Субгармоническая функция - Subharmonic function

${\ displaystyle \ varphi}$

${\ Displaystyle {\ overline {В (х, г)}}}$

${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle h}$

${\ Displaystyle {\ overline {В (х, г)}}}$

${\ Displaystyle В (х, г)}$

${\ displaystyle \ varphi (y) \ leq h (y)}$

${\ displaystyle y}$

${\ Displaystyle \ частичный В (х, г)}$

${\ Displaystyle В (х, г)}$

${\ displaystyle \ varphi (y) \ leq h (y)}$

${\ Displaystyle у \ в В (х, г).}$

Обратите внимание, что согласно вышеизложенному, функция, которая тождественно −∞ является субгармонической, но некоторые авторы исключают эту функцию по определению.

Функция называется

${\ displaystyle u}$

${\ displaystyle -u}$

Характеристики

• Функция является гармонической тогда и только тогда, когда она одновременно субгармоническая и супергармоническая.
• Если это

${\ displaystyle \ phi}$

${\ displaystyle G}$

${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

${\ displaystyle \ phi}$

${\ displaystyle \ Delta \ phi \ geq 0}$

${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle \ Delta}$

Предел убывающей последовательности субгармонических функций субгармоничен (или тождественно равен ).${\ displaystyle - \ infty}$

Примеры

Если есть

${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle \ log | f |}$

Теорема Рисса о представлении

Если является субгармоническим в области , в

${\ displaystyle v}$

${\ displaystyle \ mu}$

${\ displaystyle D}$

Субгармонические функции на комплексной плоскости

Субгармонические функции имеют особое значение в комплексном анализе , где они тесно связаны с голоморфными функциями .

Можно показать, что действительная непрерывная функция комплексной переменной (то есть двух вещественных переменных), определенная на множестве, является субгармонической тогда и только тогда, когда для любого замкнутого диска с центром и радиусом выполняется ${\ displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle G \ подмножество \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle D (г, г) \ подмножество G}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle r}$

$${\ displaystyle \ varphi (z) \ leq {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ varphi (z + re ^ {i \ theta}) \, d \ theta.}$$

Интуитивно это означает, что субгармоническая функция в любой точке не превышает среднего значения в круге вокруг этой точки, и этот факт можно использовать для вывода принципа максимума .

Если - голоморфная функция, то ${\ displaystyle f}$

$${\ Displaystyle \ varphi (z) = \ журнал \ влево | е (г) \ вправо |}$$

${\ Displaystyle \ varphi (г)}$

${\ displaystyle f}$

$${\ displaystyle \ psi _ {\ alpha} (z) = \ left | f (z) \ right | ^ {\ alpha}}$$

В контексте комплексной плоскости связь с выпуклыми функциями также может быть реализована тем фактом, что субгармоническая функция в области, которая постоянна в мнимом направлении, является выпуклой в действительном направлении и наоборот. ${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle G \ подмножество \ mathbb {C}}$

Гармонические мажоранты субгармонических функций

Если субгармонична в

${\ displaystyle u}$

${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle h}$

${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle h}$

${\ displaystyle u}$

${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle u \ leq h}$

${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle u}$

Субгармонические функции в единичном диске. Радиальная максимальная функция

Пусть φ субгармонична, непрерывна и неотрицательна в открытом подмножестве Ω комплексной плоскости, содержащем замкнутый единичный круг D (0, 1). Радиальная функция максимальны для функции ф (ограничиваются единичным кругом) определяются на единичной окружности по

$${\ displaystyle (M \ varphi) (e ^ {i \ theta}) = \ sup _ {0 \ leq r <1} \ varphi (re ^ {i \ theta}).}$$

$${\ displaystyle 0 \ leq \ varphi (re ^ {i \ theta}) \ leq {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} P_ {r} \ left ( \ theta -t \ right) \ varphi \ left (e ^ {it} \ right) \, dt, \ \ \ r <1.}$$

$${\ Displaystyle \ varphi ^ {*} (е ^ {я \ theta}) = \ sup _ {0 <\ alpha \ leq \ pi} {\ frac {1} {2 \ alpha}} \ int _ {\ theta - \ alpha} ^ {\ theta + \ alpha} \ varphi \ left (e ^ {it} \ right) \, dt,}$$

$${\ Displaystyle \ | M \ varphi \ | _ {L ^ {2} (\ mathbf {T})} ^ {2} \ leq C ^ {2} \, \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ varphi (e ^ {i \ theta}) ^ {2} \, d \ theta.}$$

Если f - функция, голоморфная в Ω и 0 < p  <∞, то предыдущее неравенство применяется к φ  = | f  | ^{п / 2} . Из этих фактов можно вывести, что любая функция F в классическом пространстве Харди H ^p удовлетворяет

$${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ left (\ sup _ {0 \ leq r <1} \ left | F (re ^ {i \ theta}) \ right | \ right) ^ { p} \, d \ theta \ leq C ^ {2} \, \ sup _ {0 \ leq r <1} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ left | F (re ^ {i \ theta }) \ right | ^ {p} \, d \ theta.}$$

^{Приложив} дополнительные усилия, можно показать, что F имеет радиальные пределы F ( e ^iθ ) почти всюду на единичной окружности и (по теореме о доминирующей сходимости ), что F _r , определяемый формулой F _r ( e ^iθ ) = F ( r  e ^iθ ) стремится к F в L ^p ( T ).

Субгармонические функции на римановых многообразиях

Субгармонические функции можно определить на произвольном римановом многообразии .

Определение: Пусть M риманово многообразие и

полунепрерывно сверху функция. Предположу , что для любого открытого подмножества , и любая гармоническая функция F ₁ на U , такая , что на границе U , выполняется неравенство имеет место на всех U . Тогда f называется субгармонической . ${\ displaystyle f: \; M \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle U \ подмножество M}$ ${\ displaystyle f_ {1} \ geq f}$${\ displaystyle f_ {1} \ geq f}$

Это определение эквивалентно приведенному выше. Также для дважды дифференцируемых функций субгармоничность эквивалентна неравенству , где - обычный

лапласиан . ${\ displaystyle \ Delta f \ geq 0}$${\ displaystyle \ Delta}$

Смотрите также

• Плюрисубгармоническая функция - обобщение на несколько комплексных переменных
• Классическая тонкая топология

Заметки

1. ^ Розенблюм, Марвин; Ровняк, Джеймс (1994), стр.35 (см. Ссылки)
2. ^ Грин, RE; Ву, Х. (1974). «Интегралы от субгармонических функций на многообразиях неотрицательной кривизны». Inventiones Mathematicae . 27 (4): 265–298. DOI : 10.1007 / BF01425500 ., MR 0382723

Рекомендации

• Конвей, Джон Б. (1978). Функции одной комплексной переменной . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90328-3.
• Кранц, Стивен Г. (1992). Теория функций нескольких комплексных переменных . Провиденс, Род-Айленд: AMS Chelsea Publishing. ISBN 0-8218-2724-3.
• Дуб, Джозеф Лео (1984). Классическая теория потенциала и ее вероятностный аналог . Берлин Гейдельберг Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 3-540-41206-9.
• Розенблюм, Марвин; Ровняк, Джеймс (1994). Темы в классах Харди и однолистных функциях . Birkhauser Advanced Texts: Базельские учебники. Базель: Birkhauser Verlag.

Эта статья включает в себя материал из функций субгармоники и супергармоники на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .