Частица в ячейке - Particle-in-cell

Метод частиц в ячейках ( PIC ) относится к методам, используемым для решения определенного класса дифференциальных уравнений в частных производных . В этом методе отдельные частицы (или элементы жидкости) в лагранжевой системе отсчета отслеживаются в непрерывном фазовом пространстве , тогда как моменты распределения, такие как плотности и токи, вычисляются одновременно в эйлеровых (стационарных) точках сетки .

Методы PIC использовались уже в 1955 году, еще до появления первых компиляторов Fortran . Этот метод приобрел популярность для моделирования плазмы в конце 1950-х - начале 1960-х годов Бунеманом , Доусоном , Хокни, Бердсоллом, Морсом и другими. В приложениях физики плазмы этот метод сводится к отслеживанию траекторий заряженных частиц в самосогласованных электромагнитных (или электростатических) полях, вычисленных на фиксированной сетке.

Технические аспекты

Для многих типов задач классический метод PIC, изобретенный Бунеманом, Доусоном, Хокни, Бердсоллом, Морсом и другими, относительно интуитивно понятен и прост в реализации. Это, вероятно, во многом объясняет его успех, особенно при моделировании плазмы, для которого метод обычно включает следующие процедуры:

• Интегрирование уравнений движения.
• Интерполяция условий источника заряда и тока в сетку поля.
• Вычисление полей в точках сетки.
• Интерполяция полей от сетки до местоположений частиц.

Модели, которые включают взаимодействие частиц только через средние поля, называются PM (Particle-mesh). Прямые бинарные взаимодействия включают PP (частица-частица). Модели с обоими типами взаимодействий называются PP-PM или P ³ M .

С самого начала было признано, что метод PIC подвержен ошибкам из-за так называемого шума дискретных частиц . Эта ошибка носит статистический характер, и сегодня она остается менее понятной, чем для традиционных методов с фиксированной сеткой, таких как эйлеровы или полулагранжевые схемы.

Современные геометрические алгоритмы PIC основаны на совершенно иной теоретической основе. Эти алгоритмы используют инструменты дискретного многообразия, интерполирующих дифференциальных форм и канонических или неканонических симплектических интеграторов, чтобы гарантировать калибровочный инвариант и сохранение заряда, энергии-импульса и, что более важно, бесконечномерную симплектическую структуру системы частиц-полей. Эти желаемые особенности объясняются тем фактом, что геометрические алгоритмы PIC построены на более фундаментальной теоретико-полевой структуре и напрямую связаны с идеальной формой, то есть с вариационным принципом физики.

Основы методики моделирования плазмы PIC

В сообществе исследователей плазмы исследуются системы различных видов (электроны, ионы, нейтралы, молекулы, частицы пыли и т. Д.). Таким образом, набор уравнений, связанных с кодами PIC, представляет собой силу Лоренца как уравнение движения, решаемое в так называемом толкателе или двигателе частиц кода, и уравнения Максвелла, определяющие электрическое и магнитное поля, вычисляемые в (полевом) решателе. .

Суперчастицы

Изучаемые реальные системы часто чрезвычайно велики по количеству содержащихся в них частиц. Для того, чтобы моделирование было эффективным или вообще возможным, используются так называемые суперчастицы . Суперчастица (или макрочастица ) - это вычислительная частица, которая представляет множество реальных частиц; это могут быть миллионы электронов или ионов в случае моделирования плазмы или, например, вихревой элемент в моделировании жидкости. Разрешается изменять масштаб числа частиц, потому что ускорение от силы Лоренца зависит только от отношения заряда к массе, поэтому суперчастица будет следовать по той же траектории, что и реальная частица.

Число реальных частиц, соответствующих суперчастице, должно быть выбрано таким, чтобы можно было собрать достаточную статистику по движению частицы. Если существует значительная разница между плотностью различных частиц в системе (например, между ионами и нейтралами), для них можно использовать отдельные отношения реальных частиц к сверхчастицам.

Движитель частиц

Даже с суперчастицами количество смоделированных частиц обычно очень велико (> 10 ⁵ ), и часто перемещение частиц является наиболее трудоемкой частью PIC, поскольку это должно выполняться для каждой частицы отдельно. Таким образом, толкатель должен обладать высокой точностью и скоростью, и много усилий затрачивается на оптимизацию различных схем.

Схемы, используемые для движка частиц, можно разделить на две категории: неявные и явные решатели. В то время как неявные решатели (например, неявная схема Эйлера) вычисляют скорость частицы из уже обновленных полей, явные решатели используют только старую силу из предыдущего временного шага, и поэтому они проще и быстрее, но требуют меньшего временного шага. В моделировании PIC используется метод чехарды , явный метод второго порядка. Также используется алгоритм Бориса, который компенсирует магнитное поле в уравнении Ньютона-Лоренца.

Для плазменных приложений метод чехарды принимает следующую форму:

${\ displaystyle {\ frac {\ mathbf {x} _ {k + 1} - \ mathbf {x} _ {k}} {\ Delta t}} = \ mathbf {v} _ {k + 1/2}, }$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathbf {v} _ {k + 1/2} - \ mathbf {v} _ {k-1/2}} {\ Delta t}} = {\ frac {q} {m }} \ left (\ mathbf {E} _ {k} + {\ frac {\ mathbf {v} _ {k + 1/2} + \ mathbf {v} _ {k-1/2}} {2} } \ times \ mathbf {B} _ {k} \ right),}$

где нижний индекс относится к «старым» количествам с предыдущего временного шага, к обновленным количествам со следующего временного шага (т. е. ), а скорости вычисляются между обычными временными шагами . ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k + 1}$${\ displaystyle t_ {k + 1} = t_ {k} + \ Delta t}$${\ displaystyle t_ {k}}$

Уравнения схемы Бориса, которые подставляются в приведенные выше уравнения:

${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {k + 1} = \ mathbf {x} _ {k} + {\ Delta t} \ mathbf {v} _ {k + 1/2},}$

${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {к + 1/2} = \ mathbf {u} '+ q' \ mathbf {E} _ {k},}$

с участием

${\ displaystyle \ mathbf {u} '= \ mathbf {u} + (\ mathbf {u} + (\ mathbf {u} \ times \ mathbf {h})) \ times \ mathbf {s},}$

${\ displaystyle \ mathbf {u} = \ mathbf {v} _ {k-1/2} + q '\ mathbf {E} _ {k},}$

${\ displaystyle \ mathbf {h} = q '\ mathbf {B} _ {k},}$

${\ displaystyle \ mathbf {s} = 2 \ mathbf {h} / (1 + h ^ {2})}$

и . ${\ displaystyle q '= \ Delta t \ times (q / 2m)}$

Благодаря своей превосходной долгосрочной точности алгоритм Бориса является де-факто стандартом для продвижения заряженной частицы. Было понято, что превосходная долговременная точность нерелятивистского алгоритма Бориса связана с тем, что он сохраняет объем фазового пространства, хотя и не является симплектическим. Глобальный предел энергетической ошибки, обычно связанный с симплектическими алгоритмами, все еще сохраняется для алгоритма Бориса, что делает его эффективным алгоритмом для многомасштабной динамики плазмы. Также было показано, что можно улучшить релятивистский толчок Бориса, чтобы сохранить объем и получить решение с постоянной скоростью в скрещенных полях E и B.

Решатель поля

Наиболее часто используемые методы решения уравнений Максвелла (или, в более общем смысле, дифференциальных уравнений в частных производных (PDE)) относятся к одной из следующих трех категорий:

• Методы конечных разностей (FDM)
• Методы конечных элементов (МКЭ)
• Спектральные методы

С помощью FDM непрерывная область заменяется дискретной сеткой точек, по которой рассчитываются электрическое и магнитное поля. Затем производные аппроксимируются с помощью разностей между значениями соседних узлов сетки и, таким образом, УЧП превращаются в алгебраические уравнения.

С помощью МКЭ непрерывная область разбивается на дискретную сетку элементов. PDE рассматриваются как проблема собственных значений, и первоначально пробное решение вычисляется с использованием базисных функций , локализованных в каждом элементе. Окончательное решение затем получается путем оптимизации до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность.

Также спектральные методы, такие как быстрое преобразование Фурье (БПФ), преобразуют УЧП в проблему собственных значений, но на этот раз базисные функции имеют высокий порядок и определены глобально во всей области. Сама область в этом случае не дискретизируется, она остается непрерывной. Опять же, пробное решение находится путем вставки базисных функций в уравнение собственных значений, а затем оптимизируется для определения наилучших значений исходных параметров испытания.

Взвешивание частиц и поля

Название «частица в ячейке» происходит от того, как макрокомпоненты плазмы ( числовая плотность , плотность тока и т. Д.) Присваиваются имитационным частицам (т. Е. Взвешиванию частиц ). Частицы могут быть расположены в любом месте непрерывной области, но макровеличины вычисляются только в точках сетки, как и поля. Чтобы получить макровеличины, предполагается, что частицы имеют заданную «форму», определяемую функцией формы.

${\ Displaystyle S (\ mathbf {x} - \ mathbf {X}),}$

где - координата частицы и точки наблюдения. Возможно, самый простой и наиболее часто используемый выбор для функции формы - это так называемая схема « облако в ячейке» (CIC), которая представляет собой (линейную) схему взвешивания первого порядка. Какой бы ни была схема, функция формы должна удовлетворять следующим условиям: изотропия пространства, сохранение заряда и повышение точности (сходимости) для членов более высокого порядка. ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$

Поля, полученные с помощью решателя поля, определяются только в точках сетки и не могут использоваться непосредственно в движке частиц для расчета силы, действующей на частицы, но должны быть интерполированы с помощью взвешивания поля :

${\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {x}) = \ sum _ {i} \ mathbf {E} _ {i} S (\ mathbf {x} _ {i} - \ mathbf {x}), }$

где нижний индекс отмечает точку сетки. Чтобы гарантировать самосогласованное получение сил, действующих на частицы, способ вычисления макровеличин из положений частиц в точках сетки и интерполяции полей из точек сетки в положения частиц также должен быть согласованным, поскольку они оба появляются в диаграммах Максвелла. уравнения . Прежде всего, схема интерполяции поля должна сохранять импульс . Этого можно достичь, выбрав одну и ту же схему взвешивания для частиц и полей и одновременно обеспечив соответствующую пространственную симметрию (т. Е. Отсутствие самодействия и выполнение закона действия-противодействия ) решателя поля. ${\ displaystyle i}$

Столкновения

Поскольку решатель поля должен быть свободен от сил самодействия, внутри ячейки поле, создаваемое частицей, должно уменьшаться с уменьшением расстояния от частицы, и, следовательно, силы между частицами внутри ячеек недооцениваются. Это можно уравновесить с помощью кулоновских столкновений заряженных частиц. Моделирование взаимодействия для каждой пары большой системы было бы слишком затратным в вычислительном отношении, поэтому вместо этого было разработано несколько методов Монте-Карло . Широко используемым методом является модель бинарных столкновений , в которой частицы группируются в соответствии с их ячейками, затем эти частицы случайным образом объединяются в пары и, наконец, пары сталкиваются.

В реальной плазме могут играть роль многие другие реакции, от упругих столкновений, таких как столкновения между заряженными и нейтральными частицами, до неупругих столкновений, таких как электронно-нейтральное ионизационное столкновение, до химических реакций; каждый из них требует отдельного лечения. Большинство моделей столкновений, обрабатывающих столкновения заряженных нейтральных частиц, используют либо прямую схему Монте-Карло , в которой все частицы несут информацию о своей вероятности столкновения, либо схему нулевых столкновений , которая не анализирует все частицы, но использует максимальную вероятность столкновения для вместо этого каждый заряженный вид.

Условия точности и устойчивости

Как и в любом методе моделирования, также в PIC, временной шаг и размер сетки должны быть правильно выбраны, чтобы интересующие явления масштаба времени и длины были должным образом разрешены в задаче. Кроме того, временной шаг и размер сетки влияют на скорость и точность кода.

Для моделирования электростатической плазмы с использованием явной схемы интегрирования по времени (например, чехарда, которая используется наиболее часто), необходимо выполнить два важных условия, касающихся размера сетки и шага по времени , чтобы гарантировать стабильность решения: ${\ displaystyle \ Delta x}$${\ displaystyle \ Delta t}$

${\ displaystyle \ Delta x <3.4 \ lambda _ {D},}$

${\ displaystyle \ Delta t \ leq 2 \ omega _ {pe} ^ {- 1},}$

которое можно получить, рассматривая гармонические колебания одномерной безмагниченной плазмы. Последнее условие является строго обязательным, но практические соображения, связанные с сохранением энергии, предлагают использовать гораздо более жесткое ограничение, когда множитель 2 заменяется числом на порядок меньшим. Использование типично. Неудивительно, что естественный масштаб времени в плазме определяется обратной плазменной частотой, а масштаб длины - длиной Дебая . ${\ displaystyle \ Delta t \ leq 0.1 \ omega _ {pe} ^ {- 1},}$ ${\ displaystyle \ omega _ {pe} ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {D}}$

Для явного моделирования электромагнитной плазмы временной шаг также должен удовлетворять условию CFL :

${\ Displaystyle \ Delta t <\ Delta x / c,}$

где , - скорость света. ${\ displaystyle \ Delta x \ sim \ lambda _ {D}}$${\ displaystyle c}$

Приложения

В физике плазмы, ПОС моделирование было успешно использовано для исследования лазерной плазмы взаимодействий, ускорения электронов и нагрев ион в авроральной ионосфере , магнитная гидродинамика , магнитное переподключение , а также ионный градиент температуры и другие микронеустойчивости в токамаке , кроме того , вакуумные разряды , и пыльная плазма .

Гибридные модели могут использовать метод PIC для кинетической обработки некоторых видов, в то время как другие виды (которые являются максвелловскими ) моделируются с помощью жидкостной модели.

Моделирование с помощью PIC также применялось за пределами физики плазмы для решения задач механики твердого тела и жидкости .

Вычислительные приложения с электромагнитными частицами в ячейках

Вычислительное приложение	Веб-сайт	Лицензия	Доступность	Каноническая ссылка
ОСТРЫЙ		Проприетарный		DOI : 10.3847 / 1538-4357 / aa6d13
ALaDyn		GPLv3 +	Открытое репо:	DOI : 10,5281 / zenodo.49553
ЭПОХА		GPL	Открыт для академических пользователей, но требуется регистрация:	DOI : 10,1088 / 0741-3335 / 57/11/113001
FBPIC		3-пункт-BSD-LBNL	Открытое репо:	DOI : 10.1016 / j.cpc.2016.02.007
LSP		Проприетарный	Доступно в АТК	DOI : 10.1016 / S0168-9002 (01) 00024-9
МАГИЯ		Проприетарный	Доступно в АТК	DOI : 10.1016 / 0010-4655 (95) 00010-D
ОСИРИС		Проприетарный	Закрыто (участники Меморандума о взаимопонимании)	DOI : 10.1007 / 3-540-47789-6_36
ПИККАНТА		GPLv3 +	Открытое репо:	DOI : 10,5281 / zenodo.48703
PICLas		Проприетарный	Можно получить в Институте космических систем и Институте аэродинамики и газовой динамики Штутгартского университета.	DOI : 10.1016 / j.crme.2014.07.005
PIConGPU		GPLv3 +	Открытое репо:	DOI : 10,1145 / 2503210,2504564
SMILEI		CeCILL-B	Открытое репо:	DOI : 10.1016 / j.cpc.2017.09.024
iPIC3D		Лицензия Apache 2.0	Открытое репо:	DOI : 10.1016 / j.matcom.2009.08.038
Виртуальная лаборатория лазерной плазмы (VLPL)		Проприетарный	Неизвестный	DOI : 10,1017 / S0022377899007515
VizGrain		Проприетарный	Коммерчески доступно от Esgee Technologies Inc.
VPIC		3-пункт-BSD	Открытое репо:	DOI : 10,1063 / 1,2840133
VSim (Ворпал)		Проприетарный	Доступно в Tech-X Corporation	DOI : 10.1016 / j.jcp.2003.11.004
Деформация		3-пункт-BSD-LBNL	Открытое репо:	DOI : 10,1063 / 1,860024
WarpX		3-пункт-BSD-LBNL	Открытое репо:	DOI : 10.1016 / j.nima.2018.01.035
ZPIC		AGPLv3 +	Открытое репо:
ultraPICA		Проприетарный	Коммерчески доступно от Plasma Taiwan Innovation Corporation.

Смотрите также

• Плазменное моделирование
• Метод многофазных частиц в ячейках

использованная литература

Библиография

• Бердсолл, Чарльз К .; А. Брюс Лэнгдон (1985). Физика плазмы с помощью компьютерного моделирования . Макгроу-Хилл. ISBN 0-07-005371-5.

• Хокни, Роджер У .; Джеймс У. Иствуд (1988). Компьютерное моделирование с использованием частиц . CRC Press. ISBN 0-85274-392-0.

внешние ссылки

• Центр программного обеспечения для моделирования частиц в ячейках и кинетического моделирования (PICKSC), Калифорнийский университет в Лос-Анджелесе.
• Открытый исходный код 3D Particle-In-Cell для взаимодействия космических аппаратов с плазмой (требуется обязательная регистрация пользователя).
• Простой код частицы в ячейке в MATLAB
• Группа теории плазмы и моделирования (Беркли) Содержит ссылки на свободно распространяемое программное обеспечение.
• Введение в коды PIC (Техасский университет)
• open-pic - Трехмерное гибридное моделирование динамики плазмы методом частиц в ячейках