Lotschnittaxiom - Lotschnittaxiom

Lotschnittaxiom (немецкий языка для «аксиомы пересекающихся перпендикуляров») является аксиомой в основах геометрии , введено и изучен Фридрих Bachmann говорится:

Перпендикуляры, поднятые по обе стороны от прямого угла, пересекаются.

Бахман показал, что в отсутствие аксиомы Архимеда она строго слабее, чем аксиома прямоугольника, которая утверждает, что существует прямоугольник, который, в свою очередь, строго слабее, чем постулат параллельности , как показал Макс Ден . При наличии аксиомы Архимеда Lotschnittaxiom эквивалентен постулату параллельности .

Эквивалентные составы

Как показал Бахманн, таксиом Лотшнитса эквивалентен утверждению

Через любую точку внутри прямого угла проходит линия, пересекающая обе стороны угла.

Было показано, что это также эквивалентно утверждению

Высота в равнобедренном треугольнике с углами основания 45 ° меньше основания.

и в этом смысле она эквивалентна следующей аксиоме, предложенной Лагранжем :

Если прямые a и b являются двумя пересекающимися линиями, параллельными прямой g, то отражение a в b также параллельно g.

Как показано на, таксиом Lotschnittaxiom также эквивалентен следующим утверждениям: первое принадлежит А. Липпману, второе - Анри Лебегу.

Для любого круга существует треугольник, содержащий этот круг внутри.

Для любого выпуклого четырехугольника существует треугольник, содержащий этот выпуклый четырехугольник внутри.

Еще три эквивалентных формулировки, все чисто инцидентно-геометрические, были доказаны в:

Учитывая три параллельные линии, есть линия, которая пересекает все три из них.

Существуют такие прямые a и b, что любая прямая пересекает a или b.

Если прямые a_1, a_2 и a_3 попарно параллельны, то существует перестановка (i, j, k) из (1,2,3) такая, что любая прямая g, которая пересекает a_i и a_j, также пересекает a_k.

В геометрии отражений от линий Бахмана

Его роль в абсолютной геометрии Фридриха Бахмана, основанной на отражениях от линий, в отсутствии порядка или свободной подвижности (теория метрических плоскостей) изучалась в и в.

Связь с постулатом параллельности

Как показано в, соединение аксиомы Лотшнитта и аксиомы Аристотеля эквивалентно постулату параллельности .

Рекомендации

Источники