Теорема Сен-Венана - Saint-Venant's theorem

В механике твердого тела обычно анализируют свойства балок с постоянным поперечным сечением. Теорема Сен-Венана утверждает, что односвязное сечение с максимальной жесткостью на кручение является окружностью. Он назван в честь французского математика Адемара Жана Клода Барре де Сен-Венана .

Учитывая односвязную область D в плоскости с площадью A , радиус и площадь его наибольшей вписанной окружности, жесткость при кручении Р из D определяются ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ sigma}$

${\ displaystyle P = 4 \ sup _ {f} {\ frac {\ left (\ iint \ limits _ {D} f \, dx \, dy \ right) ^ {2}} {\ iint \ limits _ {D } {f_ {x}} ^ {2} + {f_ {y}} ^ {2} \, dx \, dy}}.}$

Здесь верхняя грань берется по всем непрерывно дифференцируемых функций , обращающихся в нуль на границе D . Существование этого супремума является следствием неравенства Пуанкаре .

Сен-Венан в 1856 г. предположил, что из всех областей D равной площади A круговая имеет наибольшую жесткость на кручение, т. Е.

${\ displaystyle P \ leq P _ {\ text {circle}} \ leq {\ frac {A ^ {2}} {2 \ pi}}.}$

Строгое доказательство этого неравенства не было дано Полиа до 1948 года . Другое доказательство было дано Давенпортом и изложено в. Более общее доказательство и оценка

${\ Displaystyle P <4 \ rho ^ {2} A}$

дается Макаи.

Примечания