Теорема Ландау о простых идеалах - Landau prime ideal theorem

В алгебраической теории чисел теорема о простом идеале является обобщением теоремы о простых числах числовым полем . Это обеспечивает асимптотическую формулу для подсчета числа простых идеалов из числового поля К с нормой не более X .

Пример

Чего ожидать, видно уже для гауссовых целых чисел . Там для любого простого числа p вида 4 n + 1, p множится как произведение двух гауссовских простых чисел нормы p . Простые числа вида 4 n + 3 остаются простыми, давая гауссовское простое число с нормой p ² . Поэтому следует оценить

${\ displaystyle 2r (X) + r ^ {\ prime} ({\ sqrt {X}})}$

где r считает простые числа в арифметической прогрессии 4 n + 1, а r ′ в арифметической прогрессии 4 n + 3. Согласно количественной форме теоремы Дирихле о простых числах каждое из r ( Y ) и r ′ ( Y ) асимптотически

${\ displaystyle {\ frac {Y} {2 \ log Y}}.}$

Следовательно, член 2 r ( X ) преобладает и асимптотически

${\ displaystyle {\ frac {X} {\ log X}}.}$

Общие числовые поля

Этот общий шаблон верен для числовых полей в целом, так что в теореме о простом идеале преобладают идеалы нормы простого числа. Как доказал Эдмунд Ландау в Ландау 1903 г. , для нормы не выше X та же асимптотическая формула

${\ displaystyle {\ frac {X} {\ log X}}}$

всегда держит. Эвристически это потому , что логарифмическая производная от дедекиндовым дзета-функции из K всегда имеет простой полюс с остатком -1 при х = 1.

Как и в случае с теоремой о простых числах, более точная оценка может быть дана в терминах логарифмической интегральной функции . Число простых идеалов нормы ≤ X равно

${\ displaystyle \ mathrm {Li} (X) + O_ {K} (X \ exp (-c_ {K} {\ sqrt {\ log (X)}}), \,}$

где с _K константа , зависящая от K .

Смотрите также

• Абстрактная аналитическая теория чисел

использованная литература

• Алина Кармен Кожокару ; М. Рам Мурти . Введение в ситовые методы и их применение . Тексты студентов Лондонского математического общества. 66 . Издательство Кембриджского университета . С. 35–38. ISBN   0-521-61275-6 .
• Ландау, Эдмунд (1903). "Neuer Beweis des Primzahlsatzes und Beweis des Primidealsatzes" . Mathematische Annalen . 56 (4): 645–670. DOI : 10.1007 / BF01444310 . S2CID   119669682 .
• Хью Л. Монтгомери ; Роберт К. Воан (2007). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория . Кембриджские трактаты по высшей математике. 97 . С. 266–268. ISBN   978-0-521-84903-6 .