Число Скьюза - Skewes's number
В теории чисел , число скьюза является одной из нескольких больших чисел , используемых в ЮАР математику Станли Скус в качестве верхних границ для наименьшего натурального числа , для которых
где π - функция счета простых чисел, а li - логарифмическая интегральная функция . Число Скьюза намного больше, но теперь известно, что рядом есть перекресток. Неизвестно, наименьшее ли оно.
Числа Скьюза
Джон Эденсор Литтлвуд , который был научным руководителем Скьюза, доказал в Littlewood (1914), что такое число существует (а значит, первое такое число); и действительно обнаружил, что знак разности меняется бесконечно много раз. Все доступные тогда числовые свидетельства, казалось, предполагали, что это всегда было меньше, чем доказательство Литтлвуда, однако не показывало конкретного такого числа .
Скьюс (1933) доказал, что, если предположить, что гипотеза Римана верна, существует число, которое ниже нарушается.
В Skewes (1955) , не принимая гипотезу Римана, Skewes доказал, что должно существовать значение ниже
Задача Скьюза заключалась в том, чтобы сделать доказательство существования Литтлвуда эффективным : показать некоторую конкретную верхнюю границу для первой смены знака. По словам Георга Крайзеля , в то время это даже в принципе не считалось очевидным.
Более свежие оценки
Эти верхние границы с тех пор были значительно сокращены с помощью масштабных компьютерных расчетов нулей в дзета - функции Римана . Первую оценку фактического значения точки пересечения дал Леман (1966) , который показал, что где-то между и есть более чем последовательные целые числа с . Не принимая гипотезу Римана, HJJ te Riele ( 1987 ) доказал верхнюю границу . Лучшая оценка была обнаружена Bays & Hudson (2000) , которые показали, что есть по крайней мере последовательные целые числа где-то рядом с этим значением где . Отсеки и Хадсон нашли несколько гораздо меньших значений , где приближаются к ; возможность того, что рядом с этими значениями есть точки пересечения, еще не исключена, хотя компьютерные расчеты показывают, что они вряд ли существуют. Chao & Plymen (2010) дали небольшое улучшение и корректировку результата Бэйса и Хадсона. Саутер и Демичел (2010) нашли меньший интервал для пересечения, который был немного улучшен Зеговицем (2010) . Тот же источник показывает , что существует число нарушения ниже . Это можно свести к предположению гипотезы Римана. Stoll & Demichel (2011) дали .
Год | около x | # использованных комплексных нулей |
к |
---|---|---|---|
2000 г. | 1,39822 × 10 316 | 1 × 10 6 | Бэйс и Гудзон |
2010 г. | 1,39801 × 10 316 | 1 × 10 7 | Чао и Плимен |
2010 г. | 1.397166 × 10 316 | 2,2 × 10 7 | Саутер и Демишель |
2011 г. | 1.397162 × 10 316 | 2,0 × 10 11 | Столл и Демишель |
Неукоснительно, Rosser & Schoenfeld (1962) доказала , что нет точек кроссовера ниже , доработанных Brent (1975) до , по Kotnik (2008) до , по Platt & Trudgian (2014) до , и Бута (2015) в .
Не существует точного значения, которое наверняка обладает этим свойством, хотя компьютерные расчеты предлагают некоторые явные числа, которые вполне могут удовлетворить это свойство .
Несмотря на то, что естественная плотность положительных целых чисел не существует, Винтнер (1941) показал, что логарифмическая плотность этих положительных целых чисел действительно существует и является положительной. Рубинштейн и Сарнак (1994) показали, что эта пропорция составляет около 0,00000026, что удивительно велико, учитывая, как далеко нужно зайти, чтобы найти первый пример.
Формула Римана
Риман дал явную формулу для , главные члены которой (игнорируя некоторые тонкие вопросы сходимости)
где сумма складывается из множества нетривиальных нулей дзета-функции Римана .
Самый большой член ошибки в приближении (если гипотеза Римана верна) отрицательный , показывая, что обычно больше, чем . Остальные термины, приведенные выше, несколько меньше и, кроме того, имеют разные, кажущиеся случайными сложные аргументы , поэтому в большинстве случаев они сокращаются. Иногда, однако, у нескольких более крупных аргументов может быть примерно один и тот же сложный аргумент, и в этом случае они будут усиливать друг друга, а не отменять, и подавляют термин .
Причина, по которой число Скьюза настолько велико, заключается в том, что эти меньшие члены намного меньше, чем главный член ошибки, в основном потому, что первый комплексный нуль дзета-функции имеет довольно большую мнимую часть , поэтому большое число (несколько сотен) из них необходимо иметь примерно одинаковые аргументы, чтобы подавить доминирующий термин. Вероятность того, что случайные комплексные числа будут иметь примерно такой же аргумент, составляет около 1 дюйма . Это объясняет, почему иногда больше, а также почему это случается редко. Это также показывает, почему поиск мест, где это происходит, зависит от крупномасштабных вычислений миллионов высокоточных нулей дзета-функции Римана.
Приведенный выше аргумент не является доказательством, поскольку он предполагает, что нули дзета-функции Римана случайны, что неверно. Грубо говоря, доказательство Литтлвуда состоит из аппроксимационной теоремы Дирихле, показывающей, что иногда многие члены имеют примерно одинаковые аргументы. В случае, если гипотеза Римана неверна, аргумент намного проще, в основном потому, что члены для нулей нарушают гипотезу Римана (с действительной частью больше, чем1/2) в конечном итоге больше, чем .
Причина использования этого термина в том, что, грубо говоря, на самом деле учитываются степени простых чисел , а не сами простые числа, с взвешиванием по . Этот термин примерно аналогичен поправке второго порядка, учитывающей квадраты простых чисел.
Эквивалент для простых k -элементов
Эквивалентное определение числа Скьюза существует для простых k -наборов ( Tóth (2019) ). Пусть обозначит штрих ( K + 1) -кратные, число простых чисел ниже таких , что все простой, пусть и пусть обозначит его Харди-Литтлвуд постоянного (см Первого Hardy-Литтлвуд гипотезы ). Тогда первое простое число , нарушающее неравенство Харди-Литтлвуда для ( k + 1) -набора , т. Е. Первое простое число такое, что
(если такое простое число существует) - это число Скьюза для
В таблице ниже показаны известные в настоящее время числа Скьюза для простых k -элементов:
Prime к -кратному | Число перекосов | Найдено |
---|---|---|
( р , р + 2) | 1369391 | Волк (2011) |
( р , р + 4) | 5206837 | Тот (2019) |
( р , р + 2, р + 6) | 87613571 | Тот (2019) |
( р , р + 4, р + 6) | 337867 | Тот (2019) |
( р , р + 2, р + 6, р + 8) | 1172531 | Тот (2019) |
( р , р + 4, р +6, р + 10) | 827929093 | Тот (2019) |
( p , p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) | 21432401 | Тот (2019) |
( p , p +4, p +6, p + 10, p + 12) | 216646267 | Тот (2019) |
( p , p + 4, p + 6, p + 10, p + 12, p + 16) | 251331775687 | Тот (2019) |
( p , p +2, p +6, p +8, p +12, p +18, p +20) | 7572964186421 | Пфертнер (2020) |
( p , p +2, p +8, p +12, p +14, p +18, p +20) | 214159878489239 | Пфертнер (2020) |
( p , p +2, p +6, p +8, p +12, p +18, p +20, p +26) | 1203255673037261 | Пфертнер / Лун (2021) |
( p , p +2, p +6, p +12, p +14, p +20, p +24, p +26) | 523250002674163757 | Лун / Пфертнер (2021 г.) |
( p , p +6, p +8, p +14, p +18, p +20, p +24, p +26) | 750247439134737983 | Пфертнер / Лун (2021) |
Число Скьюза (если оно существует) для сексуальных простых чисел до сих пор неизвестно.
Также неизвестно, всем ли допустимым k -наборам соответствует число Скьюиса.
использованная литература
- Bays, C .; Хадсон, Р.Х. (2000), «Новая оценка для самых маленьких с » (PDF) , Математика вычислений , 69 (231): 1285–1296, DOI : 10.1090 / S0025-5718-99-01104-7 , MR 1752093 , Zbl 1042,11001
- Brent, Р. П. (1975), "Неровности в распределении простых чисел и простых чисел близнецов", Математика вычислений , 29 (129): 43-56, DOI : 10,2307 / 2005460 , JSTOR 2005460 , МР 0369287 , Zbl +0295,10002
- Бют, Ян (2015), Аналитический метод определения границ , arXiv : 1511.02032 , Bibcode : 2015arXiv151102032B
- Чао, Куок Фай; Плимен, Роджер (2010), «Новая граница для самых маленьких с », Международный журнал теории чисел , 6 (03): 681–690, arXiv : math / 0509312 , doi : 10,1142 / S1793042110003125 , MR 2652902 , Zbl 1215.11084
- Kotnik, Т. (2008), "Функция прайм-подсчитывая и его аналитические аппроксимации", Успехи в области вычислительной математики , 29 (1): 55-70, DOI : 10.1007 / s10444-007-9039-2 , МР 2420864 , Zbl 1149.11004
- Леман, Р. Шерман (1966), "О различии " , Acta Арифметика , 11 : 397-410, DOI : 10,4064 / аа-11-4-397-410 , МР 0202686 , Zbl +0151,04101
- Литтлвуд, JE (1914), "Sur La распределение де nombres премьеров", Comptes Rendus , 158 : 1869-1872, СУЛ 45.0305.01
- Платт, диджей; Трудгиан, Т.С. (2014), При первой смене знака , arXiv : 1407.1914 , Bibcode : 2014arXiv1407.1914P
- те Риле, HJJ (1987), «О знаке разницы », Математика вычислений , 48 (177): 323–328, DOI : 10.1090 / s0025-5718-1987-0866118-6 , JSTOR 2007893 , MR 0866118
- Россер, JB ; Шенфельд, Л. (1962), «Приближенные формулы для некоторых функций от простых чисел», Illinois Journal of Mathematics , 6 : 64–94, MR 0137689
- Саутер, Янник; Demichel, Патрик (2010), "Острый край , где положительно", Математика вычислений , 79 (272): 2395-2405, DOI : 10,1090 / S0025-5718-10-02351-3 , МР 2684372
- Рубинштейн, М .; Сарнак, P. (1994), "смещение Чебышева" , Экспериментальная математика , 3 (3): 173-197, DOI : 10,1080 / 10586458.1994.10504289 , MR 1329368
- Skewes, S. (1933), "О различии ", журнал Лондонского математического общества , 8 : 277-283, DOI : 10,1112 / jlms / s1-8.4.277 , JFM 59.0370.02 , Zbl 0007,34003
- Skewes, S. (1955), "О разности (II)", Труды Лондонского математического общества , 5 : 48-70, DOI : 10,1112 / PLMS / s3-5.1.48 , MR 0067145
- Столл, Дуглас; Demichel, Патрик (2011), "Влияние комплексных нулей на для ", Математика вычислений , 80 (276): 2381-2394, DOI : 10,1090 / S0025-5718-2011-02477-4 , МР 2813366
- Тот, Ласло (2019), «Об асимптотической плотности простых k-наборов и гипотезе Харди и Литтлвуда» (PDF) , Вычислительные методы в науке и технологиях , 25 (3).
- Винтнер, А. (1941), "О функции распределения остаточного члена теоремы простого числа", Американский журнал математики , 63 (2): 233-248, DOI : 10,2307 / 2371519 , JSTOR 2371519 , MR 0004255
- Вольф, Марек (2011), «Число Скьюза для простых чисел-близнецов: подсчет изменений знака π2 (x) - C2Li2 (x)» (PDF) , Вычислительные методы в науке и технологиях , 17.
- Зеговиц, Стефани (2010), О положительной области , магистерская диссертация, Манчестерский институт математических наук, Школа математики, Манчестерский университет
внешние ссылки
- Демичелс, Патрик. «Функция подсчета простых чисел и связанные предметы» (PDF) . Демишель . Архивировано из оригинала (PDF) на 8 сентября 2006 года . Проверено 29 сентября 2009 .
- Азимов И. (1976). «Шашлык!». О большом и малом . Нью-Йорк: Ace Books. ISBN 978-0441610723.