Сольвмногообразие - Solvmanifold

В математике , солвмногообразие является однородным пространством из подключенной разрешимой группы Ли . Его также можно охарактеризовать как фактор связной разрешимой группы Ли по замкнутой подгруппе . (Некоторые авторы также требуют, чтобы группа Ли была односвязной или чтобы фактор был компактным.) Специальный класс солвмногообразий, нильмногообразий , был введен Анатолием Мальцевым , который доказал первые структурные теоремы. Свойства общих солвмногообразий аналогичны, но несколько сложнее.

Примеры

• Разрешимая группа Ли тривиально является солвмногообразием.
• Каждая нильпотентная группа разрешима, следовательно, любое нильмногообразие является солвмногообразием. Этот класс примеров включает n -мерные торы и фактор-фактор трехмерной вещественной группы Гейзенберга по ее целочисленной подгруппе Гейзенберга.
• Лента Мёбиуса и бутылка Клейна является солвмногообразием, которые не являются нильмногообразиями.
• Отображение тор из диффеоморфизма из п -тора является солвмногообразием. В самом деле , эти многообразия принадлежат Солнцу , одной из восьми геометрий Терстона .${\ displaystyle n = 2}$

Характеристики

• Сольвмногообразие диффеоморфно тотальному пространству векторного расслоения над некоторым компактным солвмногообразием. Это утверждение было предположено Джорджем Мостоу и доказано Луи Осландером и Ричардом Толимьери.
• Фундаментальная группа произвольного солвмногообразии является полициклической .
• Компактное солвмногообразие определяется с точностью до диффеоморфизма своей фундаментальной группой.
• Фундаментальные группы компактных солвмногообразий могут быть охарактеризованы как группы расширения из свободных абелевых групп конечного ранга конечно порожденных кручением нильпотентных групп.
• Каждое солвмногообразие асферично . Среди всех компактных однородных пространств солвмногообразия могут характеризоваться свойствами асферичности и наличия разрешимой фундаментальной группы.

Полнота

Позвольте быть реальной алгебры Ли . Она называется полной алгеброй Ли, если каждое отображение ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle \ operatorname {ad} (X) \ двоеточие {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {g}}, X \ in {\ mathfrak {g}}}$

в присоединенном представлении является гиперболическим, т. е. имеет только действительные собственные значения . Пусть G - разрешимая группа Ли, алгебра Ли которой полна. Тогда для любой замкнутой подгруппы группы G солвмногообразие является полным солвмногообразием . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle G / \ Gamma}$

использованная литература