Вежливый номер - Polite number

Диаграмма Юнга , представляющий визуально разложение вежливую 15 = 4 + 5 + 6

В теории чисел , А число вежливы является положительным целым числом , которое может быть записано в виде суммы двух или более последовательных положительных целых чисел. Невежливое положительное целое число называется невежливым . Невежливые числа - это в точности степени двойки , а вежливые числа - это натуральные числа , не являющиеся степенями двойки.

Вежливые числа также называются номерами лестниц, потому что диаграммы Юнга, которые графически представляют разбиение вежливого числа на последовательные целые числа (во французской нотации рисования этих диаграмм), напоминают лестницы . Если все числа в сумме строго больше единицы, полученные таким образом числа также называются трапециевидными числами, потому что они представляют собой образцы точек, расположенных в форме трапеции .

Проблема представления чисел как суммы последовательных целых чисел и подсчета количества представлений этого типа изучалась Сильвестром , Мэйсоном, Левеком и многими другими более поздними авторами. Вежливые числа описывают возможное количество сторон многоугольника Рейнхардта .

Примеры и характеристика

Первые несколько вежливых номеров

3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, ... (последовательность A138591 в OEIS ).

Невежливые числа - это в точности степени двойки . Из теоремы Ламбека – Мозера следует, что n- е вежливое число - это f ( n  + 1), где

${\ displaystyle f (n) = n + \ left \ lfloor \ log _ {2} \ left (n + \ log _ {2} n \ right) \ right \ rfloor.}$

Вежливость

Вежливость положительного числа определяются как число способов он может быть выражен в виде суммы последовательных целых чисел. Для каждого х , вежливость х равно число нечетных делителей из й которые больше единицы. Вежливость цифр 1, 2, 3, ...

0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 0, 1, 2, 1, 1, 3, ... (последовательность A069283 в OEIS ).

Например, вежливость числа 9 равна 2, потому что оно имеет два нечетных делителя, 3 и само себя, и два вежливых представления.

9 = 2 + 3 + 4 = 4 + 5;

вежливость 15 равна 3, потому что у него три нечетных делителя: 3, 5 и 15, и (как известно игрокам в криббедж ) три вежливых представления

15 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 7 + 8.

Простой способ вычислить вежливость положительного числа, разложив число на его простые множители , взяв степени всех простых множителей больше 2, прибавив 1 ко всем из них, умножив полученные таким образом числа друг на друга и вычтя 1. Например, 90 имеет вежливость 5, потому что ; степени 3 и 5 равны 2 и 1 соответственно, и применяя этот метод . ${\ displaystyle 90 = 2 \ times 3 ^ {2} \ times 5 ^ {1}}$${\ Displaystyle (2 + 1) \ раз (1 + 1) -1 = 5}$

Построение вежливых представлений из нечетных делителей

Чтобы увидеть связь между нечетными делителями и вежливыми представлениями, предположим, что число x имеет нечетный делитель y  > 1. Тогда y последовательных целых чисел с центром на x / y (так что их среднее значение равно x / y ) имеют x в качестве суммы:

${\ displaystyle x = \ sum _ {i = {\ frac {x} {y}} - {\ frac {y-1} {2}}} ^ {{\ frac {x} {y}} + {\ гидроразрыв {y-1} {2}}} i.}$

Некоторые члены этой суммы могут быть нулевыми или отрицательными. Однако, если термин равен нулю, его можно опустить, и любые отрицательные термины могут использоваться для отмены положительных, что приведет к вежливому представлению для x . (Требование, чтобы y  > 1 соответствовало требованию, чтобы вежливое представление имело более одного члена; применение той же конструкции для y  = 1 просто привело бы к тривиальному одночленному представлению x  =  x .) Например, вежливое число x  = 14 имеет единственный нетривиальный нечетный делитель, 7. Следовательно, это сумма 7 последовательных чисел с центром 14/7 = 2:

14 = (2-3) + (2-3) + (2-1) + 2 + (2 + 1) + (2 + 2) + (2 + 3).

Первый член, -1, отменяет более поздний +1, а второй член, ноль, может быть опущен, что приводит к вежливому представлению

14 = 2 + (2 + 1) + (2 + 2) + (2 + 3) = 2 + 3 + 4 + 5.

И наоборот, любое вежливое представление x может быть сформировано из этой конструкции. Если представление имеет нечетное количество терминов, x / y является средним термином, а если оно имеет четное количество терминов и его минимальное значение равно m, оно может быть расширено уникальным способом до более длинной последовательности с той же суммой и нечетное количество членов, включая 2 m  - 1 чисел - ( m  - 1), - ( m  - 2), ..., −1, 0, 1, ..., m  - 2, m  - 1 После этого расширения, опять же, x / y - средний член. С помощью этой конструкции вежливые представления числа и его нечетных делителей больше единицы могут быть помещены во взаимно однозначное соответствие , давая биективное доказательство характеристики вежливых чисел и вежливости. В более общем смысле, та же идея дает соответствие два к одному между, с одной стороны, представлениями в виде суммы последовательных целых чисел (допускающих ноль, отрицательные числа и одночленные представления) и, с другой стороны, нечетными делителями (включая 1).

Другое обобщение этого результата утверждает, что для любого n количество разбиений n на нечетные числа, имеющие k различных значений, равно количеству разбиений n на различные числа, имеющие k максимальных серий последовательных чисел. Здесь прогон - это одно или несколько последовательных значений, так что следующее большее и следующее меньшее последовательные значения не являются частью раздела; например, раздел 10 = 1 + 4 + 5 имеет два прогона, 1 и 4 + 5. Вежливое представление имеет один прогон, а раздел с одним значением d эквивалентен факторизации n как произведение d ⋅ ( n / d ), поэтому частный случай k  = 1 этого результата снова устанавливает эквивалентность между вежливыми представлениями и нечетными множителями (включая в данном случае тривиальное представление n  =  n и тривиальный нечетный множитель 1).

Трапециевидные числа

Если вежливое представление начинается с 1, представленное таким образом число является треугольным числом.

${\ displaystyle T_ {n} = {\ frac {n (n + 1)} {2}} = 1 + 2 + \ cdots + n.}$

В противном случае это разница двух непоследовательных треугольных чисел.

${\ displaystyle i + (i + 1) + (i + 2) + \ cdots + j = T_ {j} -T_ {i-1} \ quad (j> i \ geq 2).}$

Этот второй случай называется трапециевидным числом. Можно также рассмотреть вежливые числа, которые не имеют трапециевидной формы. Единственными такими числами являются треугольные числа с одним нетривиальным нечетным делителем, потому что для этих чисел, согласно описанной ранее биекции , нечетный делитель соответствует треугольному представлению, и не может быть других вежливых представлений. Таким образом, нетрапециевидное вежливое число должно иметь форму степени двойки, умноженной на нечетное простое число. Как отмечают Джонс и Лорд, существует ровно два типа треугольных чисел этой формы:

1. четные совершенные числа 2 ^{n  - 1} (2 ⁿ  - 1), образованные произведением простого числа Мерсенна 2 ⁿ  - 1 на половину ближайшей степени двойки , и
2. произведения 2 ^{n  - 1} (2 ⁿ  + 1) простого числа Ферма 2 ⁿ  + 1 с половиной ближайшей степени двойки.

(последовательность A068195 в OEIS ). Например, идеальное число 28 = 2 ^{3 - 1} (2 ³  - 1) и число 136 = 2 ^{4 - 1} (2 ⁴  + 1) являются вежливыми числами этого типа. Предполагается, что существует бесконечно много простых чисел Мерсенна, и в этом случае существует также бесконечно много вежливых чисел этого типа.

Рекомендации

Внешние ссылки

• Вежливые номера , NRICH, Кембриджский университет, декабрь 2002 г.
• Введение в Runsums , R. Knott.
• Есть ли какой-нибудь узор в наборе трапециевидных чисел? Вопрос дня на Intellectualism.org, 2 октября 2003 г. С диаграммой, показывающей трапециевидные числа, отмеченные цветом в зависимости от количества членов в их расширениях.