Моделирование турбулентности - Turbulence modeling

Суперкомпьютеры Boeing

Моделирование турбулентности - это построение и использование математической модели для прогнозирования эффектов турбулентности . Турбулентные потоки являются обычным явлением в большинстве сценариев реальной жизни, включая поток крови через сердечно-сосудистую систему, воздушный поток над крылом самолета, возвращение космических аппаратов в атмосферу и другие. Несмотря на десятилетия исследований, не существует аналитической теории для предсказания эволюции этих турбулентных потоков. Уравнения, описывающие турбулентные потоки, могут быть решены непосредственно только для простых случаев потока. Для большинства реальных турбулентных потоков CFD-модели используют турбулентные модели для прогнозирования развития турбулентности. Эти модели турбулентности представляют собой упрощенные материальные уравнения, которые предсказывают статистическую эволюцию турбулентных потоков.

Проблема закрытия

Уравнения Навье – Стокса определяют скорость и давление потока жидкости. В турбулентном потоке каждая из этих величин может быть разделена на среднюю часть и колеблющуюся часть. Усреднение уравнений дает усредненные по Рейнольдсу уравнения Навье – Стокса (RANS) , которые определяют средний расход. Однако нелинейность уравнений Навье – Стокса означает, что флуктуации скорости все еще появляются в уравнениях RANS в нелинейном члене от конвективного ускорения. Этот термин известен как стресс Рейнольдса , . Его влияние на средний расход подобно влиянию напряжения, например давления или вязкости. ${\ displaystyle - \ rho {\ overline {v_ {i} ^ {\ prime} v_ {j} ^ {\ prime}}}}$ ${\ displaystyle R_ {ij}}$

Чтобы получить уравнения, содержащие только среднюю скорость и давление, нам нужно закрыть уравнения RANS, моделируя член напряжения Рейнольдса как функцию среднего расхода, удалив любую ссылку на колеблющуюся часть скорости. Это проблема закрытия . ${\ displaystyle R_ {ij}}$

Вихревая вязкость

Джозеф Валентин Буссинеск был первым, кто обратился к проблеме закрытия, представив концепцию вихревой вязкости . В 1877 году Буссинеск предложил связать турбулентные напряжения со средним потоком, чтобы замкнуть систему уравнений. Здесь гипотеза Буссинеска применяется для моделирования члена напряжения Рейнольдса. Обратите внимание, что была введена новая константа пропорциональности - турбулентная вихревая вязкость. Модели этого типа известны как модели вихревой вязкости или EVM. ${\ displaystyle \ nu _ {t}> 0}$

{\ displaystyle - {\ overline {v_ {i} ^ {\ prime} v_ {j} ^ {\ prime}}} = \ nu _ {t} \ left ({\ frac {\ partial {\ overline {v_ { i}}}} {\ partial x_ {j}}} + {\ frac {\ partial {\ overline {v_ {j}}}} {\ partial x_ {i}}} \ right) - {\ frac {2 } {3}} k \ delta _ {ij}}

Сокращенно это можно записать как

{\ displaystyle - {\ overline {v_ {i} ^ {\ prime} v_ {j} ^ {\ prime}}} = 2 \ nu _ {t} S_ {ij} - {\ frac {2} {3} } k \ delta _ {ij}}

где - тензор средней скорости деформации

{\ displaystyle S_ {ij}}

{\ displaystyle \ nu _ {t}}

турбулентная вихревая вязкость

{\ displaystyle k = {\ frac {1} {2}} {\ overline {v_ {i} 'v_ {i}'}}}

это энергия турбулентности кинетическая

и является дельтой Кронекера .

{\ displaystyle \ delta _ {ij}}

В этой модели дополнительные турбулентные напряжения задаются путем увеличения молекулярной вязкости до вихревой вязкости. Это может быть простая постоянная вихревая вязкость (которая хорошо работает для некоторых потоков со свободным сдвигом, таких как осесимметричные струи, двумерные струи и слои смешения).

Концепция длины смешивания Прандтля

Позже Людвиг Прандтль ввел дополнительное понятие длины перемешивания наряду с идеей пограничного слоя . Для турбулентных потоков, ограниченных стенкой, вихревая вязкость должна изменяться с расстоянием от стенки, отсюда и добавление концепции «длины перемешивания». В простейшей модели потока, ограниченного стенкой, вихревая вязкость определяется уравнением:

{\ displaystyle \ nu _ {t} = \ left | {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} \ right | l_ {m} ^ {2}}

куда:

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial y}}}

- частная производная продольной скорости (u) по направлению нормали к стенке (y);

{\ displaystyle l_ {m}}

- длина смешивания.

Эта простая модель является основой для « закона стенки », который является удивительно точной моделью для ограниченных стенкой, прикрепленных (неотрывных) полей течения с небольшими градиентами давления .

Со временем развивались более общие модели турбулентности , при этом большинство современных моделей турбулентности задаются уравнениями поля, аналогичными уравнениям Навье – Стокса .

Модель Смагоринского для вихревой вязкости подсеточного масштаба

Джозеф Смагоринский был первым, кто предложил формулу для вихревой вязкости в моделях Large Eddy Simulation, основанную на локальных производных поля скорости и локальном размере сетки:

{\ displaystyle \ nu _ {t} = \ Delta x \ Delta y {\ sqrt {\ left ({\ frac {\ partial u} {\ partial x}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ partial v} {\ partial y}} \ right) ^ {2} + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial u} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial v} {\ partial x}} \ right) ^ {2}}}}

В контексте моделирования больших вихрей, моделирование турбулентности относится к необходимости параметризации подсеточного масштабного напряжения с точки зрения характеристик отфильтрованного поля скорости. Это поле называется подсеточным моделированием .

Спаларта – Аллмараса, модели k –ε и k –ω

Гипотеза Буссинеска используется в Спаларта-Allmaras (S-A), к -ε ( к -epsilon), а K -ω ( K Омега) моделей и предлагает вычислительные затраты относительно низкой для вязкости турбулентности . Модель S – A использует только одно дополнительное уравнение для моделирования переноса турбулентной вязкости, в то время как модели k –ε и k –ω используют два. ${\ displaystyle \ nu _ {t}}$

Общие модели

Ниже приводится краткий обзор моделей, обычно используемых в современных инженерных приложениях.

Спалар-Аллмарас (S – A)

Модель Спаларта – Аллмараса - это модель с одним уравнением, которая решает смоделированное уравнение переноса для кинематической вихревой турбулентной вязкости. Модель Спаларта – Аллмараса была разработана специально для аэрокосмических приложений, включающих потоки, ограниченные стенкой, и, как было показано, дает хорошие результаты для пограничных слоев, подверженных неблагоприятным градиентам давления. Он также набирает популярность в турбомашинах.

k –ε ( k –псилон)

Модель турбулентности K-epsilon (k-ε) является наиболее распространенной моделью, используемой в вычислительной гидродинамике (CFD) для моделирования характеристик среднего потока для условий турбулентного потока. Это модель с двумя уравнениями, которая дает общее описание турбулентности с помощью двух уравнений переноса (PDE). Первоначальным стимулом для K-эпсилон-модели было улучшение модели длины смешения, а также поиск альтернативы алгебраическому предписанию масштабов турбулентной длины в потоках средней и высокой сложности.

k –ω ( k –omega)

В вычислительной гидродинамике модель турбулентности k – omega (k – ω) представляет собой обычную модель турбулентности с двумя уравнениями, которая используется в качестве замыкания для усредненных по Рейнольдсу уравнений Навье – Стокса (уравнений RANS). Модель пытается предсказать турбулентность с помощью двух дифференциальных уравнений в частных производных для двух переменных, k и ω, при этом первой переменной является кинетическая энергия турбулентности (k), а второй (ω) - удельная скорость диссипации (кинетической энергии турбулентности k во внутреннюю тепловую энергию).

SST (перенос напряжения сдвига по Ментеру)

Модель турбулентности SST (перенос сдвигового напряжения Ментера) - это широко используемая и надежная модель турбулентности с двумя уравнениями вихревой вязкости, используемая в вычислительной гидродинамике. Модель объединяет модель турбулентности k-omega и модель турбулентности K-epsilon, так что k-omega используется во внутренней области пограничного слоя и переключается на k-epsilon в потоке свободного сдвига.

Модель уравнения напряжения Рейнольдса

Модель уравнения напряжения Рейнольдса (RSM), также называемая моделью замыкания второго момента, является наиболее полным классическим подходом к моделированию турбулентности. Популярные модели на основе вихревых вязкости , таких как K -Е ( к -epsilon) модели и K -со ( к Омега) модели имеют существенные недостатки в сложных инженерно потоков. Это происходит из-за использования в их формулировке гипотезы вихревой вязкости. Например, в потоках с высокой степенью анизотропии, значительной кривизной линии тока, отрывом потока, в зонах рециркуляции потока или в потоках, на которые влияют вращательные эффекты, работа таких моделей неудовлетворительна. В таких потоках модели уравнения напряжения Рейнольдса обеспечивают гораздо лучшую точность.

Замыкания на основе вихревой вязкости не могут объяснить возврат к изотропии турбулентности, наблюдаемой в затухающих турбулентных потоках. Модели на основе вихревой вязкости не могут воспроизвести поведение турбулентных потоков в пределе быстрого искажения, когда турбулентный поток по существу ведет себя как упругая среда.

использованная литература

Примечания

Другой

Абси, Р. (2019) «Профили вихревой вязкости и скорости в полностью развитых потоках турбулентного канала» Fluid Dyn (2019) 54: 137. https://doi.org/10.1134/S0015462819010014
Абси, Р. (2021) «Повторное исследование профиля параболической вихревой вязкости для течений со свободной поверхностью» Hydrology 2021, 8 (3), 126. https://doi.org/10.3390/hydrology8030126
Таунсенд, AA (1980) "Структура турбулентного сдвигового потока", 2-е издание (Кембриджские монографии по механике), ISBN 0521298199
Брэдшоу, П. (1971) "Введение в турбулентность и ее измерение" (Pergamon Press), ISBN 0080166210
Wilcox CD, (1998), "Моделирование турбулентности для CFD", 2-е изд. (DCW Industries, La Cañada), ISBN 0963605100

Languages

In other projects