Бикватернион - Biquaternion

В абстрактной алгебре , то бикватернионы являются числами $ш + х я + у J + г к$ , где $ш, х, у$ и $г$ являются комплексными числами , или их варианты, а также элементов ${1, я, J, K}$ умножаются, как в группе кватернионов, и коммутируют со своими коэффициентами. Существует три типа бикватернионов, соответствующих комплексным числам и их вариациям:

Бикватернионы, когда коэффициенты - комплексные числа .
Сплит-бикватернионы, когда коэффициенты являются расщепленными комплексными числами .
Двойные кватернионы, когда коэффициенты - двойные числа .

Эта статья об обычных бикватернионах, названных Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1844 году (см. Труды Королевской ирландской академии 1844 и 1850 гг., Стр. 388). Некоторые из наиболее известных сторонников этих бикватернионов включают Александра Макфарлейна , Артура В. Конвея , Людвика Зильберштейна и Корнелиуса Ланцоса . Как будет показано ниже, единичная квазисфера бикватернионов представляет собой группу Лоренца , которая является основой специальной теории относительности .

Алгебру бикватернионов можно рассматривать как тензорное произведение (взятое по действительным числам), где $C$ или - поле комплексных чисел, а $H$ или - алгебра с делением (действительных) кватернионов . Другими словами, бикватернионы - это просто комплексификация кватернионов. Рассматриваемые как комплексная алгебра, бикватернионы изоморфны алгебре комплексных матриц $2 \times 2$ $M$ $2$ $($ $C$ $)$ . Они также изоморфны нескольким алгебрам Клиффорда, включая $H$ $($ $C$ $) = Cℓ$ $0$ $3$ $($ $C$ $) = Cℓ$ $2$ $($ $C$ $) = Cℓ$ $1,2$ $($ $R$ $)$ , алгебру Паули $Cℓ$ $3,0$ $($ $R$ $)$ и четную часть $Cℓ$ $0$ $1,3$ $($ $R$ $) = Cℓ$ $0$ $3,1$ $($ $R$ $)$ в пространственно - временной алгебре . ${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ otimes \ mathbb {H}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$

Определение

Пусть ${1, i, j, k}$ будет базисом для (действительных) кватернионов $H$ , и пусть $u, v, w, x$ будут комплексными числами, тогда

{\ Displaystyle д = и \ mathbf {1} + v \ mathbf {я} + ш \ mathbf {j} + х \ mathbf {k}}

это бикватернион . Чтобы различать квадратные корни из минус единицы в бикватернионах, Гамильтон и Артур В. Конвей использовали соглашение о представлении квадратного корня из минус единицы в скалярном поле C через h, чтобы избежать путаницы с $i$ в группе кватернионов . Предполагается коммутативность скалярного поля с группой кватернионов:

{\ displaystyle h \ mathbf {i} = \ mathbf {i} h, \ \ h \ mathbf {j} = \ mathbf {j} h, \ \ h \ mathbf {k} = \ mathbf {k} h.}

Гамильтон ввел термины бивектора , бисопряженный, bitensor и biversor расширить понятия , используемые с реальными кватернионами $H$ .

Основное изложение бикватернионов Гамильтоном было сделано в 1853 году в его « Лекциях по кватернионам» . Издания Elements of Quaternions в 1866 году Уильямом Эдвином Гамильтоном (сыном Роуэна) и в 1899, 1901 годах Чарльзом Джаспером Джоли сократили покрытие бикватернионов в пользу реальных кватернионов.

Рассмотренная с операциями покомпонентного Кроме того, и умножение в соответствии с группой кватернионов, эта коллекция образует 4-мерную алгебру над комплексными числами C . Алгебра бикватернионов ассоциативна , но не коммутативна . Бикватернион - это либо единица, либо делитель нуля . Алгебра бикватернионов образует композиционную алгебру и может быть построена из бикомплексных чисел . См. § Как композиционную алгебру ниже.

Место в теории колец

Линейное представление

Обратите внимание на матричное произведение

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} h & 0 \\ 0 & -h \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & h \\ h & 0 \ конец {pmatrix}}}

.

Поскольку h - мнимая единица , каждый из этих трех массивов имеет квадрат, равный отрицательному значению единичной матрицы . Когда это матричное произведение интерпретируется как ij = k, то получается подгруппа матриц, изоморфная группе кватернионов . Вследствие этого,

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} u + hv & w + hx \\ - w + hx & u-hv \ end {pmatrix}}}

представляет собой бикватернион q = u 1 + v i + w j + x k. Для любой комплексной матрицы 2 × 2 существуют комплексные значения u , v , w и x, чтобы преобразовать ее в такую форму, чтобы кольцо матриц M (2, C) было изоморфно кольцу бикватернионов .

Подалгебры

Рассматривая алгебру бикватернионов над скалярным полем действительных чисел $R$ , множество

{\ displaystyle \ {\ mathbf {1}, h, \ mathbf {i}, h \ mathbf {i}, \ mathbf {j}, h \ mathbf {j}, \ mathbf {k}, h \ mathbf {k } \}}

образует основу, поэтому алгебра имеет восемь реальных измерений . Квадраты элементов $h i, h j$ и $h k$ все положительные, например $(h i) 2 = h 2 i 2 = (- 1) (- 1) = + 1$ .

Подалгебра задается

{\ Displaystyle \ {х + Y (ч \ mathbf {я}): х, у \ в \ mathbb {R} \}}

это кольцо изоморфно к плоскости расщепленных комплексным чисел , который имеет алгебраическую структуру , построенную на единице гиперболы . Элементы $h j$ и $h k$ также определяют такие подалгебры.

Более того,

{\ displaystyle \ {х + y \ mathbf {j}: x, y \ in \ mathbb {C} \}}

является подалгеброй, изоморфной тессаринам .

Третья подалгебра, называемая кокватернионами , порождается $h j$ и $h k$ . Видно , что $(ч J) (ч к) = (- 1) я$ , и что квадрат этого элемента $- 1$ . Эти элементы образуют двугранную группу квадрата. Таким образом, линейное подпространство с базой ${1, i, h j, h k}$ замкнуто относительно умножения и образует алгебру кокватернионов.

В контексте квантовой механики и спинорной алгебры бикватернионы $h i, h j$ и $h k$ (или их негативы), рассматриваемые в представлении $M 2 (C)$ , называются матрицами Паули .

Алгебраические свойства

Бикватернионы имеют два спряжения :

бисопряженный или biscalar минус бивектор является и ${\ displaystyle q ^ {*} = wx \ mathbf {i} -y \ mathbf {j} -z \ mathbf {k} \! \,}$
комплексное сопряжение коэффициентов бикватерниона ${\ displaystyle q ^ {\ star} = w ^ {\ star} + x ^ {\ star} \ mathbf {i} + y ^ {\ star} \ mathbf {j} + z ^ {\ star} \ mathbf { k}}$

где когда ${\ displaystyle z ^ {\ star} = a-bh}$ ${\ displaystyle z = a + bh, \ quad a, b \ in \ mathbb {R}, \ quad h ^ {2} = - \ mathbf {1}.}$

Обратите внимание, что ${\ displaystyle (pq) ^ {*} = q ^ {*} p ^ {*}, \ quad (pq) ^ {\ star} = p ^ {\ star} q ^ {\ star}, \ quad (q ^ {*}) ^ {\ star} = (q ^ {\ star}) ^ {*}.}$

Ясно, что если тогда $q$ - делитель нуля. В противном случае определяется над комплексными числами. Далее легко проверяется. Это позволяет определить обратное как ${\ displaystyle qq ^ {*} = 0}$ ${\ Displaystyle \ lbrace qq ^ {*} \ rbrace ^ {- \ mathbf {1}}}$ ${\ displaystyle qq ^ {*} = q ^ {*} q}$

${\ Displaystyle д ^ {- \ mathbf {1}} = д ^ {*} \ lbrace qq ^ {*} \ rbrace ^ {- \ mathbf {1}}}$ , если ${\ displaystyle qq ^ {*} \ neq 0.}$

Связь с преобразованиями Лоренца

Рассмотрим теперь линейное подпространство

{\ displaystyle M = \ lbrace q \ двоеточие q ^ {*} = q ^ {\ star} \ rbrace = \ lbrace t + x (h \ mathbf {i}) + y (h \ mathbf {j}) + z (h \ mathbf {k}) \ двоеточие t, x, y, z \ in \ mathbb {R} \ rbrace.}

$M$ не является подалгеброй, поскольку она не замкнута относительно произведений ; например. В самом деле, $M$ не может образовать алгебру, если это даже не магма . ${\ Displaystyle (ч \ mathbf {я}) (ч \ mathbf {j}) = h ^ {2} \ mathbf {ij} = - \ mathbf {k} \ notin M.}$

Предложение: если $q$ принадлежит $M$ , то ${\ displaystyle qq ^ {*} = t ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2}.}$

Доказательство: из определений,

{\ displaystyle {\ begin {align} qq ^ {*} & = (t + xh \ mathbf {i} + yh \ mathbf {j} + zh \ mathbf {k}) (t-xh \ mathbf {i} - yh \ mathbf {j} -zh \ mathbf {k}) \\ & = t ^ {2} -x ^ {2} (h \ mathbf {i}) ^ {2} -y ^ {2} (h \ mathbf {j}) ^ {2} -z ^ {2} (h \ mathbf {k}) ^ {2} \\ & = t ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2}. \ End {выровнено}}}

Определение: Пусть бикватернион $g$ удовлетворяет Тогда преобразование Лоренца, ассоциированное с $g,$ имеет вид ${\ displaystyle gg ^ {*} = \ mathbf {1}.}$

{\ Displaystyle T (q) = g ^ {*} qg ^ {\ star}.}

Предложение: Если $д$ в $М$ , то $Т (д)$ также находится в $М$ .

Доказательство: ${\ displaystyle (g ^ {*} qg ^ {\ star}) ^ {*} = (g ^ {\ star}) ^ {*} q ^ {*} g = (g ^ {*}) ^ {\ star} q ^ {\ star} g = (g ^ {*} qg ^ {\ star}) ^ {\ star}.}$

Предложение: ${\ displaystyle \ quad T (q) (T (q)) ^ {*} = qq ^ {*}}$

Доказательство: сначала обратите внимание, что $gg * = 1$ означает, что сумма квадратов его четырех комплексных компонентов равна единице. Тогда сумма квадратов комплексно сопряженных этих компонент также равна единице. Поэтому сейчас ${\ displaystyle g ^ {\ star} (g ^ {\ star}) ^ {*} = \ mathbf {1}.}$

{\ displaystyle (g ^ {*} qg ^ {\ star}) (g ^ {*} qg ^ {\ star}) ^ {*} = g ^ {*} qg ^ {\ star} (g ^ {\ star}) ^ {*} q ^ {*} g = g ^ {*} qq ^ {*} g = qq ^ {*}.}

Связанная терминология

Поскольку бикватернионы были неотъемлемой частью линейной алгебры с самого начала математической физики , существует множество концепций, которые иллюстрируются или представлены алгеброй бикватернионов. Группа преобразований состоит из двух частей, и Первая часть характеризуется ; тогда преобразование Лоренца, соответствующее $g$ , задается формулой, поскольку такое преобразование является вращением путем умножения кватернионов , и их совокупность равна O (3) Но эта подгруппа $G$ не является нормальной подгруппой , поэтому фактор-группа не может быть сформирована. ${\ Displaystyle G = \ lbrace g: gg ^ {*} = 1 \ rbrace}$ ${\ displaystyle G \ cap H}$ ${\ displaystyle G \ cap M.}$ ${\ Displaystyle г = г ^ {\ звезда}}$ ${\ Displaystyle Т (д) = г ^ {- 1} qg}$ ${\ displaystyle g ^ {*} = g ^ {- 1}.}$ ${\ displaystyle \ cong G \ cap H.}$

Для просмотра необходимо показать структуру подалгебры в бикватернионах. Пусть $г$ представляет собой элемент сферы квадратного корня из минус единицы в реальных кватернионах подалгебры $H$ . Тогда $($ $hr$ $)$ $2$ $= +1$ и плоскость бикватернионов, заданная как, является коммутативной подалгеброй, изоморфной плоскости расщепляемых комплексных чисел . Так же, как обычная комплексная плоскость имеет единичный круг, имеет единичную гиперболу, заданную формулой ${\ Displaystyle G \ cap M}$ ${\ Displaystyle D_ {r} = \ lbrace z = x + yhr: x, y \ in \ mathbb {R} \ rbrace}$ ${\ displaystyle D_ {r}}$

{\ displaystyle \ exp (ahr) = \ cosh (a) + hr \ \ sinh (a), \ quad a \ in R.}

Так же, как единичная окружность поворачивается умножением на один из ее элементов, так и гипербола поворачивается, потому что, следовательно, эти алгебраические операторы на гиперболе называются гиперболическими версорами . Единичная окружность в $C$ и единичная гипербола в $D$ $r$ являются примерами однопараметрических групп . Для каждого квадратного корня $r$ из минус единицы в $H$ существует однопараметрическая группа в бикватернионах, заданных формулой ${\ Displaystyle \ ехр (ahr) \ ехр (bhr) = \ ехр ((a + b) час).}$ ${\ displaystyle G \ cap D_ {r}.}$

Пространство бикватернионов имеет естественную топологию через евклидову метрику на $8-$ пространстве. В отношении этой топологии $G$ - топологическая группа . Кроме того, она имеет аналитическую структуру, что делает ее шестипараметрической группой Ли . Рассмотрим подпространство бивекторов . Тогда экспоненциальное отображение принимает вещественные векторы и $з$ -векторы к При оснащении коммутатора , образует алгебру Ли в $G$ . Таким образом, это исследование шестимерного пространства служит для введения общих понятий теории Ли . В матричном представлении $G$ называется специальной линейной группой SL (2, C) в $M$ $2$ $($ $C$ $)$ . ${\ displaystyle A = \ lbrace q: q ^ {*} = - q \ rbrace}$ ${\ displaystyle \ exp: от A \ до G}$ ${\ displaystyle G \ cap H}$ ${\ displaystyle G \ cap M.}$

Многие концепции специальной теории относительности проиллюстрированы с помощью представленных структур бикватернионов. Подпространство $M$ соответствует пространству Минковского с четырьмя координатами, определяющими временные и пространственные положения событий в системе отсчета покоя . Любой гиперболический вариант $exp (ahr)$ соответствует скорости в направлении $r$ скорости $c tanh a,$ где $c$ - скорость света . Инерциальная система отсчета этой скорости может быть сделана системой покоя, применив с тех пор усиление Лоренца $T,$ заданное как $g = exp (0,5 ahr),$ так что, естественно, гиперболоид, который представляет диапазон скоростей для субсветового движения, имеет физический интерес. Там была большая работа ассоциируя это «пространство скоростей» с гиперболоида модели из гиперболической геометрии . В специальной теории относительности параметр гиперболического угла гиперболического версора называется быстротой . Таким образом, мы видим, что группа бикватернионов $G$ обеспечивает групповое представление для группы Лоренца . ${\ displaystyle g ^ {\ star} = \ exp (-0,5ahr) = g ^ {*}}$ ${\ Displaystyle Т (\ ехр (ahr)) = 1.}$ ${\ displaystyle G \ cap M,}$

После введения спинорной теории, особенно в руках Вольфганга Паули и Эли Картана , бикватернионное представление группы Лоренца было вытеснено. Новые методы были основаны на базисных векторах в наборе

{\ displaystyle \ {q \: \ qq ^ {*} = 0 \} = \ left \ {w + x \ mathbf {i} + y \ mathbf {j} + z \ mathbf {k} \: \ w ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 0 \ right \}}

который называется сложным световым конусом . Приведенное выше представление группы Лоренца совпадает с тем, что физики называют четырехвекторами . Помимо четырехвекторов, стандартная модель физики элементарных частиц также включает другие лоренцевские представления, известные как скаляры , и $(1, 0) \oplus (0, 1)$ -представление, связанное, например, с тензором электромагнитного поля . Кроме того, физики частиц используют $SL (2, C)$ представление (или проективные представления группы Лоренца) , известное как лево- и правые спиноры Вейля , майорановские спиноры и Дирак спиноры . Известно, что каждое из этих семи представлений может быть построено как инвариантное подпространство внутри бикватернионов.

Как композиционная алгебра

Хотя WR Гамильтон представил Бикватернионы в 19 - м веке, его определение ее математической структуры , как особый тип алгебры над полем было сделано в 20 - м веке: в бикватернионы могут быть получены из бикомплексных чисел таким же образом , что Адриан Альберт генерируемой действительные кватернионы комплексных чисел в так называемой конструкции Кэли – Диксона . В этой конструкции бикомплексное число ( w, z ) сопряжено ( w, z ) * = ( w , - z ).

Бикватернион тогда представляет собой пару бикомплексных чисел ( a, b ), где произведение со вторым бикватернионом ( c, d ) равно

{\ displaystyle (a, b) (c, d) = (ac-d ^ {*} b, da + bc ^ {*}).}

Если тогда двусопряженное ${\ Displaystyle а = (и, v), Ь = (ш, г),}$ ${\ displaystyle (a, b) ^ {*} = (a ^ {*}, - b).}$

Когда ( a, b ) * записывается как 4-вектор обычных комплексных чисел,

{\ displaystyle (u, v, w, z) ^ {*} = (u, -v, -w, -z).}

Бикватернионы образуют пример алгебры кватернионов , и он имеет норму

{\ Displaystyle N (u, v, w, z) = u ^ {2} + v ^ {2} + w ^ {2} + z ^ {2}.}

Два бикватерниона p и q удовлетворяют указанию, что N - квадратичная форма, допускающая композицию, так что бикватернионы образуют композиционную алгебру . ${\ Displaystyle N (pq) = N (p) N (q)}$

Languages

In other projects

Бикватернион - Biquaternion

СОДЕРЖАНИЕ