem

В реальном анализе и теории приближений , в теореме о представлении Колмогорова-Арнольда (или суперпозиция теорема ) гласит , что каждый многомерный непрерывная функция может быть представлена в виде суперпозиции непрерывных функций одной переменной. Он решил более ограниченную, но более общую форму тринадцатой проблемы Гильберта .

Работы Андрея Колмогорова и В. Арнольд установили , что если е является многомерной непрерывной функцией, то F можно записать в виде конечной композиции непрерывных функций одного переменный и бинарная операции в дополнении . В частности,

${\ displaystyle f (\ mathbf {x}) = f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = \ sum _ {q = 0} ^ {2n} \ Phi _ {q} \ left (\ сумма _ {p = 1} ^ {n} \ phi _ {q, p} (x_ {p}) \ right)}$ .

Есть доказательства с конкретными построениями.

В каком-то смысле они показали, что единственной истинной многомерной функцией является сумма, поскольку любая другая функция может быть записана с использованием одномерных функций и суммирования.

История

Теорема Колмогорова – Арнольда о представлении тесно связана с 13-й проблемой Гильберта . В своей лекции в Париже на Международном математическом конгрессе в 1900 году Давид Гильберт сформулировал 23 задачи, которые, по его мнению, были важны для дальнейшего развития математики. 13-я из этих задач касалась решения общих уравнений высших степеней. Известно, что для алгебраических уравнений степени 4 решение может быть вычислено по формулам, которые содержат только радикалы и арифметические операции. Для более высоких порядков теория Галуа показывает нам, что решения алгебраических уравнений не могут быть выражены в терминах основных алгебраических операций. Из так называемого преобразования Чирнхауза следует, что общее алгебраическое уравнение

${\ displaystyle x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {0} = 0}$

можно перевести в форму . Преобразование Чирнхауза задается формулой, содержащей только радикалы, арифметические операции и преобразования. Следовательно, решение алгебраического уравнения степени может быть представлено как суперпозиция функций двух переменных, если и как суперпозиция функций от переменных, если . Ибо решение представляет собой суперпозицию арифметических операций, радикалов и решение уравнения . ${\ displaystyle y ^ {n} + b_ {n-4} y ^ {n-4} + \ cdots + b_ {1} y + 1 = 0}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n <7}$${\ displaystyle n-4}$${\ displaystyle n \ geq 7}$${\ displaystyle n = 7}$${\ displaystyle y ^ {7} + b_ {3} y ^ {3} + b_ {2} y ^ {2} + b_ {1} y + 1 = 0}$

Дальнейшее упрощение с помощью алгебраических преобразований кажется невозможным, что привело к гипотезе Гильберта о том, что «Решение общего уравнения степени 7 не может быть представлено как суперпозиция непрерывных функций двух переменных». Это объясняет связь тринадцатой проблемы Гильберта с представлением многомерной функции в виде суперпозиции низкоразмерных функций. В этом контексте это стимулировало множество исследований различных авторов по теории функций и другим смежным проблемам.

Варианты

Вариант теоремы Колмогорова, сокращающий количество внешних функций , принадлежит Джорджу Лоренцу . В 1962 году он показал, что внешние функции могут быть заменены единственной функцией . Точнее, Лоренц доказал существование функций , , таким образом, что ${\ displaystyle \ Phi _ {q}}$${\ displaystyle \ Phi _ {q}}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ phi _ {q, p}}$${\ Displaystyle д = 0,1, \ ldots, 2n}$${\ Displaystyle р = 1, \ ldots, п,}$

${\ displaystyle f (\ mathbf {x}) = \ sum _ {q = 0} ^ {2n} \ Phi \ left (\ sum _ {p = 1} ^ {n} \ phi _ {q, p} ( x_ {p}) \ right)}$ .

Дэвид Спречер заменил внутренние функции одной внутренней функцией с соответствующим сдвигом в ее аргументе. Он доказал, что существуют действительные значения , непрерывная функция и действительная возрастающая непрерывная функция с , для , такие, что ${\ displaystyle \ phi _ {q, p}}$${\ displaystyle \ eta, \ lambda _ {1}, \ ldots, \ lambda _ {n}}$${\ Displaystyle \ Phi \ двоеточие \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ фи \ двоеточие [0,1] \ rightarrow [0,1]}$${\ displaystyle \ phi \ in \ operatorname {Lip} (\ ln 2 / \ ln (2N + 2))}$${\ Displaystyle N \ geq п \ geq 2}$

${\ displaystyle f (\ mathbf {x}) = \ sum _ {q = 0} ^ {2n} \ Phi \ left (\ sum _ {p = 1} ^ {n} \ lambda _ {p} \ phi ( x_ {p} + \ eta q) + q \ right)}$ .

Филипп А. Остранд обобщил теорему Колмогорова о суперпозиции на компактные метрические пространства. Ибо пусть - компактные метрические пространства конечной размерности и пусть . Тогда существуют непрерывные функции и непрерывные функции такие, что любая непрерывная функция представима в виде ${\ displaystyle p = 1, \ ldots, m}$${\ displaystyle X_ {p}}$${\ displaystyle n_ {p}}$${\ Displaystyle п = \ сумма _ {p = 1} ^ {m} n_ {p}}$${\ displaystyle \ phi _ {q, p} \ двоеточие X_ {p} \ rightarrow [0,1], q = 0, \ ldots, 2n, p = 1, \ ldots, m}$${\ displaystyle G_ {q} \ двоеточие [0,1] \ rightarrow \ mathbb {R}, q = 0, \ ldots, 2n}$${\ displaystyle f \ двоеточие X_ {1} \ times \ dots \ times X_ {m} \ rightarrow \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle f (x_ {1}, \ ldots, x_ {m}) = \ sum _ {q = 0} ^ {2n} G_ {q} \ left (\ sum _ {p = 1} ^ {m} \ phi _ {q, p} (x_ {p}) \ right)}$ .

Ограничения

Теорема не верна в общем случае для сложных многомерных функций, как обсуждается здесь. Более того, негладкость внутренних функций и их «дикое поведение» ограничивают практическое использование представления, хотя по этому поводу ведутся некоторые споры.

Смотрите также

• Универсальная аппроксимационная теорема

Рекомендации

Источники

• Андрей Колмогоров , «О представлении непрерывных функций многих переменных суперпозициями непрерывных функций меньшего числа переменных», Труды АН СССР , 108 (1956), с. 179–182; Английский перевод: амер. Математика. Soc. Пер. , 17 (1961), стр. 369–373.
• Владимир Арнольд , "О функциях трех переменных", Известия АН СССР , 114 (1957), с. 679–681; Английский перевод: амер. Математика. Soc. Пер. , 28 (1963), стр. 51–54.

дальнейшее чтение

• С.Я. Хавинсон, Наилучшее приближение линейными суперпозициями (приближенная номография) , Переводы математических монографий AMS (1997)

внешние ссылки

• Алгоритм глубокого машинного обучения для построения представления Колмогорова-Арнольда.