Колмогорова теорема непрерывности - Kolmogorov continuity theorem

В математике , то Колмогоров непрерывность теоремы является теорема , которая гарантирует , что стохастический процесс , который удовлетворяет определенные ограничения на моменты его шагом будет непрерывным (или, точнее, есть «непрерывный вариант»). Это приписывается советскому математику Андрею Николаевичу Колмогорову .

Заявление

Позвольте быть некоторым полным метрическим пространством, и пусть быть случайным процессом. Предположим, что на все времена существуют такие положительные постоянные , что ${\ displaystyle (S, d)}$ ${\ Displaystyle X \ двоеточие [0, + \ infty) \ times \ Omega \ to S}$ ${\ displaystyle T> 0}$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta, K}$

{\ displaystyle \ mathbb {E} [d (X_ {t}, X_ {s}) ^ {\ alpha}] \ leq K | ts | ^ {1+ \ beta}}

для всех . Тогда существует модификация того, что является непрерывным процессом, т. Е. Процесс такой, что ${\ displaystyle 0 \ leq s, т \ leq T}$ ${\ displaystyle {\ tilde {X}}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle {\ тильда {X}} \ двоеточие [0, + \ infty) \ times \ Omega \ to S}$

${\ displaystyle {\ tilde {X}}}$ является выборкой непрерывной ;
на каждый раз , ${\ Displaystyle т \ geq 0}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (X_ {t} = {\ tilde {X}} _ {t}) = 1.}$

Более того, пути из локально -непрерывны по Гельдеру для каждого . ${\ displaystyle {\ tilde {X}}}$ ${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle 0 <\ gamma <{\ tfrac {\ beta} {\ alpha}}}$

Пример

В случае броуновского движения на , выбор констант , , будет работать в теореме о непрерывности Колмогорова. Кроме того, для любого положительного целого числа , константы , будет работать, для некоторого положительного значения , которое зависит от и . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ ${\ displaystyle \ alpha = 4}$ ${\ displaystyle \ beta = 1}$ ${\ Displaystyle К = п (п + 2)}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle \ alpha = 2m}$ ${\ Displaystyle \ бета = м-1}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle m}$