Роза (математика) - Rose (mathematics)

Розы заданы синусоидой для различных рациональных пронумерованных значений угловой частоты k = n / d . Розы, обозначенные как - это вращение этих роз на одну четверть периода синусоиды против часовой стрелки вокруг полюса (начала координат). Для правильного математического анализа, должно быть выражено в неприводимой форме.${\ Displaystyle г = \ соз (к \ тета)}$${\ Displaystyle г = \ грех (к \ тета)}$${\ displaystyle k}$

В математике , А роза или rhodonea кривая является синусоидой определяется либо косинуса или синуса функций, не имеющих фазового угла , который нанесены в полярных координатах . Кривые розы или «родонея» были названы итальянским математиком Гвидо Гранди , изучавшим их , между 1723 и 1728 годами.

Общий обзор

Технические характеристики

Роза - это набор точек в полярных координатах, заданных полярным уравнением

${\ Displaystyle г = а \ соз (к \ тета)}$

или в декартовых координатах с использованием параметрических уравнений

${\ Displaystyle х = р \ соз (\ тета) = а \ соз (к \ тета) \ соз (\ тета)}$

${\ Displaystyle у = р \ грех (\ тета) = а \ соз (к \ тета) \ грех (\ тета)}$.

Розы также можно указать с помощью функции синуса. С

${\ Displaystyle \ грех (к \ тета) = \ соз \ влево (к \ тета - {\ гидроразрыва {\ пи} {2}} \ вправо) = \ соз \ влево (к \ влево (\ тета - {\ гидроразрыва {\ pi} {2k}} \ right) \ right)}$.

Таким образом, роза, указанная с помощью , идентична розе, указанной с помощью поворота против часовой стрелки на радианы, что составляет четверть периода любой синусоиды. ${\ Displaystyle \, г = а \ грех (к \ тета)}$${\ Displaystyle \, г = а \ соз (к \ тета)}$${\ displaystyle \ pi / 2k}$

Так как они указаны с помощью косинуса или синуса функции, розы, как правило , выражается в полярных координатах (а не координаты декартова ) графики синусоид , которые имеют угловую частоту от и амплитуды в том , что определения радиальной координаты заданного полярный угла (хотя , когда это рациональное число , кривая розы может быть выражена в декартовых координатах, поскольку они могут быть заданы как алгебраические кривые ). ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle (r)}$${\ Displaystyle (\ тета)}$${\ displaystyle k}$

Общие свойства

Розы напрямую связаны со свойствами определяющих их синусоид.

Лепестки

• Графики роз состоят из лепестков . Лепесток - это форма, образованная графиком полупериода синусоиды, определяющей розу. (Цикл - это часть синусоиды длиной в один период, состоящая из положительного полупериода, непрерывного набора точек, где и является длинным, а отрицательный полупериод - это другая половина, где .) ${\ Displaystyle Т = 2 \ пи / к}$${\ displaystyle r \ geq 0}$${\ Displaystyle Т / 2 = \ пи / к}$${\ displaystyle r \ leq 0}$
  • Форма каждого лепестка одинакова, потому что графики полупериодов имеют одинаковую форму. Форма задается положительным полупериодом с вершиной в, заданной как (которая ограничена угловым интервалом ). Лепесток симметричен относительно полярной оси. Все остальные лепестки представляют собой вращение этого лепестка вокруг полюса, в том числе для роз, заданных функцией синуса с такими же значениями для и .${\ displaystyle (а, 0)}$${\ Displaystyle г = а \ соз (к \ тета)}$${\ Displaystyle -T / 4 \ leq \ theta \ leq T / 4}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle k}$
  • В соответствии с правилами построения точек в полярных координатах, точка в отрицательном полупериоде не может быть построена под ее полярным углом, поскольку ее радиальная координата отрицательна. Точка строится путем добавления радианов к полярному углу с радиальной координатой . Таким образом, на графике розы могут совпадать положительные и отрицательные полупериоды. Кроме того, в круг вписаны розы .${\ displaystyle r}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle | r |}$${\ Displaystyle г = а}$
  • Когда период синусоиды меньше или равен , форма лепестка представляет собой один замкнутый контур. Одиночный цикл формируется, потому что угловой интервал для полярного графика равен, а угловая ширина полупериода меньше или равна . Когда (или ) график полупериода можно рассматривать как спиралевидный, уходящий от полюса по более чем одному кругу вокруг полюса, пока график не достигнет вписанной окружности, где он по спирали возвращается к полюсу, пересекаясь и образуя одну или несколько петель. по пути. Следовательно, каждый лепесток образует 2 петли при (или ), 3 петли при (или ) и т. Д. Розы с одним лепестком и несколькими петлями наблюдаются для (см. Рисунок во вводной части).${\ displaystyle T}$${\ displaystyle 4 \ pi}$${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ displaystyle T> 4 \ pi}$${\ Displaystyle | к | <1/2}$${\ displaystyle 4 \ pi <T \ leq 8 \ pi}$${\ Displaystyle 1/4 \ Leq | к | <1/2}$${\ displaystyle 8 \ pi <T \ leq 12 \ pi}$${\ Displaystyle 1/6 \ Leq | к | <1/4}$${\ Displaystyle k = 1/3, k = 1/5, k = 1/7 и т. д.}$
  • Лепестки розы не будут пересекаться друг с другом, если угловая частота является ненулевым целым числом; в противном случае лепестки пересекаются.${\ displaystyle k}$

Симметрия

Все розы демонстрируют одну или несколько форм симметрии из-за лежащих в основе симметричных и периодических свойств синусоид.

• Роза, заданная как , симметрична относительно полярной оси (линии ) из-за идентичности, которая делает розы, заданные двумя полярными уравнениями, совпадающими.${\ Displaystyle г = а \ соз (к \ тета)}$${\ displaystyle \ theta = 0}$ ${\ Displaystyle а \ соз (к \ тета) = а \ соз (-к \ тета)}$

• Роза, заданная как , симметрична относительно вертикальной линии из-за идентичности, которая делает розы, заданные двумя полярными уравнениями, совпадающими.${\ Displaystyle г = а \ грех (к \ тета)}$${\ displaystyle \ theta = \ pi / 2}$${\ Displaystyle а \ грех (к \ тета) = а \ грех (\ пи-к \ тета)}$

• Только некоторые розы симметричны относительно полюса.

• Отдельные лепестки симметричны относительно линии, проходящей через полюс, и вершины лепестка, что отражает симметрию полупериода основной синусоиды. Розы, состоящие из конечного числа лепестков, по определению вращательно-симметричны, поскольку каждый лепесток имеет одинаковую форму, а следующие друг за другом лепестки повернуты на один и тот же угол вокруг полюса.

Розы с ненулевым целым значением k

Роза . Поскольку это четное число, у розы есть лепестки. Сегменты линии, соединяющие последовательные вершины, лежат на окружности и образуют восьмиугольник . Так как один пик находится в восьмиугольнике, рисование графика после построения границ полупериода (соответствующих апофемам) становится относительно простым.${\ Displaystyle г = \ соз (4 \ тета)}$${\ displaystyle k = 4}$${\ displaystyle 2k = 8}$${\ displaystyle r = 1}$${\ displaystyle (1,0)}$

Роза, указанная пользователем . Поскольку это нечетное число, у розы есть лепестки. Сегменты линии, соединяющие последовательные вершины, лежат на окружности и образуют семиугольник . Роза вписана в круг .${\ Displaystyle г = \ соз (7 \ тета)}$${\ displaystyle k = 7}$${\ displaystyle k = 7}$${\ displaystyle r = 1}$${\ displaystyle r = 1}$

Когда это целое число, отличное от нуля, кривая будет иметь форму розы с лепестками, если она четная, и лепестками, если она нечетная. Свойства этих роз являются частным случаем роз с угловыми частотами, которые являются рациональными числами, которые обсуждаются в следующем разделе этой статьи. ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle 2k}$ ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle (к)}$

• Роза вписана в круг , соответствующий радиальной координате всех ее вершин.${\ Displaystyle г = а}$

• Поскольку график в полярных координатах ограничен полярными углами между и , на графике отображаются циклы. Никаких дополнительных точек наносить не нужно, потому что радиальная координата at - это то же самое значение at (которые являются вершинами для двух разных положительных полупериодов для роз, заданных функцией косинуса).${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ displaystyle 2 \ pi / T = k}$${\ displaystyle \ theta = 0}$${\ displaystyle \ theta = 2 \ pi}$

• Когда оно четное (и ненулевое), роза состоит из лепестков, по одному на каждый пик в интервале отображаемых полярных углов. Каждой вершине соответствует точка, лежащая на окружности . Сегменты линии, соединяющие последовательные вершины, образуют правильный многоугольник с четным числом вершин, центр которого находится на полюсе, и радиус, проходящий через каждую вершину, и аналогично: ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle 2k}$${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ Displaystyle г = а}$
  • Розы симметричны относительно шеста.
  • Розы симметричны относительно каждой линии, проходящей через полюс и вершину (через «середину» лепестка), причем полярный угол между вершинами следующих друг за другом лепестков равен радианам. Таким образом, эти розы обладают вращательной симметрией порядка .${\ Displaystyle 2 \ pi / 2k = \ pi / k}$${\ displaystyle 2k}$
  • Розы симметричны относительно каждой линии, которая делит пополам угол между последовательными пиками, который соответствует границам полупериода и
  апофеме соответствующего многоугольника.

• Если значение нечетное, роза состоит из лепестков, по одному на каждый гребень (или впадину) в интервале отображаемых полярных углов. Каждой вершине соответствует точка, лежащая на окружности . Положительные и отрицательные полупериоды этой розы совпадают, что означает, что при их графическом отображении необходимо наносить только положительные полупериоды или только отрицательные полупериоды, чтобы сформировать полную кривую. (Эквивалентно, полная кривая будет построена путем построения любого непрерывного интервала полярных углов длиной в радианах, например до .) Сегменты линии, соединяющие последовательные вершины, образуют правильный многоугольник с нечетным числом вершин, и аналогично: ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ Displaystyle г = а}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ theta = 0}$${\ displaystyle \ theta = \ pi}$
  • Розы симметричны относительно каждой линии, проходящей через полюс и вершину (через «середину» лепестка), причем полярный угол между вершинами следующих друг за другом лепестков равен радианам. Таким образом, эти розы обладают вращательной симметрией порядка .${\ displaystyle 2 \ pi / k}$${\ displaystyle k}$

• Лепестки розы не перекрываются.

• Розы могут быть заданы алгебраическими кривыми порядка, когда k нечетно, а когда k четно.${\ displaystyle k + 1}$${\ Displaystyle 2 (к + 1)}$

Круг

Роза с - это круг, который лежит на полюсе с диаметром, который лежит на полярной оси, когда . Круг - это единственный лепесток кривой. (См. Образующийся круг в конце следующего раздела.) В декартовых координатах эквивалентные характеристики косинуса и синуса - и , соответственно. ${\ displaystyle k = 1}$${\ Displaystyle г = а \ соз (\ тета)}$${\ displaystyle (xa / 2) ^ {2} + y ^ {2} = (a / 2) ^ {2}}$${\ Displaystyle х ^ {2} + (да / 2) ^ {2} = (а / 2) ^ {2}}$

Четырехлистник

Роза с четырехлистником называется четырехлистником, потому что у нее 4 лепестка. В декартовых координатах спецификациями косинуса и синуса являются и соответственно. ${\ displaystyle k = 2}$${\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {3} = a ^ {2} (x ^ {2} -y ^ {2}) ^ {2}}$${\ Displaystyle (х ^ {2} + у ^ {2}) ^ {3} = 4 (акси) ^ {2}}$

Трилистник

Роза с трехлистником называется трехлистником, потому что у нее 3 лепестка. Кривая также называется Paquerette de Mélibée. В декартовых координатах спецификациями косинуса и синуса являются и соответственно. (См. Формирование тройника в конце следующего раздела.) ${\ displaystyle k = 3}$${\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} = a (x ^ {3} -3xy ^ {2})}$${\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} = - a (x ^ {3} -3xy ^ {2})}$

Общая и лепестковая площади

Общая площадь розы с полярным уравнением вида

${\ Displaystyle г = а \ соз (к \ тета)}$или , где - ненулевое целое число, равно${\ Displaystyle г = а \ грех (к \ тета) \,}$${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} (a \ cos (k \ theta)) ^ {2} \, d \ theta = {\ frac {a ^ {2}} {2}} \ left (\ pi + {\ frac {\ sin (4k \ pi)} {4k}} \ right) = {\ frac {\ pi a ^ {2}} {2} }}$, когда чётно; а также${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {\ pi} (a \ cos (k \ theta)) ^ {2} \, d \ theta = {\ frac {a ^ {2}} {2}} \ left ({\ frac {\ pi} {2}} + {\ frac {\ sin (2k \ pi)} {4k}} \ right) = {\ frac {\ pi a ^ {2}} {4}}}$, когда это нечетно.${\ displaystyle k}$

Когда ровно, есть лепестки; а когда нечетное, есть лепестки, поэтому площадь каждого лепестка равна . ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle 2k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle {\ frac {\ pi a ^ {2}} {4k}}}$

Розы с рациональными числовыми значениями для k

В общем, когда - рациональное число в форме неразложимой дроби , где и - ненулевые целые числа, количество лепестков является знаменателем выражения . Это означает, что количество лепестков равно, если оба и нечетные, и в противном случае. ${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle к = п / д}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle d}$${\ Displaystyle 1 / 2-1 / (2k) = (nd) / 2n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle 2n}$

• В случае, когда оба и нечетны, положительный и отрицательный полупериоды синусоиды совпадают. График этих роз завершается на любом длинном непрерывном интервале полярных углов .${\ displaystyle n}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle d \ pi}$

• Когда четное и нечетное, или наоборот, роза будет полностью отображена в виде непрерывного интервала полярных углов . Кроме того, розы симметричны относительно полюса как для косинусных, так и для синусоидальных характеристик. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle 2d \ pi}$
  • Кроме того, когда является нечетным и четным, розы, заданные полярными уравнениями косинуса и синуса с одинаковыми значениями и , совпадают. Для такой пары роз роза со спецификацией синусоидальной функции совпадает с гребнем розы со спецификацией косинуса в точке на полярной оси либо в точке, либо в точке . (Это означает, что розы и с ненулевыми целыми значениями никогда не совпадают.)${\ displaystyle n}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle \ тета = д \ пи / 2}$${\ displaystyle \ theta = 3d \ pi / 2}$${\ Displaystyle г = а \ соз (к \ тета)}$${\ Displaystyle г = а \ грех (к \ тета)}$${\ displaystyle k}$

• Роза вписана в круг , соответствующий радиальной координате всех ее вершин.${\ Displaystyle г = а}$

Лист Дюрера

Роза с листом Дюрера названа в честь немецкого художника и гравера Альбрехта Дюрера . Хотя розы, указанные с помощью и , совпадают . В декартовых координатах роза обозначена как . ${\ Displaystyle к = 1/2}$${\ Displaystyle г = а \ соз (\ тета / 2)}$${\ Displaystyle г = а \ грех (\ тета / 2)}$${\ Displaystyle а \ соз (\ тета / 2) \ neq а \ грех (\ тета / 2)}$${\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) [2 (x ^ {2} + y ^ {2}) - a ^ {2}] ^ {2} = a ^ {4} x ^ {2}}$

Лист Дюрера также представляет собой трисектрису , кривую, которую можно использовать для разделения углов.

Лимасон трисектрикс

Роза с является улитка Паскаля трисектриса , который обладает свойством трисектрисы кривых , которые могут быть использованы для углов делить на три равные части. У розы одинарный лепесток с двумя петлями. (См. Анимацию ниже.) ${\ Displaystyle к = 1/3}$

Примеры роз, созданных с помощью шестеренок с разным передаточным числом. Отображаемые лучи представляют собой полярную ось и . Графическое изображение начинается с , когда является целым числом, в противном случае, и протекает по часовой стрелке , чтобы .${\ Displaystyle г = \ соз (к \ тета)}$
${\ displaystyle \ theta = \ pi / 2}$
${\ displaystyle \ theta = 2 \ pi}$${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle \ theta = 2d \ pi}$${\ displaystyle \ theta = 0}$

Круг , к = 1 ( п = 1, d = 1). Подъем завершен, когда достигается (половина оборота более легкой шестерни).${\ displaystyle \ theta = \ pi}$

Улитка Паскаля трисектриса , к = 1/3 ( п = 1, d = 3), имеет один лепесток с двумя петлями. Поднятие завершено, когда достигается (полтора оборота более легкой шестерни).${\ Displaystyle \ theta = 3 \ pi}$

Тройник, k = 3 ( n = 3, d = 1). Поднятие завершено, когда достигается (половина оборота более легкой шестерни).${\ displaystyle \ theta = \ pi}$

Каждый из 8 лепестков розы с k = 4/5 ( n = 4, d = 5) представляет собой единую петлю, пересекающую другие лепестки. Роза симметрична полюсу. Подъем завершен на (пять оборотов зажигалки).${\ displaystyle \ theta = 0}$

Розы с иррациональными значениями чисел для k

Кривая розы, указанная с иррациональным числом для, имеет бесконечное количество лепестков и никогда не будет завершена. Например, синусоида имеет период , следовательно, у нее есть лепесток в интервале полярных углов с гребнем на полярной оси; однако нет другого полярного угла в области полярного уравнения, которое будет строиться в координатах . В целом, розы, заданные синусоидами с угловыми частотами, которые являются иррациональными константами, образуют плотный набор (то есть они сколь угодно близки к определению каждой точки на диске ). ${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle г = а \ соз (\ пи \ тета)}$${\ displaystyle T = 2}$${\ Displaystyle -1/2 \ Leq \ Theta \ Leq 1/2}$${\ displaystyle (а, 0)}$${\ displaystyle r \ leq a}$

Смотрите также

• Limaçon trisectrix - имеет ту же форму, что и роза с k = 1/3 .
• Четырехлистник - кривая розы, где k = 2 .
• Маурер Роуз
• Роза (топология)
• Сектрикс Маклорена
• Спирограф

Заметки

Внешние ссылки

Апплет для создания розы с параметром k

• Визуальный словарь специальных плоских кривых Xah Lee
• Интерактивный пример с JSXGraph
• Интерактивный пример с p5