Численные методы для уравнений в частных производных - Numerical methods for partial differential equations

Численные методы для уравнений в частных производных - это раздел численного анализа , изучающий численное решение уравнений в частных производных (PDE).

Методы

Метод конечных разностей

В этом методе функции представлены своими значениями в определенных точках сетки, а производные аппроксимируются через различия в этих значениях.

Метод линий

Метод линий (MOL, нмоль, NUMOL) представляет собой метод для решения дифференциальных уравнений (СИЕ) , в котором все , кроме одного измерения дискретизируются. MOL позволяет использовать стандартные универсальные методы и программное обеспечение, разработанные для численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ). Большое количество процедур интеграции было разработано на протяжении многих лет на многих различных языках программирования, а некоторые из них были опубликованы как ресурсы с открытым исходным кодом .

Метод линий чаще всего относится к построению или анализу численных методов для уравнений с частными производными, который осуществляется сначала путем дискретизации только пространственных производных и оставления временной переменной непрерывной. Это приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, к которой можно применить численный метод для обыкновенных уравнений начального значения. Метод линий в этом контексте восходит как минимум к началу 1960-х годов.

Метод конечных элементов

Метод конечных элементов (МКЭ) - это численный метод нахождения приближенных решений краевых задач для дифференциальных уравнений . Он использует вариационные методы ( вариационное исчисление ) для минимизации функции ошибок и получения устойчивого решения. Аналогично идее о том, что соединение множества крошечных прямых линий может аппроксимировать более крупный круг, МКЭ включает в себя все методы для соединения множества уравнений простых элементов по множеству небольших подобластей, называемых конечными элементами, для аппроксимации более сложного уравнения в большей области .

Метод градиентной дискретизации

Метод градиентной дискретизации (GDM) - это численный метод, который включает в себя несколько стандартных или недавних методов. Он основан на раздельном приближении функции и ее градиента. Основные свойства обеспечивают сходимость метода для ряда линейных и нелинейных задач, и поэтому все методы, входящие в структуру GDM (согласующиеся и несоответствующие конечные элементы, смешанные конечные элементы, миметические конечные разности ...), наследуют эти свойства сходимости.

Метод конечных объемов

Метод конечных объемов - это метод представления и оценки уравнений в частных производных в форме алгебраических уравнений [LeVeque, 2002; Торо, 1999]. Подобно методу конечных разностей или методу конечных элементов , значения вычисляются в дискретных местах сеточной геометрии. «Конечный объем» относится к небольшому объему, окружающему каждую узловую точку на сетке. В методе конечного объема объемные интегралы в уравнении с частными производными, которые содержат член дивергенции , преобразуются в поверхностные интегралы с использованием теоремы о дивергенции . Затем эти члены оцениваются как потоки на поверхностях каждого конечного объема. Поскольку поток, входящий в данный объем, идентичен потоку, выходящему из соседнего объема, эти методы являются консервативными . Еще одно преимущество метода конечных объемов состоит в том, что его легко сформулировать, чтобы учесть неструктурированные сетки. Метод используется во многих пакетах вычислительной гидродинамики .

Спектральный метод

Спектральные методы - это методы, используемые в прикладной математике и научных вычислениях для численного решения определенных дифференциальных уравнений , часто с использованием быстрого преобразования Фурье . Идея состоит в том, чтобы записать решение дифференциального уравнения в виде суммы определенных «базисных функций» (например, в виде ряда Фурье , который представляет собой сумму синусоид ), а затем выбрать коэффициенты в сумме, которые наилучшим образом удовлетворяют дифференциалу уравнение.

Спектральные методы и методы конечных элементов тесно связаны и построены на одних и тех же идеях; Основное различие между ними состоит в том, что в спектральных методах используются базисные функции, отличные от нуля по всей области, в то время как в методах конечных элементов используются базовые функции, отличные от нуля только на небольших подобластях. Другими словами, спектральные методы используют глобальный подход, в то время как методы конечных элементов используют локальный подход . Частично по этой причине спектральные методы обладают превосходными характеристиками ошибок, при этом так называемая «экспоненциальная сходимость» является наиболее быстрой из возможных, когда решение является гладким . Однако нет известных результатов трехмерной однодоменной спектральной съемки скачков . В сообществе конечных элементов метод, в котором степень элементов очень высока или увеличивается, когда параметр сетки h уменьшается до нуля, иногда называют методом спектральных элементов .

Meshfree методы

Для методов без сетки не требуется сетка, соединяющая точки данных области моделирования. Методы Meshfree позволяют моделировать некоторые сложные типы проблем за счет дополнительных вычислительных затрат и усилий по программированию.

Методы декомпозиции домена

Методы декомпозиции области решают краевую задачу , разбивая ее на более мелкие краевые задачи на подобластях и повторяя итерацию для координации решения между соседними подобластями. Проблема грубой с одним или несколькими неизвестными в подобласть используется для дальнейшей координации решения между поддоменами во всем мире. Задачи на подобластях независимы, что делает методы декомпозиции домена подходящими для параллельных вычислений . Методы декомпозиции доменов обычно используются в качестве предобуславливателей для итерационных методов пространства Крылова , таких как метод сопряженных градиентов или GMRES .

В методах декомпозиции перекрывающихся доменов поддомены перекрываются не только по интерфейсу. Методы декомпозиции перекрывающихся областей включают альтернативный метод Шварца и аддитивный метод Шварца . Многие методы декомпозиции области могут быть записаны и проанализированы как частный случай абстрактного аддитивного метода Шварца .

В неперекрывающихся методах поддомены пересекаются только на своем интерфейсе. В основных методах, таких как балансирующая декомпозиция домена и BDDC , непрерывность решения через интерфейс субдоменов обеспечивается путем представления значения решения на всех соседних субдоменах одним и тем же неизвестным. В двойных методах, таких как FETI , непрерывность решения через интерфейс субдомена обеспечивается множителями Лагранжа . Метод FETI-DP представляет собой гибрид двойного и основного метода.

Методы декомпозиции неперекрывающихся областей также называются итеративными методами субструктурирования .

Методы минометов - это методы дискретизации для уравнений в частных производных, которые используют раздельную дискретизацию на неперекрывающихся подобластях. Сетки на подобластях не совпадают на интерфейсе, и равенство решения обеспечивается множителями Лагранжа, выбранными разумно для сохранения точности решения. В инженерной практике в методе конечных элементов непрерывность решений между несовпадающими подобластями реализуется посредством многоточечных ограничений .

Конечно-элементное моделирование моделей среднего размера требует решения линейных систем с миллионами неизвестных. Несколько часов на временной шаг - это среднее время последовательного выполнения, поэтому параллельные вычисления необходимы. Методы декомпозиции областей обладают большим потенциалом для распараллеливания методов конечных элементов и служат основой для распределенных параллельных вычислений.

Многосеточные методы

Многосеточная (МГ) метода в численном анализе представляет собой группа алгоритмов для решения дифференциальных уравнений с использованием иерархии из дискретизаций . Они являются примером класса техник, называемых методами с несколькими разрешениями , которые очень полезны (но не ограничиваются ими) в задачах, демонстрирующих несколько масштабов поведения. Например, многие базовые методы релаксации демонстрируют разные скорости сходимости для коротковолновых и длинноволновых компонентов, предполагая, что эти разные масштабы следует трактовать по-разному, как в подходе анализа Фурье к многосеточной сети. Методы MG могут использоваться как решатели, так и как предобуславливатели .

Основная идея multigrid заключается в ускорении сходимости базового итерационного метода путем глобальной корректировки время от времени, выполняемой путем решения грубой задачи . Этот принцип аналогичен интерполяции между более крупной и более мелкой сетками. Типичное применение многосеточных систем - численное решение эллиптических уравнений в частных производных в двух или более измерениях.

Многосеточные методы могут применяться в сочетании с любыми обычными методами дискретизации. Например, метод конечных элементов может быть преобразован в многосеточный метод. В этих случаях многосеточные методы являются одними из самых быстрых методов решения, известных сегодня. В отличие от других методов, многосеточные методы являются общими тем, что они могут обрабатывать произвольные области и граничные условия . Они не зависят от разделимости уравнений или других специальных свойств уравнения. Они также широко используются для более-сложных несимметричных и нелинейных систем уравнений, как системы Ламе от упругости или уравнений Навье-Стокса .

Сравнение

Метод конечных разностей часто рассматривается как самый простой метод для изучения и использования. Методы конечных элементов и конечных объемов широко используются в инженерии и вычислительной гидродинамике и хорошо подходят для задач со сложной геометрией. Спектральные методы обычно являются наиболее точными при условии, что решения достаточно гладкие.

Смотрите также

• Список тем численного анализа # Численные методы для уравнений в частных производных
• Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

использованная литература

• Левек, Рэндалл (1990), Численные методы для законов сохранения , Серия лекций ETH по математике, Birkhauser-Verlag.
• Таннехилл, Джон К. и др. (1997), Вычислительная механика жидкости и теплопередача , 2-е изд., Тейлор и Фрэнсис.

внешние ссылки

• Курс « Численные методы для уравнений с частными производными» в MIT OpenCourseWare .
• IMS , приложение IMTEK Mathematica с открытым исходным кодом (IMS)
• Численные методы PDE для ученых и инженеров , лекции в открытом доступе и коды для численных PDE