Закон касательных - Law of tangents

Рисунок 1 - Треугольник. Углы α , β и γ соответственно противоположны сторонам a , b и c .

Тригонометрия
Контур История использование Функции  ( обратные ) Обобщенная тригонометрия
Ссылка
Идентичности Точные константы Таблицы Единичный круг
Законы и теоремы
Синусы Косинусы Касательные Котангенсы теорема Пифагора
Исчисление
Тригонометрическая замена Интегралы  ( обратные функции ) Производные
v т е

В тригонометрии , то закон касательных является заявление о соотношении между касательными двумя углами треугольника и длинами противоположных сторон.

На рисунке 1 a , b и c - длины трех сторон треугольника, а α , β и γ - углы, противоположные этим трем соответствующим сторонам. Закон касательных гласит, что

${\ displaystyle {\ frac {ab} {a + b}} = {\ frac {\ tan {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha - \ beta)} {\ tan {\ tfrac {1} { 2}} (\ alpha + \ beta)}}.}$

Закон касательных, хотя и не так широко известен как закон синусов или закон косинусов , эквивалентен закону синусов и может использоваться в любом случае, когда две стороны и включенный угол или два угла и сторона , известны.

Доказательство

Чтобы доказать закон касательных, можно начать с закона синусов :

${\ displaystyle {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b} {\ sin \ beta}}.}$

Позволять

${\ displaystyle d = {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b} {\ sin \ beta}}}$

так что

${\ displaystyle a = d \ sin \ alpha \ quad {\ text {and}} \ quad b = d \ sin \ beta.}$

Следует, что

${\ displaystyle {\ frac {ab} {a + b}} = {\ frac {d \ sin \ alpha -d \ sin \ beta} {d \ sin \ alpha + d \ sin \ beta}} = {\ frac {\ sin \ alpha - \ sin \ beta} {\ sin \ alpha + \ sin \ beta}}.}$

Используя тригонометрическое тождество , формула множителя для синусов в частности

${\ displaystyle \ sin \ alpha \ pm \ sin \ beta = 2 \ sin {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha \ pm \ beta) \, \ cos {\ tfrac {1} {2}} ( \ alpha \ mp \ beta),}$

мы получаем

${\ displaystyle {\ frac {ab} {a + b}} = {\ frac {2 \ sin {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha - \ beta) \, \ cos {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha + \ beta)} {2 \ sin {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha + \ beta) \, \ cos {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha - \ beta)}} = {\ frac {\ sin {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha - \ beta)} {\ cos {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha - \ beta )}} {\ Bigg /} {\ frac {\ sin {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha + \ beta)} {\ cos {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha + \ beta)}} = {\ frac {\ tan {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha - \ beta)} {\ tan {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha + \ beta)} }.}$

В качестве альтернативы использованию тождества для суммы или разности двух синусов можно привести тригонометрическое тождество

${\ displaystyle \ tan {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha \ pm \ beta) = {\ frac {\ sin \ alpha \ pm \ sin \ beta} {\ cos \ alpha + \ cos \ beta} }}$

(см. формулу касательного полуугла ).

заявка

Закон касательных может использоваться для вычисления недостающей стороны и углов треугольника, в котором заданы две стороны a и b и закрытый угол γ . Из

${\ displaystyle \ tan {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha - \ beta) = {\ frac {ab} {a + b}} \ tan {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha + \ beta) = {\ frac {ab} {a + b}} \ cot {\ tfrac {1} {2}} \ gamma}$

можно вычислить α - β ; вместе с α + β = 180 ° - γ это дает α и β ; оставшаяся часть c может быть вычислена по закону синусов . До появления электронных калькуляторов этот метод был предпочтительнее применения закона косинусов c = √ a ² + b ² - 2 ab cos γ , поскольку последний закон требовал дополнительного поиска в таблице логарифмов , чтобы для вычисления квадратного корня. В наше время закон касательных может иметь лучшие числовые свойства, чем закон косинусов: если γ мало, а a и b почти равны, то применение закона косинусов приводит к вычитанию почти равных значений, что подразумевает потеря значащих цифр .

Сферическая версия

На сфере единичного радиуса стороны треугольника представляют собой дуги больших окружностей . Соответственно, их длина может быть выражена в радианах или любых других единицах угловой меры. Пусть A , B , C - углы в трех вершинах треугольника, а a , b , c - длины противоположных сторон соответственно. Сферический закон касательных говорит

${\ displaystyle {\ frac {\ tan {\ tfrac {1} {2}} (AB)} {\ tan {\ tfrac {1} {2}} (A + B)}} = {\ frac {\ tan {\ tfrac {1} {2}} (ab)} {\ tan {\ tfrac {1} {2}} (a + b)}}.}.$

История

Закон касательных для сферических треугольников был описан в 13 веке персидским математиком Насир ад-Дин ат-Туси (1201–1274), который также представил закон синусов для плоских треугольников в своей пятитомной работе « Трактат о четырехугольнике» .

Смотрите также

• Закон синусов
• Закон косинусов
• Закон котангенсов
• Формула Моллвейде
• Формула половинной стороны
• Формула касательного полуугла

Примечания