Трансверсальность (математика) - Transversality (mathematics)

В математике , трансверсальность это понятие , которое описывает , как пространства могут пересекаться; трансверсальность может рассматриваться как «противоположность» касания и играет роль в общем положении . Он формализует идею общего пересечения в дифференциальной топологии . Он определяется путем рассмотрения линеаризации пересекающихся пространств в точках пересечения.

Определение

Поперечные кривые на поверхности сферы

Непоперечные кривые на поверхности сферы

Два подмногообразия данного конечномерного гладкого многообразия называется пересекается трансверсально , если в каждой точке пересечения , их отдельные касательные пространства в этой точке вместе порождают касательное пространство в окружающем многообразия в этой точке. Непересекающиеся коллекторы являются вакуумно- поперечными. Если многообразия имеют дополнительную размерность (т. Е. Их размеры складываются с размерностью окружающего пространства ), условие означает, что касательное пространство к окружающему многообразию является прямой суммой двух меньших касательных пространств. Если пересечение трансверсально, то пересечение будет подмногообразием, коразмерность которого равна сумме коразмерностей двух многообразий. При отсутствии условия трансверсальности пересечение может не быть подмногообразием, имеющим какую-то особую точку .

В частности, это означает, что трансверсальные подмногообразия дополнительной размерности пересекаются в изолированных точках (т. Е. В 0-многообразии ). Если оба подмногообразия и объемлющее многообразие ориентированы , то их пересечение ориентировано. Когда пересечение является нулевым, ориентация является просто плюсом или минусом для каждой точки.

Одно обозначение для поперечного пересечения двух подмногообразий и данного многообразия есть . Эта запись может быть прочитана двумя способами: либо как « и пересекаются трансверсально» или в качестве альтернативного обозначения для теоретико-множественным пересечением из и , когда это пересечение трансверсально. В этих обозначениях определение трансверсальности выглядит следующим образом: ${\ displaystyle L_ {1}}$ ${\ displaystyle L_ {2}}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ Displaystyle L_ {1} \ вилы L_ {2}}$ ${\ displaystyle L_ {1}}$ ${\ displaystyle L_ {2}}$ ${\ displaystyle L_ {1} \ cap L_ {2}}$ ${\ displaystyle L_ {1}}$ ${\ displaystyle L_ {2}}$

{\ Displaystyle L_ {1} \ вилы L_ {2} \ iff \ forall p \ in L_ {1} \ cap L_ {2}, T_ {p} M = T_ {p} L_ {1} + T_ {p} L_ {2}.}

Трансверсальность карт

Понятие трансверсальности пары подмногообразий легко распространяется на трансверсальность подмногообразия и отображения на объемлющее многообразие или на пару отображений в объемлющее многообразие, задавая вопрос о том, продвигаются ли вперед касательные пространства вдоль прообраза точек пересечения образов порождают все касательное пространство объемлющего многообразия. Если отображения являются вложениями , это эквивалентно трансверсальности подмногообразий.

Значение трансверсальности для разных измерений

Трансверсальность зависит от окружающего пространства. Две показанные кривые являются поперечными, если рассматривать их как вложенные в плоскость, но не в том случае, если мы рассматриваем их как вложенные в плоскость в трехмерном пространстве.

Предположим, что у нас есть поперечные отображения и где и - многообразия с размерностями и соответственно. ${\ displaystyle f_ {1}: L_ {1} \ to M}$ ${\ displaystyle f_ {2}: L_ {2} \ to M}$ ${\ displaystyle L_ {1}, L_ {2}}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle \ ell _ {1}, \ ell _ {2}}$ ${\ displaystyle m}$

Значение трансверсальности сильно различается в зависимости от относительных размеров и . Связь между трансверсальностью и касательностью наиболее очевидна, когда . ${\ displaystyle M, L_ {1}}$ ${\ displaystyle L_ {2}}$ ${\ displaystyle \ ell _ {1} + \ ell _ {2} = m}$

Мы можем рассмотреть три отдельных случая:

Когда это невозможно для изображения и «s касательных пространств , чтобы охватить » ы касательного пространства в любой точке. Таким образом, любое пересечение между и не может быть поперечным. Однако непересекающиеся многообразия вакуумно удовлетворяют условию, поэтому можно сказать, что они пересекаются поперечно. ${\ Displaystyle \ ell _ {1} + \ ell _ {2} <м}$ ${\ displaystyle L_ {1}}$ ${\ displaystyle L_ {2}}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle f_ {1}}$ ${\ displaystyle f_ {2}}$
Когда , образ и «ы касательные пространства должны подвести непосредственно к » S касательного пространства в любой точке пересечения. Таким образом, их пересечение состоит из изолированных точек со знаком, т. Е. Нульмерного многообразия. ${\ displaystyle \ ell _ {1} + \ ell _ {2} = m}$ ${\ displaystyle L_ {1}}$ ${\ displaystyle L_ {2}}$ ${\ displaystyle M}$
Когда эта сумма не обязательно должна быть прямой. Фактически он не может быть прямым, если и являются погружениями в точке их пересечения, как это происходит в случае вложенных подмногообразий. Если карты представляют собой погружения, пересечение их изображений будет многообразием размерности ${\ displaystyle \ ell _ {1} + \ ell _ {2}> м}$ ${\ displaystyle f_ {1}}$ ${\ displaystyle f_ {2}}$ ${\ displaystyle \ ell _ {1} + \ ell _ {2} -m.}$

Продукт пересечения

Для любых двух гладких подмногообразий можно возмущать любое из них на сколь угодно малую величину, так что получившееся подмногообразие трансверсально пересекается с фиксированным подмногообразием. Такие возмущения не влияют на класс гомологии многообразий или их пересечений. Например, если многообразия дополнительной размерности пересекаются трансверсально, сумма со знаком числа их точек пересечения не изменяется, даже если мы изотопно изотопим многообразия в другое поперечное пересечение. (Точки пересечения могут быть подсчитаны по модулю 2, игнорируя знаки, чтобы получить более грубый инвариант.) Это спускается к билинейному произведению пересечений на гомологических классах любой размерности, которое двойственно по Пуанкаре к чашечному произведению на когомологиях . Как и чашечное произведение, произведение пересечений является градуированно-коммутативным .

Примеры поперечных пересечений

Простейший нетривиальный пример трансверсальности - это дуги на поверхности . Точка пересечения двух дуг является поперечной тогда и только тогда, когда это не касание, т. Е. Их касательные линии внутри касательной плоскости к поверхности различны.

В трехмерном пространстве поперечные кривые не пересекаются. Кривые, поперечные к поверхностям, пересекаются в точках, а поперечные друг другу поверхности пересекаются по кривым. Кривые, которые касаются поверхности в точке (например, кривые, лежащие на поверхности), не пересекают поверхность трансверсально.

Вот более специализированный пример: предположим, что это простая группа Ли и ее алгебра Ли. По теореме Джекобсона – Морозова каждый нильпотентный элемент может быть включен в -тройку . Об этом говорит теория представлений . Пространство является касательным пространством в присоединенной орбите, и поэтому аффинное пространство пересекает орбиту трансверсально. Пространство получило название «Слоевой срез» в честь Питера Слодового . ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ Displaystyle е \ ин {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {sl_ {2}}}}$ ${\ Displaystyle (е, ч, е)}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {sl_ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = [{\ mathfrak {g}}, e] \ oplus {\ mathfrak {g}} _ {f}}$ ${\ displaystyle [{\ mathfrak {g}}, e]}$ ${\ displaystyle e}$ ${\ displaystyle {\ rm {{Ad} (G) e}}}$ ${\ Displaystyle е + {\ mathfrak {g}} _ {f}}$ ${\ displaystyle e}$ ${\ Displaystyle е + {\ mathfrak {g}} _ {f}}$

Приложения

Оптимальный контроль

В областях, использующих вариационное исчисление или связанный с ним принцип максимума Понтрягина , условие трансверсальности часто используется для управления типами решений, найденных в задачах оптимизации. Например, это необходимое условие для кривых решения задач вида:

Сведите к минимуму, когда одна или обе конечные точки кривой не зафиксированы.

{\ Displaystyle \ int {F (х, y, y ^ {\ prime})} dx}

Во многих из этих задач решение удовлетворяет условию, что кривая решения должна поперечно пересекать нулевую линию или некоторую другую кривую, описывающую конечные условия.

Гладкость пространств решений

Используя теорему Сарда , гипотеза которой является частным случаем трансверсальности отображений, можно показать, что поперечные пересечения между подмногообразиями пространства дополнительных размерностей или между подмногообразиями и отображениями в пространство сами по себе являются гладкими подмногообразиями. Например, если гладкое сечение касательного расслоения ориентированного многообразия - т. Е. Векторное поле - рассматривается как отображение от основания к общему пространству и пересекает нулевое сечение (рассматриваемое либо как карта, либо как подмногообразие) поперечно , то нулевое множество сечения, т. е. особенности векторного поля, образует гладкое 0-мерное подмногообразие базы, т. е. набор точек со знаком. Знаки совпадают с индексами векторного поля, и, таким образом, сумма знаков - т. Е. Фундаментальный класс нулевого множества - равна эйлеровой характеристике многообразия. В более общем смысле, для векторного расслоения над ориентированным гладким замкнутым конечномерным многообразием нулевое множество сечения, трансверсального нулевому сечению, будет подмногообразием базы коразмерности, равной рангу векторного расслоения, и его классом гомологии будет двойственным по Пуанкаре классу Эйлера расслоения.

Чрезвычайно частным случаем этого является следующий: если дифференцируемая функция от вещественного числа к действительному значению имеет ненулевую производную в нуле функции, то ноль является простым, т. Е. График поперечен оси x в этом нуле; нулевая производная означала бы горизонтальную касательную к кривой, которая согласовывалась бы с касательным пространством к оси x .

Для бесконечномерного примера оператор d-бара является сечением некоторого банахова пространственного расслоения над пространством отображений римановой поверхности в почти комплексное многообразие . Нулевое множество этого раздела состоит из голоморфных отображений. Если можно показать, что оператор d-стержня трансверсален нулевому сечению, это пространство модулей будет гладким многообразием. Эти соображения играют фундаментальную роль в теории псевдоголоморфных кривых и теории Громова – Виттена . (Обратите внимание, что для этого примера определение трансверсальности должно быть уточнено, чтобы иметь дело с банаховыми пространствами !)

Грамматика

Существительное; прилагательное - «поперечный».

цитата из Дж. Х. К. Уайтхеда, 1959 г.

Смотрите также

Теорема трансверсальности

Примечания

использованная литература

Том, Рене (1954). «Quelques propriétés globales des varétés, дифференцируемые». Comm. Математика. Helv. 28 (1): 17–86. DOI : 10.1007 / BF02566923 . S2CID 120243638 .
Гийемен, Виктор; Поллак, Алан (1974). Дифференциальная топология . Прентис-Холл. ISBN 0-13-212605-2.
Хирш, Моррис (1976). Дифференциальная топология . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90148-5.

Languages

In other projects