Уравнения Ньютона – Эйлера - Newton–Euler equations

В классической механике , то Ньютон-Эйлер уравнения описывают объединенную поступательную и вращательную динамику из более твердого тела .

Традиционно уравнения Ньютона – Эйлера представляют собой объединение двух законов движения Эйлера для твердого тела в одно уравнение с 6 компонентами с использованием векторов-столбцов и матриц . Эти законы связывают движение центра тяжести твердого тела с суммой сил и моментов (или синонимов моментов ), действующих на твердое тело.

Центр масс кадра

Что касается системы координат , начало которой совпадает с центром масс тела , они могут быть выражены в матричной форме как:

{\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} {\ mathbf {F}} \\ {\ boldsymbol {\ tau}} \ end {matrix}} \ right) = \ left ({\ begin {matrix} m { \ mathbf {I} _ {3}} & 0 \\ 0 & {\ mathbf {I}} _ {\ rm {cm}} \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} \ mathbf { a} _ {\ rm {cm}} \\ {\ boldsymbol {\ alpha}} \ end {matrix}} \ right) + \ left ({\ begin {matrix} 0 \\ {\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ mathbf {I}} _ {\ rm {cm}} \, {\ boldsymbol {\ omega}} \ end {matrix}} \ right),}

где

F = общая сила, действующая на центр масс

m = масса тела

I ₃ = единичная матрица 3 × 3

a _см = ускорение центра масс

v _см = скорость центра масс

τ = общий крутящий момент, действующий вокруг центра масс

I _см = момент инерции относительно центра масс

ω = угловая скорость тела

α = угловое ускорение тела

Любая система отсчета

По отношению к системе координат, расположенной в точке P, которая закреплена в теле и не совпадает с центром масс, уравнения принимают более сложную форму:

{\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} {\ mathbf {F}} \\ {\ boldsymbol {\ tau}} _ {\ rm {p}} \ end {matrix}} \ right) = \ left ( {\ begin {matrix} m {\ mathbf {I} _ {3}} & - m [{\ mathbf {c}}] ^ {\ times} \\ m [{\ mathbf {c}}] ^ {\ times} & {\ mathbf {I}} _ {\ rm {cm}} - m [{\ mathbf {c}}] ^ {\ times} [{\ mathbf {c}}] ^ {\ times} \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} \ mathbf {a} _ {\ rm {p}} \\ {\ boldsymbol {\ alpha}} \ end {matrix}} \ right) + \ left ({\ begin {matrix} m [{\ boldsymbol {\ omega}}] ^ {\ times} [{\ boldsymbol {\ omega}}] ^ {\ times} {\ mathbf {c}} \\ {[ {\ boldsymbol {\ omega}}]} ^ {\ times} ({\ mathbf {I}} _ {\ rm {cm}} - m [{\ mathbf {c}}] ^ {\ times} [{\ mathbf {c}}] ^ {\ times}) \, {\ boldsymbol {\ omega}} \ end {matrix}} \ right),}

где c - расположение центра масс, выраженное в системе отсчета , закрепленной на теле , и

{\ displaystyle [\ mathbf {c}] ^ {\ times} \ Equiv \ left ({\ begin {matrix} 0 & -c_ {z} & c_ {y} \\ c_ {z} & 0 & -c_ {x} \\ -c_ {y} & c_ {x} & 0 \ end {matrix}} \ right) \ qquad \ qquad [\ mathbf {\ boldsymbol {\ omega}}] ^ {\ times} \ Equiv \ left ({\ begin {matrix } 0 & - \ omega _ {z} & \ omega _ {y} \\\ omega _ {z} & 0 & - \ omega _ {x} \\ - \ omega _ {y} & \ omega _ {x} & 0 \ конец {матрица}} \ right)}

обозначают кососимметричные матрицы перекрестных произведений .

Левая часть уравнения, которая включает сумму внешних сил и сумму внешних моментов относительно P, описывает пространственный гаечный ключ , см. Теорию винта .

Инерционные члены содержатся в пространственной матрице инерции

{\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} m {\ mathbf {I} _ {3}} & - m [{\ mathbf {c}}] ^ {\ times} \\ m [{\ mathbf {c }}] ^ {\ times} & {\ mathbf {I}} _ {\ rm {cm}} - m [{\ mathbf {c}}] ^ {\ times} [{\ mathbf {c}}] ^ {\ times} \ end {matrix}} \ right),}

в то время как фиктивные силы содержатся в термине:

{\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} m {[{\ boldsymbol {\ omega}}]} ^ {\ times} {[{\ boldsymbol {\ omega}}]} ^ {\ times} {\ mathbf {c}} \\ {[{\ boldsymbol {\ omega}}]} ^ {\ times} ({\ mathbf {I}} _ {\ rm {cm}} - m [{\ mathbf {c}}] ^ {\ times} [{\ mathbf {c}}] ^ {\ times}) \, {\ boldsymbol {\ omega}} \ end {matrix}} \ right).}

Когда центр масс не совпадает с системой координат (то есть, когда c отличен от нуля), поступательное и угловое ускорения ( a и α ) связаны, так что каждое связано с компонентами силы и крутящего момента.

Приложения

Уравнения Ньютона – Эйлера используются в качестве основы для более сложных «многочастичных» формулировок ( теория винта ), которые описывают динамику систем твердых тел, соединенных шарнирами и другими ограничениями. Задачи с несколькими телами могут быть решены с помощью множества численных алгоритмов.

Смотрите также

Законы движения Эйлера для твердого тела.
Углы Эйлера
Обратная динамика
Центробежная сила
Основные оси
Пространственное ускорение
Винтовая теория движения твердого тела.

использованная литература

^ Хуберт Хан (2002). Жесткое тело Динамика механизмов . Springer. п. 143. ISBN. 3-540-42373-7 .
^ ^a ^b Ахмед А. Шабана (2001). Вычислительная динамика . Wiley-Interscience. п. 379. ISBN 978-0-471-37144-1 .
^ Харухико Асаду, Жан-Жак E. Slotine (1986). Анализ и управление роботами . Wiley / IEEE. стр. §5.1.1, с. 94. ISBN 0-471-83029-1 .
^ Роберт Х. Бишоп (2007). Мехатронные системы, датчики и исполнительные механизмы: основы и моделирование . CRC Press. с. §7.4.1, §7.4.2. ISBN 978-0-8493-9258-0 .
^ Miguel A. Otaduy, Ming C. Lin (2006). Высококачественная тактильная визуализация . Издатели Морган и Клейпул. п. 24. ISBN 1-59829-114-9 .
^ ^a ^b Рой Фезерстоун (2008). Алгоритмы динамики твердого тела . Springer. ISBN 978-0-387-74314-1 .
^ Константинос А. Балафутис, Раджникант В. Патель (1991). Динамический анализ роботов-манипуляторов: декартово-тензорный подход . Springer. Глава 5. ISBN 0-7923-9145-4 .

[Hahn-1] Хуберт Хан (2002). Жесткое тело Динамика механизмов . Springer. п. 143. ISBN. 3-540-42373-7 .

[Shabana-2] Ахмед А. Шабана (2001). Вычислительная динамика . Wiley-Interscience. п. 379. ISBN 978-0-471-37144-1 .

[Slotline-3] Харухико Асаду, Жан-Жак E. Slotine (1986). Анализ и управление роботами . Wiley / IEEE. стр. §5.1.1, с. 94. ISBN 0-471-83029-1 .

[Bishop-4] Роберт Х. Бишоп (2007). Мехатронные системы, датчики и исполнительные механизмы: основы и моделирование . CRC Press. с. §7.4.1, §7.4.2. ISBN 978-0-8493-9258-0 .

[Lin-5] Miguel A. Otaduy, Ming C. Lin (2006). Высококачественная тактильная визуализация . Издатели Морган и Клейпул. п. 24. ISBN 1-59829-114-9 .

[Featherstone-6] Рой Фезерстоун (2008). Алгоритмы динамики твердого тела . Springer. ISBN 978-0-387-74314-1 .

[Balafoutis-7] Константинос А. Балафутис, Раджникант В. Патель (1991). Динамический анализ роботов-манипуляторов: декартово-тензорный подход . Springer. Глава 5. ISBN 0-7923-9145-4 .

Languages

In other projects