В квантовой теории поля , квартик взаимодействие представляет собой тип самовоздействия в скалярном поле . Другие типы взаимодействий четвертой степени можно найти в теме четырехфермионных взаимодействий . Классическое свободное скалярное поле удовлетворяет уравнению Клейна – Гордона . Если обозначено скалярное поле , взаимодействие четвертой степени представляется добавлением потенциального члена к плотности лагранжиана . Константа является безразмерным в 4-мерном пространстве - времени .
В этой статье используется метрическая подпись для пространства Минковского .
Лагранжиан действительного скалярного поля
Плотность лагранжиана для реального скалярного поля с взаимодействием четвертой степени равна
Этот лагранжиан имеет отображение глобальной симметрии Z 2 .
Лагранжиан комплексного скалярного поля
Лагранжиан для комплексного скалярного поля можно мотивировать следующим образом. Для двух скалярных полей и лагранжиан имеет вид
который можно записать более кратко, введя комплексное скалярное поле, определяемое как
Выраженный в терминах этого скалярного поля, вышеупомянутый лагранжиан принимает вид
что, таким образом, эквивалентно модели реальных скалярных полей SO (2) , что можно увидеть, разложив комплексное поле на действительную и мнимую части.
С действительными скалярными полями у нас может быть модель с глобальной SO (N) -симметрией, задаваемой лагранжианом
Разложение комплексного поля на действительную и мнимую части показывает, что оно эквивалентно модели реальных скалярных полей SO (2).
Во всех вышеперечисленных моделях константа связи должна быть положительной, поскольку в противном случае потенциал был бы неограниченным снизу и не было бы стабильного вакуума. Кроме того, описанный ниже интеграл по путям Фейнмана был бы некорректным. В четырех измерениях теории имеют полюс Ландау . Это означает, что без обрезания в масштабе высоких энергий перенормировка сделала бы теорию тривиальной .
Интегральное квантование Фейнмана
Расширение диаграммы Фейнмана может быть получено также из формулировки интеграла по путям Фейнмана . Время заказал вакуумную средние значения многочленов ф, известные как п -частичной функции Грина, построены путем интегрирования по всем возможным полям, нормированный значение вакуумного ожидания без каких - либо внешних полей,
Все эти функции Грина могут быть получены путем разложения экспоненты по J ( x ) φ ( x ) в производящую функцию
Вращения Фитиль может быть применен , чтобы сделать время мнимым. Изменение подписи на (++++) дает интеграл статистической механики φ 4 по 4-мерному евклидову пространству ,
Обычно это применяется к рассеянию частиц с фиксированными импульсами, и в этом случае полезно преобразование Фурье , дающее вместо
где - дельта-функция Дирака .
Стандартный прием для вычисления этого функционального интеграла - записать его как произведение экспоненциальных множителей, схематично:
Вторые два экспоненциальных множителя можно разложить в виде степенных рядов, и комбинаторику этого разложения можно представить графически. Интеграл с λ = 0 можно рассматривать как произведение бесконечного числа элементарных гауссовских интегралов, а результат можно выразить как сумму диаграмм Фейнмана , вычисленных с использованием следующих правил Фейнмана:
- Каждое поле в n- точечной евклидовой функции Грина представлено внешней линией (полуребром) на графике и связано с импульсом p .
- Каждая вершина представлена множителем -λ .
- При заданном порядке λ k все диаграммы с n внешними линиями и k вершинами построены так, что импульсы, текущие в каждую вершину, равны нулю. Каждая внутренняя линия представлена множителем 1 / ( q 2 + m 2 ), где q - импульс, протекающий через эту линию.
- Любые неограниченные импульсы интегрируются по всем значениям.
- Результат делится на коэффициент симметрии, который представляет собой количество способов перегруппировки линий и вершин графа без изменения его связности.
- Не включайте графики, содержащие «вакуумные пузыри», связанные подграфы без внешних линий.
Последнее правило учитывает эффект деления на . Правила Фейнмана для пространства Минковского аналогичны, за исключением того, что каждая вершина представлена как , а каждая внутренняя линия представлена множителем i / ( q 2 - m 2 + i ε ), где ε- член представляет небольшое вращение Вика, необходимое для сделать гауссовский интеграл в пространстве Минковского сходящимся.
Перенормировка
Интегралы по неограниченным импульсам, называемые «петлевыми интегралами», в графах Фейнмана обычно расходятся. Обычно это выполняется с помощью перенормировки , которая представляет собой процедуру добавления расходящихся контрчленов к лагранжиану таким образом, чтобы диаграммы, построенные из исходного лагранжиана и контрчленов, были конечными. При этом необходимо ввести масштаб перенормировки, от которого зависят константа связи и масса. Именно эта зависимость приводит к полюсу Ландау, упомянутому ранее, и требует, чтобы обрезание сохранялось конечным. В качестве альтернативы, если обрезание может стремиться к бесконечности, полюса Ландау можно избежать, только если перенормированная связь стремится к нулю, что делает теорию тривиальной .
Спонтанное нарушение симметрии
Интересная особенность может возникнуть, если m 2 станет отрицательным, но при этом λ останется положительным. В этом случае вакуум состоит из двух состояний с самой низкой энергией, каждое из которых спонтанно нарушает глобальную симметрию Z 2 исходной теории. Это приводит к появлению интересных коллективных состояний типа доменных стенок . В теории O (2) вакуум будет лежать на окружности, и выбор одного из них спонтанно нарушит симметрию O (2). Непрерывная нарушенная симметрия приводит к бозону Голдстоуна . Этот тип спонтанного нарушения симметрии является важным компонентом механизма Хиггса .
Самопроизвольное нарушение дискретных симметрий
Простейшая релятивистская система, в которой мы можем наблюдать спонтанное нарушение симметрии, - это система с одним скалярным полем с лагранжианом
где и
Минимизация потенциала по отношению к приводит к
Теперь мы расширяем поле вокруг этого минимального письма
и подставляя в лагранжиан, получаем
где мы замечаем, что скаляр теперь имеет положительный массовый член.
Мышление с точки зрения ожидаемых значений вакуума позволяет нам понять, что происходит с симметрией, когда она спонтанно нарушается. Исходный лагранжиан был инвариантен относительно симметрии . С
оба минимума, должно быть два разных вакуума: с
Поскольку симметрия принимает , она должна принимать также. Два возможных вакуума для теории эквивалентны, но нужно выбрать один. Хотя кажется, что в новом лагранжиане симметрия исчезла, она все еще существует, но теперь действует так.
Это общая черта спонтанно нарушенных симметрий: вакуум нарушает их, но на самом деле они не нарушаются в лагранжиане, а просто скрыты. , и часто реализуется только нелинейным образом.
Точные решения
Существует набор точных классических решений уравнения движения теории, записанных в виде
что можно записать для безмассового случая как
с эллиптической функции Якоби и двух постоянных интегрирования, при условии , что следующее дисперсионное соотношение имеет место
Интересно то, что мы начали с безмассового уравнения, но точное решение описывает волну с дисперсионным соотношением, соответствующим массивному решению. Когда массовый член не равен нулю, получается
теперь дисперсионное соотношение
Наконец, для случая нарушения симметрии имеем
быть и следующая дисперсия имеет место соотношение
Эти волновые решения интересны тем, что, несмотря на то, что мы начали с уравнения с неправильным знаком массы, уравнение дисперсии имеет верное значение. Кроме того, функция Якоби не имеет действительных нулей, поэтому поле никогда не равно нулю, а движется вокруг заданного постоянного значения, которое изначально выбрано для описания спонтанного нарушения симметрии.
Доказательство единственности может быть предоставлено, если мы заметим, что решение можно искать в форме будучи . Тогда уравнение в частных производных становится обыкновенным дифференциальным уравнением, которое определяет эллиптическую функцию Якоби с удовлетворением собственному соотношению дисперсии.
Смотрите также
использованная литература
дальнейшее чтение
-
'т Хоофт, Г. , "Концептуальные основы квантовой теории поля" ( онлайн-версия ).
-
Базганди, Мустафа (август 2019 г.). "Симметрии Ли и решения подобия уравнения фи-четыре". Индийский математический журнал . 61 (2): 187–197.