Трансферно-матричный метод - Transfer-matrix method

В статистической механике метод трансфер-матрицы - это математический прием, который используется для записи статистической суммы в более простую форму. Он был введен в 1941 году Гансом Крамерсом и Грегори Ванье . Во многих моделях одномерной решетки статистическая сумма сначала записывается как n- кратное суммирование по каждому возможному микросостоянию , а также содержит дополнительное суммирование вклада каждого компонента в энергию системы в каждом микросостоянии.

Обзор

Модели более высокой размерности содержат еще больше суммирований. Для систем с более чем несколькими частицами такие выражения могут быстро стать слишком сложными для непосредственной обработки даже с помощью компьютера.

Вместо этого функцию распределения можно переписать аналогичным образом. Основная идея состоит в том, чтобы записать функцию распределения в виде

{\ displaystyle {\ mathcal {Z}} = \ mathbf {v} _ {0} \ cdot \ left \ {\ prod _ {k = 1} ^ {N} \ mathbf {W} _ {k} \ right \ } \ cdot \ mathbf {v} _ {N + 1}}

где v ₀ и v _{N + 1} являются векторами размерности р и р × р матриц W _к являются так называемые матрицы переноса . В некоторых случаях, особенно для систем с периодическими граничными условиями, статистическая сумма может быть записана проще как

{\ displaystyle {\ mathcal {Z}} = \ operatorname {tr} \ left \ {\ prod _ {k = 1} ^ {N} \ mathbf {W} _ {k} \ right \}}

где «tr» обозначает след матрицы . В любом случае статистическая сумма может быть решена точно с использованием собственного анализа . Если все матрицы являются одной и той же матрицей W , статистическая сумма может быть аппроксимирована как N- ^я степень наибольшего собственного значения W , поскольку след представляет собой сумму собственных значений, а собственные значения произведения двух диагональных матриц равны произведению их индивидуальных собственных значений.

Метод трансфер-матрицы используется, когда вся система может быть разбита на последовательность подсистем, которые взаимодействуют только со смежными подсистемами. Например, трехмерная кубическая решетка спинов в модели Изинга может быть разложена на последовательность двумерных плоских решеток спинов, которые взаимодействуют только смежно. Размерности р из р × р передаточной матрицы равно числу состояний подсистема может иметь; сама матрица передачи W _k кодирует статистический вес, связанный с конкретным состоянием подсистемы k - 1, находящимся рядом с другим состоянием подсистемы k .

В качестве примера наблюдаемых, которые могут быть вычислены с помощью этого метода, вероятность возникновения определенного состояния в позиции x определяется как: ${\ displaystyle m}$

{\ displaystyle \ mathrm {Pr} _ {m} (x) = {\ frac {\ operatorname {tr} \ left [\ prod _ {k = 1} ^ {x} \ mathbf {W} _ {k} \ mathbf {Pj} \ prod _ {k '= x + 1} ^ {N} \ mathbf {W} _ {k'} \ right]} {\ operatorname {tr} \ left [\ prod _ {k = 1} ^ {N} \ mathbf {W} _ {k} \ right]}}}

Где матрица проекции состояния , имеющая элементы ${\ displaystyle Pj}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle Pj _ {\ mu \ nu} = \ delta _ {\ mu \ nu} \ delta _ {\ mu m}}$

Методы трансфер-матрицы было критическим для многих точных решений проблем статистической механики , в том числе Зимм-Брэгга и моделей Lifson-Roig в переходе спираль-клубок , передача матричные модели для связывания белок-ДНК , а также известного точного решения в двумерной модели Изинга по Онзагер .