Гомотопия - Homotopy
В топологии , разделе математики , две непрерывные функции из одного топологического пространства в другое называются гомотопическими (от греческого ὁμός homós «тот же, подобный» и τόπος tópos «место»), если одна может быть «непрерывно деформирована» в другую, например деформация называется гомотопией между двумя функциями. Заметное использование гомотопии - определение гомотопических групп и когомотопических групп , важных инвариантов в алгебраической топологии .
На практике возникают технические трудности с использованием гомотопий с определенными пространствами. Алгебраические топологи работают с компактно порожденными пространствами , комплексами CW или спектрами .
Формальное определение
Формально, гомотопия между двумя непрерывными функциями f и g из топологического пространства X в топологическое пространство Y определяется как непрерывная функция от произведения пространства X с единичным интервалом [0, 1] на Y, такое что и для все .
Если мы считаем , что второй параметр из H в качестве времени , то Н описывает непрерывную деформацию из F в г : в момент времени 0 мы имеем функцию F , и в момент времени 1 мы имеем функцию г . Мы также можем думать о втором параметре как о «ползунке», который позволяет нам плавно переходить от f к g, когда ползунок перемещается от 0 до 1 и наоборот.
Альтернативное обозначение - сказать, что гомотопия между двумя непрерывными функциями - это семейство непрерывных функций для таких, что и , и отображение непрерывно из в . Две версии совпадают по настройке . Недостаточно требовать, чтобы каждая карта была непрерывной.
Анимация, которая зацикливается наверху справа, представляет собой пример гомотопии между двумя вложениями , f и g , тора в R 3 . X - тор, Y - R 3 , f - некоторая непрерывная функция от тора до R 3, которая переводит тор во вложенную форму поверхности бублика, с которой начинается анимация; g - некоторая непрерывная функция, которая переводит тор во вложенную форму поверхности кофейной кружки. Анимация показывает изображение h t ( x ) как функцию параметра t , где t изменяется со временем от 0 до 1 в течение каждого цикла цикла анимации. Он делает паузу, затем показывает изображение, когда t изменяется обратно от 1 до 0, делает паузу и повторяет этот цикл.
Характеристики
Непрерывные функции f и g называются гомотопическими тогда и только тогда, когда существует гомотопия H, переводящая f в g, как описано выше. Будучи гомотопными является отношением эквивалентности на множестве всех непрерывных функций из X в Y . Это гомотопическое отношение совместимо с композицией функций в следующем смысле: если f 1 , g 1 : X → Y гомотопны и f 2 , g 2 : Y → Z гомотопны, то их композиции f 2 ∘ f 1 и g 2 ∘ g 1 : X → Z также гомотопны.
Примеры
- Если заданы как и , то отображение, данное как, является гомотопией между ними.
- В более общем смысле , если является выпуклое подмножество евклидова пространства и имеют дорожки с теми же концами, то есть линейный Гомотопический (или прямой линии Гомотопический ) задается
- Позвольте быть тождественной функцией на единице n - диска ; т.е. набор . Позвольте быть постоянной функцией, которая отправляет каждую точку в начало координат . Тогда между ними существует гомотопия:
Гомотопическая эквивалентность
Принимая во внимание два топологических пространства X и Y , A гомотопическая эквивалентность между Й и Y представляет собой пару непрерывных отображений F : X → Y и г : Y → X , такие , что г ∘ е гомотопен тождественное отображение идентификатор Х и е ∘ г гомотопный ид Y . Если такая пара существует, то говорят , что X и Y гомотопически эквивалентны или относятся к одному и тому же гомотопическому типу . Интуитивно два пространства X и Y гомотопически эквивалентны, если они могут быть преобразованы друг в друга с помощью операций сгибания, сжатия и расширения. Пространства, гомотопически эквивалентные точке, называются стягиваемыми .
Гомотопическая эквивалентность против гомеоморфизма
Гомеоморфизм представляет собой частный случай гомотопической эквивалентности, в котором г ∘ е равно тождественное отображение идентификатора X (не только гомотопный к нему), а е ∘ г равно ид Y . Следовательно, если X и Y гомеоморфны, то они гомотопически эквивалентны, но обратное неверно. Некоторые примеры:
- Твердый диск гомотопически эквивалентен одной точке, поскольку вы можете деформировать диск по радиальным линиям непрерывно до одной точки. Однако они не гомеоморфны, поскольку между ними нет биекции (поскольку одно - бесконечное множество, а другое - конечное).
- Мёбиус и раскручивается (закрытые) полосы гомотопически эквивалентны, так как вы можете деформировать обе полосы непрерывно по кругу. Но они не гомеоморфны.
Примеры
- Первый пример гомотопической эквивалентности - точка, обозначенная . Часть, которая должна быть проверена, - это наличие гомотопии между и , проекция на начало координат. Это можно описать как .
- Существует гомотопическая эквивалентность между ( 1-сферой ) и .
- В более общем плане .
- Любое расслоение со слоями, гомотопически эквивалентными точке, имеет гомотопически эквивалентные тотальное и базовое пространства. Это обобщает предыдущие два примера, поскольку представляет собой пучок волокон с волокном .
- Каждое векторное расслоение является расслоением со слоистой гомотопией, эквивалентной точке.
- Для любого , написав as и применив приведенные выше гомотопические эквивалентности.
- Если подкомплекс из комплекса CW стягивается, то фактор - пространство гомотопически эквивалентно .
- Деформационная ретракция гомотопическая эквивалентность.
Нуль-гомотопия
Функция f называется гомотопной нулю. если он гомотопен постоянной функции. (Гомотопию от f к постоянной функции тогда иногда называют нулевой гомотопией .) Например, отображение f из единичной окружности S 1 в любое пространство X является нулевым гомотопным именно тогда, когда оно может быть непрерывно расширено до отображения из единичный диск D 2 в X , совпадающее с F на границе.
Из этих определений следует, что пространство X стягиваемо тогда и только тогда, когда тождественное отображение из X в себя - которое всегда является гомотопической эквивалентностью - гомотопно нулю.
Инвариантность
Гомотопическая эквивалентность важна, потому что в алгебраической топологии многие понятия гомотопически инвариантны , то есть они уважают отношение гомотопической эквивалентности. Например, если X и Y являются гомотопически эквивалентными пространствами, то:
- Х является линейно связным тогда и только тогда , когда Y представляет.
- X является односвязной тогда и только тогда , когда Y есть.
- В (сингулярные) гомологии и когомологий из X и Y являются изоморфными .
- Если Х и Y являются линейно связным, то фундаментальные группы из X и Y изоморфны, и поэтому высшие гомотопические группы . (Без предположения линейной связности π 1 ( X , x 0 ) изоморфна π 1 ( Y , f ( x 0 )), где f : X → Y - гомотопическая эквивалентность и x 0 ∈ X. )
Примером алгебраического инварианта топологических пространств, который не является гомотопически-инвариантным, являются гомологии с компактным носителем (которые, грубо говоря, являются гомологиями компактификации , а компактификация не является гомотопически-инвариантной).
Варианты
Относительная гомотопия
Чтобы определить фундаментальную группу , необходимо понятие гомотопии относительно подпространства . Это гомотопии, в которых элементы подпространства остаются фиксированными. Формально: если е и г непрерывные отображения из X в Y и K представляет собой подмножество из X , то мы говорим , что е и г гомотопны относительно K , если существует гомотопия H : X × [0, 1] → Y между f и g такие, что H ( k , t ) = f ( k ) = g ( k ) для всех k ∈ K и t ∈ [0, 1]. Кроме того , если г является отвод из X в К и е тождественное отображение, это известно , как сильной деформации ретракта из X в K . Когда K является точкой, используется термин заостренная гомотопия .
Изотопия
В случае, если две заданные непрерывные функции f и g из топологического пространства X в топологическое пространство Y являются вложениями , можно спросить, могут ли они быть связаны «посредством вложений». Это приводит к концепции изотопии , которая является Гомотопический, Н , в обозначениях использовали до этого , таким образом, что при каждом фиксированном т , Н ( х , т ) дает вложение.
Родственная, но другая концепция - это концепция окружающей изотопии .
Требование, чтобы два вложения были изотопными, является более сильным требованием, чем их гомотопность. Например, отображение из интервала [−1, 1] в действительные числа, определенные как f ( x ) = - x , не изотопно тождеству g ( x ) = x . Любая гомотопия от f до идентичности должна была бы поменять конечные точки, что означало бы, что они должны будут «проходить» друг через друга. Более того, f изменило ориентацию интервала, а g - нет, что невозможно при изотопии. Однако карты гомотопны; одна гомотопия из f в тождество - это H : [−1, 1] × [0, 1] → [−1, 1], заданная H ( x , y ) = 2 yx - x .
Два гомеоморфизма (которые являются частными случаями вложений) единичного шара, согласованные на границе, можно показать, что они изотопны, используя уловку Александера . По этой причине, карта единичного круга в R 2 , определяемой F ( х , у ) = (- х , - у ) изотопно на 180 градусов поворота вокруг начала координат, и поэтому тождественное отображение и е изотопны потому что они могут быть соединены вращениями.
В геометрической топологии - например, в теории узлов - идея изотопии используется для построения отношений эквивалентности. Например, когда следует считать два узла одним и тем же? Берем два узла, K 1 и K 2 , в трехмерном мерном пространстве. Узел - это вложение одномерного пространства, «петли струны» (или круга) в это пространство, и это вложение дает гомеоморфизм между окружностью и ее изображением в пространстве вложения. Интуитивная идея, лежащая в основе понятия эквивалентности узлов, состоит в том, что можно деформировать одно вложение в другое с помощью пути вложений: непрерывная функция, начинающаяся с t = 0, дающая вложение K 1 , заканчивающаяся в t = 1, дающая вложение K 2 , с все промежуточные значения, соответствующие вложениям. Это соответствует определению изотопии. Окружающая изотопия , изучали в этом контексте является Изотопией большего пространства, рассматриваемой в свете его действий на встроенном подмногообразия. Узлы K 1 и K 2 считаются эквивалентными, когда существует окружающая изотопия, которая перемещает K 1 в K 2 . Это подходящее определение в топологической категории.
Подобный язык используется для эквивалентного понятия в контекстах, где есть более сильное понятие эквивалентности. Например, путь между двумя гладкими вложениями - это гладкая изотопия .
Времениподобная гомотопия
На лоренцевом многообразии определенные кривые различаются как времениподобные (представляющие то, что движется только вперед, а не назад во времени в каждой локальной системе отсчета). Времениподобная Гомотопический между двумя кривыми времениподобных является гомотопической таким образом, что кривая остатки времениподобных во время непрерывного перехода от одной кривой к другой. Никакая замкнутая времениподобная кривая (СТК) на лоренцевом многообразии не является времяподобной гомотопной точке (то есть нулевой времяподобной гомотопной); поэтому такое многообразие называется многосвязным времениподобными кривыми. Многообразие, такое как 3-сфера, может быть односвязным (любым типом кривой) и все же быть времениподобным многосвязным .
Характеристики
Подъемно-раздвижные свойства
Если у нас есть гомотопия H : X × [0,1] → Y и покрытие p : Y → Y, и нам дано отображение h 0 : X → Y такое, что H 0 = p ○ h 0 ( h 0 называется подъема из ч 0 ), то мы можем поднять все H на карте H : X × [0, 1] → Y такое , что р ○ H = H . Свойство гомотопического подъема используется для характеристики расслоений .
Еще одно полезное свойство, связанное с гомотопией, - это свойство расширения гомотопии , которое характеризует расширение гомотопии между двумя функциями от подмножества некоторого набора до самого набора. Это полезно при работе с кофибрациями .
Группы
Так как отношение двух функций гомотопности относительно подпространства является отношением эквивалентности, мы можем смотреть на классы эквивалентности отображений между фиксированным X и Y . Если мы зафиксируем , единичный интервал [0, 1] пересекся сам с собой n раз, и мы возьмем его границу как подпространство, то классы эквивалентности образуют группу, обозначенную , где находится в образе подпространства .
Мы можем определить действие одного класса эквивалентности на другой, и таким образом мы получим группу. Эти группы называются гомотопическими группами . В этом случае ее еще называют фундаментальной группой .
Гомотопическая категория
Идею гомотопии можно превратить в формальную категорию теории категорий . Гомотопическая категория является категорией, объекты которой являются топологическими пространствами, а морфизмами гомотопические классы эквивалентности непрерывных отображений. Два топологических пространства X и Y изоморфны в этой категории тогда и только тогда, когда они гомотопически эквивалентны. Тогда функтор в категории топологических пространств гомотопически инвариантен, если он может быть выражен как функтор в гомотопической категории.
Например, группы гомологий являются функториальным гомотопическим инвариантом: это означает, что если f и g из X в Y гомотопны, то гомоморфизмы групп, индуцированные f и g на уровне групп гомологий , одинаковы: H n ( f ) = H n ( g ): H n ( X ) → H n ( Y ) для всех n . Аналогично, если X и Y дополнительно линейно связаны и гомотопия между f и g указана, то гомоморфизмы групп, индуцированные f и g на уровне гомотопических групп , также одинаковы: π n ( f ) = π n ( ж ): π n ( X ) → π n ( Y ).
Приложения
На основе концепции гомотопности, методы расчета для алгебраических и дифференциальных уравнений были разработаны. Методы для алгебраических уравнений включают метод продолжения гомотопии и метод продолжения (см. Численное продолжение ). К методам построения дифференциальных уравнений относится метод гомотопического анализа .
Смотрите также
- Волоконно-гомотопическая эквивалентность (относительная версия гомотопической эквивалентности)
- Гомеотопия
- Теория гомотопического типа
- Группа классов сопоставления
- Гипотеза Пуанкаре
- Регулярная гомотопия
использованная литература
Источники
- Армстронг, Массачусетс (1979). Базовая топология . Springer. ISBN 978-0-387-90839-7.
- "Гомотопия" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- "Изотопия (в топологии)" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Спаниер, Эдвин (декабрь 1994). Алгебраическая топология . Springer. ISBN 978-0-387-94426-5.