Z-группа - Z-group

В математике , особенно в области алгебры, известной как теория групп , термин Z-группа относится к ряду различных типов групп :

Группы, силовские подгруппы которых циклические

Использование: ( Suzuki, 1955 ), ( Bender & Glauberman, 1994 , стр. 2), MR 0409648 , ( Wonenburger, 1976 ), ( elik , 1976 ).

При изучении конечных групп , A Z-группа является конечной группой , чей Силов подгруппы все циклические . Z происходит как от немецкого Zyklische, так и из их классификации ( Zassenhaus 1935 ). Во многих стандартных учебниках эти группы не имеют специального названия, кроме метациклических групп , но сегодня этот термин часто используется более широко. См. Метациклическую группу для получения дополнительной информации об общем современном определении, которое включает нециклические p -группы ; см. ( Hall, Jr. 1959 , Th. 9.4.3) для более строгого, классического определения, более тесно связанного с Z-группами.

Каждая группа, силовские подгруппы которой циклические, сама является метациклической , поэтому сверхразрешима . Фактически, такая группа имеет циклическую производную подгруппу с циклическим максимальным абелевым фактором. У такой группы есть презентация ( Холл, мл. 1959 , Th. 9.4.3):

, где mn - порядок G ( m , n , r ), наибольший общий делитель , НОД (( r -1) n , m ) = 1 и r n ≡ 1 (mod m ).

Теория характеров Z-групп хорошо изучена ( Челик, 1976 ), поскольку они являются мономиальными группами .

Производная длина Z-группы не превосходит 2, поэтому Z-групп может быть недостаточно для некоторых применений. Обобщением, принадлежащим Холлу, являются A-группы , группы с абелевыми силовскими подгруппами. Эти группы ведут себя аналогично Z-группам, но могут иметь произвольно большую производную длину ( Hall 1940 ). Другое обобщение, сделанное ( Suzuki, 1955 ), дает силовской 2-подгруппе большую гибкость, включая диэдральные и обобщенные группы кватернионов .

Группа с обобщенным центральным рядом

Использование: ( Робинсон, 1996 ), ( Курош, 1960 ).

Определение центрального ряда, используемое для Z-группы, носит несколько технический характер. Серии из G представляет собой набор S подгрупп группы G , линейно упорядоченных по включению, таким образом, что для каждого г в G , подгруппы г = ∩ { N в S  : г в N } и Б г = ∪ { N в S  : г не в N } оба в S . (Обобщенный) центральный ряд группы G - это такой ряд, что каждый N из S нормален в G и такой, что для любого g из G фактор A g / B g содержится в центре G / B g . Z -группа представляет собой группа с таким (обобщенным) центральным рядом. Примеры включают гиперцентральные группы , трансфинитные верхние центральные ряды которых образуют такую ​​центральную серию, а также гипоцентральные группы , трансфинитные нижние центральные группы которых образуют такую ​​центральную серию ( Robinson 1996 ).

Специальные 2-транзитивные группы

Основная статья: группа Цассенхаус
Использование: ( Suzuki 1961 )

(Z) -группа представляет собой группа точно представлена как дважды транзитивная группу перестановок , в которых нет неединичного элемента фиксирует более чем в двух точках. (ZT) -группа представл ет собой (Z) -группа , что имеет нечетную степень , а не группа Фробениуса , то есть Цассенхауза группа нечетной степени, также известная как одна из групп PSL (2,2 K + 1 ) или Sz (2 2 k +1 ) для любого положительного целого числа k ( Suzuki, 1961 ).

Рекомендации