Категория Люстерника – Шнирельмана - Lusternik–Schnirelmann category

В математике , то категория Люстерника-Шнирельмана (или, Люстерника-Шнирельмана , LS-категория ) из топологического пространства является гомотопическим инвариантом определяется как наименьшее целое число такое , что существует открытое покрытие из со свойством , что каждое отображение включения является nullhomotopic . Например, если это сфера, это принимает значение два. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle k}$ ${\ Displaystyle \ {U_ {я} \} _ {1 \ leq я \ leq k}}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle U_ {i} \ hookrightarrow X}$${\ displaystyle X}$

Иногда применяется другая нормализация инварианта, которая на единицу меньше, чем определение выше. Такая нормализация была принята в окончательной монографии Корнеа, Луптона, Опреа и Танре (см. Ниже).

Вообще говоря, вычислить этот инвариант, который был первоначально введен Лазаром Люстерником и Львом Шнирельманом в связи с вариационными задачами, непросто . Он имеет тесную связь с алгебраической топологией , в частности с длиной чашки . В современной нормализации длина чашки является нижней границей для LS-категории.

Это было, как было первоначально определено для случая в коллекторе , нижняя граница для числа критических точек , что вещественная функция на может обладать (это должно быть по сравнению с результатом в теории Морса , что показывает , что сумма Betti числа - это нижняя оценка числа критических точек функции Морса). ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Инвариант обобщен в нескольких различных направлениях (действия групп, слоения , симплициальные комплексы и т. Д.).

Смотрите также

• Гипотеза Ганеи
• Систолическая категория

Ссылки

• Ральф Х. Фокс , О категории Люстерника-Шнирельмана , Анналы математики 42 (1941), 333–370.
• Флорис Такенс , Минимальное число критических точек функции на компактных многообразиях и категория Люстерника-Шнирельмана , Inventiones Mathematicae 6 (1968), 197–244.
• Тюдор Ганеа , Некоторые проблемы числовых гомотопических инвариантов , Конспект лекций по математике. 249 (Springer, Берлин, 1971), стр. 13–22 MR 0339147
• Иоан Джеймс , О категориях в смысле Люстерника-Шнирельмана , Топология 17 (1978), 331–348.
• Моника Клапп и Дитер Пуппе, Инварианты типа Люстерника-Шнирельмана и топология критических множеств , Труды Американского математического общества 298 (1986), вып. 2, 603–620.
• Октав Корнеа, Грегори Луптон, Джон Опря, Даниэль Танре, категория Люстерника-Шнирельмана , Математические обзоры и монографии, 103. Американское математическое общество , Провиденс, Род-Айленд, 2003 ISBN  0-8218-3404-5