Координаты Шварцшильда - Schwarzschild coordinates

В теории лоренцевых многообразий , сферический симметричные хронотопы допускают семейство вложенных круглых шаров . В таком пространстве-времени особенно важным видом координатной карты является карта Шварцшильда , своего рода полярная сферическая координатная карта в статическом и сферически-симметричном пространстве-времени , которая адаптирована к этим вложенным круглым сферам. Определяющей характеристикой диаграммы Шварцшильда является то, что радиальная координата имеет естественную геометрическую интерпретацию с точки зрения площади поверхности и гауссовой кривизны каждой сферы. Однако радиальные расстояния и углы не представлены точно.

Эти диаграммы имеют множество приложений в метрических теориях гравитации, например в общей теории относительности . Чаще всего они используются в статических сферически-симметричных пространствах-временах. В случае общей теории относительности , теорема Биркгоф утверждает , что каждый изолированная сферически симметричного вакуум или электровакуумное решение уравнения Эйнштейна поля является статическим, но это, конечно , не верно для идеальной жидкости . Расширение внешней области вакуумного решения Шварцшильда внутри горизонта событий сферически-симметричной черной дыры не статично внутри горизонта, и семейство (пространственноподобных) вложенных сфер не может быть расширено внутри горизонта, поэтому диаграмма Шварцшильда для этого раствор обязательно срывается на горизонте.

Определение

Указание метрического тензора является частью определения любого лоренцевого многообразия . Самый простой способ определить этот тензор - определить его в совместимых локальных координатных картах и ​​убедиться, что тот же тензор определен на перекрытиях доменов карт. В этой статье мы попытаемся определить метрический тензор только в области одной диаграммы. ${\ displaystyle g}$

В диаграмме Шварцшильда (в статическом сферически-симметричном пространстве-времени) линейный элемент принимает форму

${\ displaystyle g = -a (r) ^ {2} \, dt ^ {2} + b (r) ^ {2} \, dr ^ {2} + r ^ {2} \ left (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ {2} \ right) = - a (r) ^ {2} \, dt ^ {2} + b (r) ^ {2} \, dr ^ {2} + r ^ {2} g _ {\ Omega}}$

${\ displaystyle - \ infty <t <\ infty, \, r_ {0} <r <r_ {1}, \, 0 <\ theta <\ pi, \, - \ pi <\ phi <\ pi}$

Где - стандартная сферическая координата, а - стандартная метрика на единичной 2-сфере. См. « Получение решения Шварцшильда» для более подробного вывода этого выражения. ${\ displaystyle \ Omega = (\ theta, \ phi)}$${\ displaystyle g _ {\ Omega}}$

В зависимости от контекста, может быть целесообразно рассматривать a и b как неопределенные функции радиальной координаты (например, при выводе точного статического сферически-симметричного решения уравнения поля Эйнштейна ). В качестве альтернативы, мы можем подключить определенные функции (возможно, в зависимости от некоторых параметров), чтобы получить диаграмму координат Шварцшильда в конкретном лоренцевом пространстве-времени.

Если окажется, что это допускает тензор энергии-импульса такой, что результирующая модель удовлетворяет уравнению поля Эйнштейна (скажем, для статической сферически-симметричной совершенной жидкости, подчиняющейся подходящим энергетическим условиям и другим свойствам, ожидаемым от разумной идеальной жидкости), то с соответствующим тензором поля, представляющие физические величины, такие как плотность вещества и импульса, мы имеем часть возможно большего пространства-времени; кусок, который можно рассматривать как локальное решение уравнения поля Эйнштейна.

Убивающие векторные поля

Что касается графика Шварцшильда, то алгебра Ли из Killing векторного полей порождается времениподобным безвихревым векторное поле Киллинга

${\ displaystyle \ partial _ {t}}$

и три пространственноподобных векторных поля Киллинга

${\ displaystyle \ partial _ {\ phi}}$

${\ displaystyle \ sin \ phi \, \ partial _ {\ theta} + \ cot \ theta \, \ cos \ phi \, \ partial _ {\ phi}}$

${\ Displaystyle \ соз \ фи \, \ partial _ {\ theta} - \ cot \ theta \, \ sin \ phi \, \ partial _ {\ phi}}$

Здесь, говоря, что это безвихревой, означает, что тензор завихренности соответствующей времениподобной конгруэнции обращается в нуль; таким образом, это векторное поле Киллинга ортогонально гиперповерхности . Тот факт, что наше пространство-время допускает безвихревое времяподобное векторное поле Киллинга, на самом деле является определяющей характеристикой статического пространства-времени . Непосредственным следствием этого является то, что поверхности с постоянными координатами времени образуют семейство (изометрических) пространственных гиперпространств . (Это неверно, например, в диаграмме Бойера – Линдквиста для внешней области вакуума Керра , где вектор времениподобных координат не является ортогональным к гиперповерхности.) ${\ displaystyle {\ vec {X}} = \ partial _ {t}}$ ${\ displaystyle t = t_ {0}}$

Обратите внимание, что последние два поля вращаются друг относительно друга при преобразовании координат . В статье о векторных полях Киллинга дается подробный вывод и обсуждение трех пространственно-подобных полей. ${\ Displaystyle \ фи \ mapsto \ фи + \ пи / 2}$

Семейство статических вложенных сфер

На графике Шварцшильда, поверхности появляются как круглые сферы (когда мы наносим локусы в полярной сферической моде), а также от его формы, мы видим , что метрика Шварцшильда ограничивается какой - либо из этих поверхностей является положительно определенной и задаются ${\ Displaystyle т = т_ {0}, \, г = г_ {0}}$

${\ displaystyle g | _ {t = t_ {0}, r = r_ {0}} = r_ {0} ^ {2} g _ {\ Omega} = r_ {0} ^ {2} \ left (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ {2} \ right), \; 0 <\ theta <\ pi, \; - \ pi <\ phi <\ pi}$

Где - стандартная риманова метрика на двумерной сфере единичного радиуса. То есть эти вложенные координатные сферы действительно представляют собой геометрические сферы с ${\ displaystyle g _ {\ Omega}}$

1. площадь поверхности ${\ displaystyle A = 4 \ pi r_ {0} ^ {2}}$
2. Гауссова кривизна ${\ Displaystyle К = 1 / r_ {0} ^ {2}}$

В частности, это геометрические круглые сферы . Более того, угловые координаты - это в точности обычные полярные сферические угловые координаты: иногда их называют широтой и обычно называют долготой . По сути, это определяющая геометрическая особенность диаграммы Шварцшильда. ${\ displaystyle \ Omega = (\ theta, \ phi)}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ phi}$

Можно добавить, что приведенные выше четыре поля Киллинга, рассматриваемые как абстрактные векторные поля на нашем лоренцевом многообразии, дают наиболее верное выражение обеих симметрий статического сферически-симметричного пространства-времени, в то время как конкретная тригонометрическая форма, которую они принимают в нашей таблице, такова: наиболее верное выражение значения термина « диаграмма Шварцшильда» . В частности, три пространственных векторных поля Киллинга имеют точно такую ​​же форму, что и три нетрансляционных векторных поля Киллинга в сферически-симметричной карте на E ³ ; то есть они демонстрируют понятие произвольного евклидова вращения вокруг начала координат или сферической симметрии.

Однако обратите внимание: в общем случае радиальная координата Шварцшильда не точно представляет радиальные расстояния , то есть расстояния, взятые вдоль пространственноподобных геодезических конгруэнций, которые возникают как интегральные кривые . Скорее, чтобы найти подходящее понятие « пространственного расстояния » между двумя из наших вложенных сфер, мы должны интегрировать вдоль некоторого координатного луча от начала координат: ${\ displaystyle \ partial _ {r}}$ ${\ displaystyle b (r) dr}$

${\ displaystyle \ Delta \ rho = \ int _ {r_ {1}} ^ {r_ {2}} b (r) dr}$

Точно так же мы можем рассматривать каждую сферу как геометрическое место сферического облака идеализированных наблюдателей, которые должны (как правило) использовать ракетные двигатели для радиального ускорения наружу, чтобы сохранить свое положение. Это статические наблюдатели , и у них есть мировые линии формы , которые, конечно же, имеют форму вертикальных координатных линий на карте Шварцшильда. ${\ displaystyle r = r_ {0}, \ theta = \ theta _ {0}, \ phi = \ phi _ {0}}$

Чтобы вычислить правильный интервал времени между двумя событиями на мировой линии одного из этих наблюдателей, мы должны интегрировать по соответствующей координатной линии: ${\ displaystyle a (r) dt}$

${\ displaystyle \ Delta \ tau = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} a (r) dt}$

Координатные особенности

Оглядываясь назад на диапазоны координат выше, обратите внимание, что сингулярность координат в отмечает местоположение северного полюса одной из наших статических вложенных сфер, а отмечает местоположение южного полюса . Как и в случае обычной полярной сферической карты на E ³ , по топологическим причинам мы не можем получить непрерывные координаты на всей сфере; мы должны выбрать некоторую долготу (большой круг), которая будет выступать в качестве нулевого меридиана, и вырезать ее из карты. В результате мы вырезаем замкнутую полуплоскость из каждого пространственного гиперсреза, включая ось и полуплоскость, идущую от этой оси. ${\ displaystyle t = t_ {0}, \, r = r_ {0}, \, \ theta = 0}$${\ displaystyle t = t_ {0}, \, r = r_ {0}, \, \ theta = \ pi}$ ${\ displaystyle \ phi = 0}$${\ displaystyle t = t_ {0}}$${\ displaystyle r = 0}$

Когда мы сказали выше, что это векторное поле Киллинга, мы опустили педантичный, но важный определитель, который мы думаем как циклическую координату, и действительно думаем о наших трех пространственноподобных векторах Киллинга как действующие на круглые сферы. ${\ displaystyle \ partial _ {\ phi}}$${\ displaystyle \ phi}$

Возможно, конечно, или , в этом случае, мы должны также вырезать область за пределами некоторого шара или внутри некоторого шара из области нашей карты. Это происходит всякий раз, когда f или g взрываются при некотором значении радиальной координаты Шварцшильда r. ${\ displaystyle r_ {1}> 0}$${\ displaystyle r_ {2} <\ infty}$

Визуализация статических гиперпространств

Чтобы лучше понять значение радиальной координаты Шварцшильда, может помочь встроить один из пространственных гиперсрезов (все они, конечно, изометричны друг другу) в плоское евклидово пространство. Люди, которым трудно представить себе четырехмерное евклидово пространство, будут рады заметить, что мы можем воспользоваться сферической симметрией для подавления одной координаты . Это может быть удобно достигнуто установкой . Теперь у нас есть двумерное риманово многообразие с локальной радиальной координатной картой, ${\ displaystyle t = t_ {0}}$${\ Displaystyle т = 0, \ тета = \ пи / 2}$

${\ displaystyle g | _ {t = 0, \ theta = \ pi / 2} = b (r) ^ {2} dr ^ {2} + r ^ {2} d \ phi ^ {2}, \; \ ; r_ {1} <r <r_ {2}, \, - \ pi <\ phi <\ pi}$

Чтобы вложить эту поверхность (или кольцевое кольцо) в E ³ , мы принимаем поле фрейма в E ^3, которое

1. определена на параметризованной поверхности, которая унаследует желаемую метрику от пространства вложения,
2. адаптирован к нашей радиальной диаграмме,
3. имеет неопределенную функцию .${\ displaystyle f (r)}$

А именно, рассмотрим параметризованную поверхность

${\ Displaystyle (г, г, \ фи) \ rightarrow (е (г), \, г \ соз \ фи, \, г \ грех \ фи)}$

Координатные векторные поля на этой поверхности равны

${\ Displaystyle \ partial _ {r} = (е ^ {\ prime} (r), \, \ соз \ phi, \, \ sin \ phi), \; \; \ partial _ {\ phi} = (0 , -r \ sin \ phi, r \ cos \ phi)}$

Индуцированная метрика, унаследованная, когда мы ограничиваем евклидову метрику на E ³ нашей параметризованной поверхностью, имеет вид

${\ displaystyle d \ rho ^ {2} = \ left (1 + f ^ {\ prime} (r) ^ {2} \ right) \, dr ^ {2} + r ^ {2} \, d \ phi ^ {2}, \; r_ {1} <r <r_ {2}, \, - \ pi <\ phi <\ pi}$

Чтобы отождествить это с метрикой нашего гиперсреза, мы, очевидно, должны выбрать так , чтобы ${\ displaystyle f (r)}$

${\ displaystyle f ^ {\ prime} (r) = {\ sqrt {1-b (r) ^ {2}}}}$

Если взять несколько глупый пример, мы могли бы это сделать . ${\ Displaystyle Ь (г) = е (г) = \ грех (г)}$

Это работает для поверхностей, на которых истинные расстояния между двумя радиально разделенными точками больше, чем разница между их радиальными координатами. Если истинные расстояния меньше , мы должны вместо этого вложить наше риманово многообразие как пространственноподобную поверхность в E ^1,2 . Например, могли бы . Иногда нам могут понадобиться два или более локальных вложения кольцевых колец (для областей положительной или отрицательной гауссовой кривизны). В общем, не следует ожидать глобального вложения в какое-либо одно плоское пространство (с исчезающим тензором Римана). ${\ Displaystyle Ь (г) = е (г) = \ зп (г)}$

Дело в том, что определяющая характеристика карты Шварцшильда с точки зрения геометрической интерпретации радиальной координаты - это как раз то, что нам нужно для выполнения (в принципе) такого рода сферически-симметричного вложения пространственных гиперпространств.

Метрический анзац

Приведенный выше линейный элемент, где f , g рассматриваются как неопределенные функции радиальной координаты Шварцшильда r , часто используется в качестве метрического анзаца при выводе статических сферически-симметричных решений в общей теории относительности (или других метрических теориях гравитации ).

В качестве иллюстрации мы покажем, как вычислить соединение и кривизну, используя метод внешнего исчисления Картана . Сначала мы считываем из линейного элемента поле coframe ,

${\ Displaystyle \ sigma ^ {0} = - а (г) \, dt}$

${\ Displaystyle \ sigma ^ {1} = б (г) \, др}$

${\ Displaystyle \ sigma ^ {2} = rd \ theta \,}$

${\ Displaystyle \ сигма ^ {3} = г \ грех \ тета \, д \ фи}$

где мы рассматриваем - еще неопределенные гладкие функции от . (Тот факт, что наше пространство-время допускает фрейм, имеющий эту конкретную тригонометрическую форму, является еще одним эквивалентным выражением понятия карты Шварцшильда в статическом сферически-симметричном лоренцевом многообразии). ${\ displaystyle a \, b}$${\ displaystyle r}$

Во-вторых, мы вычисляем внешние производные этих кобазисных одноформ:

${\ displaystyle d \ sigma ^ {0} = - a '(r) \, dr \ wedge dt = {\ frac {a' (r)} {b (r)}} \, dt \ wedge \ sigma ^ { 1}}$

${\ displaystyle d \ sigma ^ {1} = 0 \,}$

${\ Displaystyle д \ сигма ^ {2} = др \ клин д \ тета}$

${\ displaystyle d \ sigma ^ {3} = \ sin \ theta \, dr \ wedge d \ phi + r \, \ cos \ theta \, d \ theta \ wedge d \ phi = - \ left ({\ frac { \ sin \ theta \, d \ phi} {b (r)}} \ wedge \ sigma ^ {1} + \ cos \ theta \, d \ phi \ wedge \ sigma ^ {2} \ right)}$

Сравнивая с первым структурным уравнением Картана (точнее его условием интегрируемости),

${\ displaystyle d \ sigma ^ {\ hat {m}} = - {\ omega ^ {\ hat {m}}} _ {\ hat {n}} \, \ wedge \ sigma ^ {\ hat {n}} }$

угадываем выражения для связи одноформ . (Шляпы - это всего лишь условное обозначение, напоминающее нам, что индексы относятся к нашим кобазисным однократным формам, а не к координатным однократным формам .) ${\ displaystyle dt, \, dr, \, d \ theta, d \ phi}$

Если мы вспомним, какие пары индексов симметричны (пространство-время), а какие антисимметричны (пространство-пространство) в , мы можем подтвердить, что шесть одно-форм связности являются ${\ displaystyle {\ omega ^ {\ hat {m}}} _ {\ hat {n}}}$

${\ displaystyle {\ omega ^ {0}} _ {1} = {\ frac {a '} {b}} (r) \, dt}$

${\ displaystyle {\ omega ^ {0}} _ {2} = 0}$

${\ displaystyle {\ omega ^ {0}} _ {3} = 0}$

${\ displaystyle {\ omega ^ {1}} _ {2} = - {\ frac {d \ theta} {b (r)}}}$

${\ displaystyle {\ omega ^ {1}} _ {3} = - {\ гидроразрыва {\ sin \ theta \, d \ phi} {b (r)}}}$

${\ displaystyle {\ omega ^ {2}} _ {3} = - \ cos \ theta \, d \ phi}$

(В этом примере только четыре из шести не обращаются в нуль.) Мы можем собрать эти однозначные формы в матрицу одноформ или, еще лучше, в однозначную SO (1,3) -значную форму. Обратите внимание, что результирующая матрица однозначных форм не будет полностью антисимметричной, как для однозначной SO (4) -значной формы; вместо этого нам нужно использовать понятие транспонирования, возникающее из лоренцево сопряженного .

В-третьих, мы вычисляем внешние производные единичных форм связности и используем второе структурное уравнение Картана

${\ displaystyle {\ Omega ^ {\ hat {m}}} _ {\ hat {n}} = d {\ omega ^ {\ hat {m}}} _ {\ hat {n}} - {\ omega ^ {\ hat {m}}} _ {\ hat {\ ell}} \ wedge {\ omega ^ {\ hat {\ ell}}} _ {\ hat {n}}}$

для вычисления кривизны две формы. В-четвертых, используя формулу

${\ displaystyle {\ Omega ^ {\ hat {m}}} _ {\ hat {n}} = {R ^ {\ hat {m}}} _ {{\ hat {n}} | {\ hat {\ imath}} {\ hat {\ jmath}} |} \, \ sigma ^ {\ hat {\ imath}} \ wedge \ sigma ^ {\ hat {\ jmath}}}$

где столбики Баха указывают, что мы должны суммировать только по шести возрастающим парам индексов ( i , j ), мы можем считывать линейно независимые компоненты тензора Римана относительно нашего кофрейма и его поля двойного фрейма . Мы получаем:

${\ displaystyle {R ^ {0}} _ {101} = {\ frac {-a '' \, b + a '\, b'} {a \, b ^ {3}}} (r)}$

${\ displaystyle {R ^ {0}} _ {202} = {\ frac {1} {r}} {\ frac {-a '} {a \, b ^ {2}}} (r) = {R ^ {0}} _ {303}}$

${\ displaystyle {R ^ {1}} _ {212} = {\ frac {1} {r}} {\ frac {b '} {b ^ {3}}} (r) = {R ^ {1} } _ {313}}$

${\ displaystyle {R ^ {2}} _ {323} = {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {b ^ {2} -1} {b ^ {2}}} ( р)}$

В-пятых, мы можем снизить индексы и организовать компоненты в матрицу ${\ displaystyle R _ {{\ hat {m}} {\ hat {n}} {\ hat {i}} {\ hat {j}}}}$

${\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} R_ {0101} & R_ {0102} & R_ {0103} & R_ {0123} & R_ {0131} & R_ {0112} \\ R_ {0201} & R_ {0202} & R_ {0203} & R_ {0223} & R_ {0231} & R_ {0212} \\ R_ {0301} & R_ {0302} & R_ {0303} & R_ {0323} & R_ {0331} & R_ {0312} \\ R_ {2301} & R_ {2302} & R_ { 2303} & R_ {2323} & R_ {2331} & R_ {2312} \\ R_ {3101} & R_ {3102} & R_ {3103} & R_ {3123} & R_ {3131} & R_ {3112} \\ R_ {1201} & R_ {1202} & R_ {1203} & R_ {1223} & R_ {1231} & R_ {1212} \ end {matrix}} \ right] = \ left [{\ begin {matrix} E&B \\ B ^ {T} & L \ end {matrix}} \верно]}$

где E, L симметричны (шесть линейно независимых компонентов, в общем), а B бесследова (восемь линейно независимых компонентов, в общем), что мы думаем как представление линейного оператора в шестимерном векторном пространстве двух форм (при каждое событие). Отсюда мы можем прочитать разложение Беля по времениподобному единичному векторному полю . Электрогравитационный тензор является ${\ displaystyle {\ vec {X}} = {\ vec {e}} _ {0} = {\ frac {1} {a (r)}} \, \ partial _ {t}}$

${\ displaystyle E [{\ vec {X}}] _ {11} = {\ frac {a '' \, b-a '\, b'} {a \, b ^ {3}}} (r) , \; E [{\ vec {X}}] _ {22} = E [{\ vec {X}}] _ {33} = {\ frac {1} {r}} {\ frac {a '} {а \, Ь ^ {2}}} (г)}$

Magnetogravitic тензор тождественно равен нулю, а topogravitic тензор , из которого (используя тот факт , что безвихревое) можно определить трехмерный тензор Римана пространственных hyperslices, является ${\ displaystyle {\ vec {X}}}$

${\ displaystyle L [{\ vec {X}}] _ {11} = {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {1-b ^ {2}} {b ^ {2} }} (r), \; L [{\ vec {X}}] _ {22} = L [{\ vec {X}}] _ {33} = {\ frac {1} {r}} {\ гидроразрыв {-b '} {b ^ {3}}} (r)}$

Все это справедливо для любого лоренцевого многообразия, но отметим, что в общей теории относительности тензор электрогравитации контролирует приливные напряжения на малых объектах, измеряемые наблюдателями, соответствующими нашей системе координат, а тензор магнитогравитации контролирует любые спин-спиновые силы на вращающихся объектах. , как измерено наблюдателями, соответствующими нашему кадру.

Поле двойного кадра нашего поля coframe равно

${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {0} = {\ frac {1} {a (r)}} \, \ partial _ {t}}$

${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {1} = {\ frac {1} {b (r)}} \, \ partial _ {r}}$

${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {2} = {\ frac {1} {r}} \, \ partial _ {\ theta}}$

${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {3} = {\ frac {1} {r \ sin \ theta}} \, \ partial _ {\ phi}}$

Тот факт, что множитель здесь умножает только первое из трех ортонормированных пространственноподобных векторных полей, означает, что карты Шварцшильда не являются пространственно изотропными (за исключением тривиального случая локально плоского пространства-времени); скорее появляются световые конусы (радиально сплющенные) или (радиально вытянутые). Это, конечно, просто еще один способ сказать, что диаграммы Шварцшильда правильно представляют расстояния внутри каждой вложенной круглой сферы, но радиальная координата не точно отражает правильное радиальное расстояние. ${\ displaystyle {\ frac {1} {b (r)}}}$

Некоторые точные решения, допускающие диаграммы Шварцшильда

Вот некоторые примеры точных решений, которые могут быть получены таким образом:

• внешняя область вакуума Шварцшильда ,
• то же самое для электровакуума Рейсснера – Нордстрёма , который включает предыдущий пример как частный случай,
• то же самое для электроламбдавакуума Рейсснера – Нордстрема – де Ситтера , который включает предыдущий пример как частный случай,
• решение Джениса-Ньюмана-Винакура (которое моделирует внешний вид статического сферически-симметричного объекта, наделенного безмассовым минимально связанным скалярным полем),
• звездные модели, полученные путем сопоставления внутренней области, которая представляет собой статическое сферически симметричное идеальное жидкое решение через сферическое место исчезающего давления, с внешней областью, которая локально изометрична части области вакуума Шварцшильда.

Обобщения

Естественно рассматривать нестатические, но сферически-симметричные пространства-времени с обобщенной картой Шварцшильда, в которой метрика принимает вид

${\ displaystyle g = -a (t, r) ^ {2} \, dt ^ {2} + b (t, r) ^ {2} \, dr ^ {2} + r ^ {2} \ left ( d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ {2} \ right),}$

${\ displaystyle - \ infty <t <\ infty, \, r_ {0} <r <r_ {1}, \, 0 <\ theta <\ pi, \, - \ pi <\ phi <\ pi}$

Обобщая в другом направлении, мы можем использовать другие системы координат на наших круглых двух сферах, чтобы получить, например, стереографическую диаграмму Шварцшильда, которая иногда бывает полезной:

${\ displaystyle g = -a (r) ^ {2} \, dt ^ {2} + b (r) ^ {2} \, dr ^ {2} + {\ frac {dx ^ {2} + dy ^ {2}} {(1 + x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2}}}, \; - \ infty <t, x, y <\ infty, r_ {1} <r <r_ {2}}$

Смотрите также

• статическое пространство - время ,
• сферически симметричное пространство-время ,
• статические сферически симметричные идеальные жидкости ,
• изотропные координаты , еще одна популярная диаграмма статических сферически-симметричных пространств-времени,
• Гауссовские полярные координаты , менее распространенная альтернативная диаграмма для статических сферически-симметричных пространств-времени,
• Координаты Гуллстранда – Пенлеве , простая диаграмма, действительная в пределах горизонта событий статической черной дыры.
• поля кадра в общей теории относительности , подробнее о полях кадра и полях кадра
• Разложение Беля тензора Римана,
• сравнение (общая теория относительности) , для получения дополнительной информации о сопоставлениях, таких как выше,${\ displaystyle {\ vec {X}}}$
• Координаты Крускала – Секереса , диаграмма, покрывающая все пространственно-временное многообразие максимально расширенного решения Шварцшильда и хорошо ведущаяся везде за пределами физической сингулярности,
• Координаты Эддингтона – Финкельштейна , альтернативная карта для статических сферически-симметричных пространств-времени,

Примечания