Уравнение Уэвелла - Whewell equation

Важные величины в уравнении Уивелла

Уравнение Уэвелл из плоской кривой представляет собой уравнение , связывающее тангенциальный угол ( ф ) с длиной дуги ( х ), где касательная угол представляет собой угол между касательной к кривой и х Оу, а длина дуги расстояние по кривой от фиксированной точки. Эти величины не зависят от системы координат , используемой для выбора направления , кроме й Оу, так что это внутреннее уравнение кривого, или, что менее точно, внутреннее уравнение. Если кривая получается из другой путем сдвига, то их уравнения Уэвелла будут такими же.

Когда отношение является функцией, так что тангенциальный угол задается как функция длины дуги, некоторыми свойствами становится легко манипулировать. В частности, производная тангенциального угла по длине дуги равна кривизне . Таким образом, взяв производную уравнения Уивелла, получаем уравнение Чезаро для той же кривой.

Концепция названа в честь Уильяма Уэвелла , который представил ее в 1849 году в статье в Cambridge Philosophical Transactions . В его концепции используемый угол - это отклонение от направления кривой в некоторой фиксированной начальной точке, и это соглашение иногда используется и другими авторами. Это эквивалентно определению, данному здесь, путем добавления константы к углу или поворота кривой.

Характеристики

Если кривая задана параметрически через длину дуги s , то φ определяется как

${\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {r}}} {ds}} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {dx} {ds}} \\ {\ frac {dy} {ds}} \ конец {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ varphi \\\ sin \ varphi \ end {pmatrix}} \ quad {\ text {Since}} \ quad \ left | {\ frac {d {\ vec {r}}} {ds}} \ right | = 1,}$

что подразумевает

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = \ tan \ varphi.}$

Параметрические уравнения для кривой могут быть получены интегрированием:

${\ displaystyle {\ begin {align} x & = \ int \ cos \ varphi \, ds \\ y & = \ int \ sin \ varphi \, ds \ end {align}}}$

Поскольку кривизна определяется формулой

${\ displaystyle \ kappa = {\ frac {d \ varphi} {ds}},}$

уравнение Чезаро легко получается дифференцированием уравнения Уэвелл.

Примеры

Изгиб	Уравнение
Линия	${\ displaystyle \ varphi = c}$
Круг	${\ displaystyle s = a \ varphi}$
Контактная сеть	${\ displaystyle s = a \ tan \ varphi}$

использованная литература

• Уэуэлл, У. О внутреннем уравнении кривой и его применении. Кембриджские философские труды, Vol. VIII, pp. 659-671, 1849. Google Книги.
• Тодхантер, Исаак. Уильям Уэвелл, Д. Д., Отчет о его сочинениях с отрывками из его литературной и научной переписки. Vol. I. Macmillan and Co., 1876, Лондон. Раздел 56: с. 317.
• Дж. Деннис Лоуренс (1972). Каталог специальных плоских кривых . Dover Publications. С.  1–5 . ISBN 0-486-60288-5.
• Йетс, Р.К.: Справочник по кривым и их свойствам , Дж. У. Эдвардс (1952), «Внутренние уравнения», стр. 124-5.

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Уравнение Уэвелла" . MathWorld .