Условие совместимости Сен-Венана - Saint-Venant's compatibility condition

В математической теории упругости , условие совместимости Сен-Венана определяет соотношение между напряжением и поля смещений по ${\ displaystyle \ varepsilon}$ ${\ displaystyle \ u}$

${\ displaystyle \ epsilon _ {ij} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial u_ {i}} {\ partial x_ {j}}} + {\ frac {\ partial u_ {j}} {\ partial x_ {i}}} \ right)}$

где . Барре де Сен-Венан вывел условие совместимости для произвольного симметричного тензорного поля второго ранга, которое имеет этот вид, теперь оно было обобщено на симметричные тензорные поля более высокого ранга в пространствах размерности${\ Displaystyle 1 \ Leq я, J \ Leq 3}$${\ Displaystyle п \ geq 2}$

Тензорные поля ранга 2

Для симметричного тензорного поля ранга 2 в n-мерном евклидовом пространстве ( ) условие интегрируемости принимает форму обращения в нуль тензора Сен-Венана, определяемого формулой ${\ displaystyle F}$${\ Displaystyle п \ geq 2}$${\ Displaystyle W (F)}$

${\ Displaystyle W_ {ijkl} = {\ frac {\ partial ^ {2} F_ {ij}} {\ partial x_ {k} \ partial x_ {l}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} F_ {kl}} {\ partial x_ {i} \ partial x_ {j}}} - {\ frac {\ partial ^ {2} F_ {il}} {\ partial x_ {j} \ partial x_ {k}}} - {\ frac {\ partial ^ {2} F_ {jk}} {\ partial x_ {i} \ partial x_ {l}}}}$

Результат, который в односвязной области W = 0 означает, что деформация является симметричной производной некоторого векторного поля, был впервые описан Барре де Сен-Венаном в 1864 году и строго доказан Бельтрами в 1886 году. Для неодносвязных областей существует являются конечномерными пространствами симметричных тензоров с исчезающим тензором Сен-Венана, которые не являются симметричной производной векторного поля. Ситуация аналогична когомологиям де Рама.

Тензор Сен-Венана тесно связан с тензором кривизны Римана . В самом деле, первая вариация евклидовой метрики с возмущением в метрике именно такая . Следовательно, число независимых компонент такой же , как в частности , для размерности п. В частности , имеет только один независимый компонент, тогда как его шесть. ${\ displaystyle W}$ ${\ displaystyle R_ {ijkl}}$ ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle {\ frac {n ^ {2} (n ^ {2} -1)} {12}}}$${\ displaystyle n = 2}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle n = 3}$

В простейшей форме, конечно, следует предполагать, что компоненты системы дважды непрерывно дифференцируемы, но более поздние работы доказывают результат в гораздо более общем случае. ${\ displaystyle F}$

Связь между условием совместимости Сен-Венана и леммой Пуанкаре можно более четко понять, используя приведенную форму тензора Крёнера ${\ displaystyle W}$

${\ displaystyle K_ {i_ {1} ... i_ {n-2} j_ {1} ... j_ {n-2}} = \ epsilon _ {i_ {1} ... i_ {n-2} kl} \ epsilon _ {j_ {1} ... j_ {n-2} mp} F_ {lm, kp}}$

где - символ перестановки . В самом деле , - симметричное тензорное поле ранга 2. Исчезновение равносильно обращению в нуль, и это также показывает, что существует шесть независимых компонентов для важного случая трех измерений. Хотя здесь по-прежнему используются две производные, а не одна, указанная в лемме Пуанкаре, можно свести к проблеме, включающей первые производные, путем введения большего числа переменных, и было показано, что полученный «комплекс эластичности» эквивалентен комплексу де Рама . ${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle n = 3}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle W}$

В дифференциальной геометрии симметризованная производная векторного поля появляется также как производная Ли метрического тензора g по векторному полю.

${\ displaystyle T_ {ij} = ({\ mathcal {L}} _ {U} g) _ {ij} = U_ {i; j} + U_ {j; i}}$

где индексы, следующие за точкой с запятой, указывают на ковариантное дифференцирование. Таким образом, обращение в нуль является условием интегрируемости локального существования в евклидовом случае. Как отмечалось выше, это совпадает с исчезновением линеаризации тензора римановой кривизны относительно евклидовой метрики. ${\ Displaystyle W (T)}$${\ displaystyle U}$

Обобщение на тензоры более высокого ранга

Условие совместимости Сен-Венана можно рассматривать как аналог для симметричных тензорных полей леммы Пуанкаре для кососимметричных тензорных полей ( дифференциальных форм ). Результат можно обобщить на симметричные тензорные поля более высокого ранга . Пусть F - симметричное тензорное поле ранга k на открытом множестве в n-мерном евклидовом пространстве , тогда симметричная производная - это тензорное поле ранга k + 1, определяемое формулой

${\ displaystyle (dF) _ {i_ {1} ... i_ {k} i_ {k + 1}} = F _ {(i_ {1} ... i_ {k}, i_ {k + 1})} }$

где мы используем классическое обозначение, что индексы, следующие за запятой, указывают на дифференциацию, а группы индексов, заключенные в скобки, указывают на симметризацию по этим индексам. Тензор Сен-Венана симметричного тензорного поля ранга k определяется формулой ${\ displaystyle W}$${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle W_ {i_ {1} .. i_ {k} j_ {1} ... j_ {k}} = V _ {(i_ {1} .. i_ {k}) (j_ {1} ... j_ {k})}}$

с участием

${\ displaystyle V_ {i_ {1} .. i_ {k} j_ {1} ... j_ {k}} = \ sum \ limits _ {p = 0} ^ {k} (- 1) ^ {p} {k \ choose p} T_ {i_ {1} .. i_ {kp} j_ {1} ... j_ {p}, j_ {p + 1} ... j_ {k} i_ {k-p + 1 } ... i_ {k}}}$

На односвязной области в евклидовом пространстве следует, что для некоторого ранга k-1 симметричное тензорное поле . ${\ displaystyle W = 0}$${\ displaystyle T = dF}$${\ displaystyle F}$

Ссылки

Смотрите также

• Совместимость (механика)