CAT ( k ) пробел - CAT(k) space

В математике , пространство , где действительное число, это определенный тип метрики пространства . Интуитивно понятно, что треугольники в пространстве «тоньше», чем соответствующие «модельные треугольники» в стандартном пространстве постоянной кривизны . В пространстве кривизна ограничена сверху величиной . Примечательным частным случаем является ; полные пространства известны как « пространства Адамара » в честь французского математика Жака Адамара . ${\ displaystyle \ mathbf {\ operatorname {\ textbf {CAT}} (k)}}$ ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ operatorname {CAT} (k)}$ ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ operatorname {CAT} (k)}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k = 0}$ ${\ displaystyle \ operatorname {CAT} (0)}$

Первоначально эти пространства Александров называл « областью». Терминология была введена Михаилом Громовым в 1987 году и является аббревиатурой от Эли Картана , Александра Даниловича Александрова и Виктора Андреевича Топоногова (хотя Топоногов никогда не исследовал ограниченную сверху кривизну в публикациях). ${\ displaystyle {\ mathfrak {R}} _ {k}}$${\ displaystyle \ operatorname {CAT} (k)}$

Определения

Моделируйте треугольники в пространствах положительной (вверху), отрицательной (посередине) и нулевой (внизу) кривизны.

Для действительного числа , пусть обозначает единственную полную односвязную поверхность (вещественное двумерное риманово многообразие ) с постоянной кривизной . Обозначим через с диаметром от , который , если и для . ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M_ {k}}$ ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle D_ {k}}$${\ displaystyle M_ {k}}$${\ displaystyle \ infty}$${\ Displaystyle к \ leq 0}$${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {\ sqrt {k}}}}$${\ displaystyle k> 0}$

Позвольте быть геодезическим метрическим пространством , то есть метрическим пространством, для которого каждые две точки могут быть соединены геодезическим отрезком, параметризованной непрерывной кривой длиной дуги, длина которой ${\ displaystyle (X, d)}$${\ displaystyle x, y \ in X}$ ${\ Displaystyle \ гамма \ двоеточие [a, b] \ к X, \ \ gamma (a) = x, \ \ gamma (b) = y}$

${\ Displaystyle L (\ gamma) = \ sup \ left \ {\ left. \ sum _ {i = 1} ^ {r} d {\ big (} \ gamma (t_ {i-1}), \ gamma ( t_ {i}) {\ big)} \ right | a = t_ {0} <t_ {1} <\ cdots <t_ {r} = b, r \ in \ mathbb {N} \ right \}}$

точно . Позвольте быть треугольником с геодезическими сегментами как его стороны. считается удовлетворяющим неравенству, если в пространстве модели есть треугольник сравнения со сторонами той же длины, что и стороны , так что расстояния между точками на нем меньше или равны расстояниям между соответствующими точками на . ${\ Displaystyle д (х, у)}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle \ mathbf {\ operatorname {\ textbf {CAT}} (k)}}$ ${\ displaystyle \ Delta '}$${\ displaystyle M_ {k}}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle \ Delta '}$

Геодезическое метрическое пространство называется быть пространством , если каждый геодезический треугольник в с периметром менее удовлетворяет неравенство. Метрическое пространство (не обязательно геодезическое) называется пространством кривизны, если каждая точка имеет геодезически выпуклую окрестность . Можно сказать, что пространство с кривизной имеет неположительную кривизну . ${\ displaystyle (X, d)}$${\ displaystyle \ mathbf {\ operatorname {\ textbf {CAT}} (k)}}$ ${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle 2D_ {k}}$${\ displaystyle \ operatorname {CAT} (k)}$${\ displaystyle (X, \, d)}$${\ displaystyle \ leq k}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ operatorname {CAT} (k)}$ ${\ displaystyle \ leq 0}$

Примеры

• Любое пространство - это еще и место для всех . На самом деле верно и обратное: если есть пространство для всех , то это пространство. ${\ displaystyle \ operatorname {CAT} (k)}$${\ displaystyle (X, d)}$${\ displaystyle \ operatorname {CAT} (\ ell)}$${\ displaystyle \ ell> к}$${\ displaystyle (X, d)}$${\ displaystyle \ operatorname {CAT} (\ ell)}$${\ displaystyle \ ell> к}$${\ displaystyle \ operatorname {CAT} (k)}$
• - Мерное евклидово пространство с обычной метрикой является пространством. В более общем смысле, любое реальное внутреннее пространство продукта (не обязательно полное) является пространством; и наоборот, если действительное нормированное векторное пространство является пространством для некоторого действительного , то это внутреннее пространство продукта. ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} ^ {n}}$${\ displaystyle \ operatorname {CAT} (0)}$${\ displaystyle \ operatorname {CAT} (0)}$${\ displaystyle \ operatorname {CAT} (k)}$${\ displaystyle k}$
• - Мерное гиперболическое пространство с обычной метрикой является пространством, и , следовательно, пространства , а также. ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {H} ^ {n}}$${\ displaystyle \ operatorname {CAT} (-1)}$${\ displaystyle \ operatorname {CAT} (0)}$
• - Мерный единичный шар является пространством. ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {S} ^ {п}}$${\ displaystyle \ operatorname {CAT} (1)}$
• В более общем смысле стандартное пространство - это пространство. Так, например, независимо от размера, сфера радиуса (и постоянной кривизны ) является пространством. Обратите внимание, что диаметр сферы (при измерении на поверхности сферы) не (при измерении через центр сферы). ${\ displaystyle M_ {k}}$${\ displaystyle \ operatorname {CAT} (k)}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle {\ frac {1} {г ^ {2}}}}$${\ displaystyle \ operatorname {CAT} ({\ frac {1} {r ^ {2}}})}$${\ displaystyle \ pi r}$${\ displaystyle 2r}$
• Проколотая плоскость не пространство , так как это не геодезический выпуклое (например, точка и не может быть соединена геодезическим в с длиной дуги 2), но каждая точка действительно имеет геодезический выпуклой окрестность, так что это пространство кривизны . ${\ Displaystyle \ Pi = \ mathbf {E} ^ {2} \ обратная косая черта \ {\ mathbf {0} \}}$${\ displaystyle \ operatorname {CAT} (0)}$${\ displaystyle (0,1)}$${\ displaystyle (0, -1)}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle \ operatorname {CAT} (0)}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle \ leq 0}$
• Замкнутое подпространство в задается ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbf {E} ^ {3}}$

${\ displaystyle X = \ mathbf {E} ^ {3} \ setminus \ {(x, y, z) | x> 0, y> 0 {\ text {and}} z> 0 \}}$

с метрикой индуцированной длины не является пространством ни для одного . ${\ displaystyle \ operatorname {CAT} (k)}$${\ displaystyle k}$

• Любое произведение пространств есть . (Это не относится к отрицательным аргументам.) ${\ displaystyle \ operatorname {CAT} (0)}$${\ displaystyle \ operatorname {CAT} (0)}$

Пространства Адамара

Как частный случай, полное пространство CAT (0) также известно как пространство Адамара ; это аналогично ситуации для многообразий Адамара . Пространство Адамара стягиваемо (оно имеет гомотопический тип единственной точки), и между любыми двумя точками пространства Адамара существует единственный геодезический отрезок, соединяющий их (фактически, оба свойства также выполняются для общих, возможно неполных, CAT (0) пробелы). Наиболее важно, что функции расстояния в пространствах Адамара являются выпуклыми : если две геодезические в X определены на одном и том же интервале времени I , то функция, заданная формулой ${\ displaystyle \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}}$${\ displaystyle I \ to \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle t \ mapsto d {\ big (} \ sigma _ {1} (t), \ sigma _ {2} (t) {\ big)}}$

выпукла по t .

Свойства пространств ${\ displaystyle \ operatorname {CAT} (k)}$

Позвольте быть пространство. Тогда имеют место следующие свойства: ${\ displaystyle (X, d)}$${\ displaystyle \ operatorname {CAT} (k)}$

• Принимая во внимание любые две точки (с , если ), существует единственный геодезический сегмент , который присоединяется к ; более того, этот сегмент непрерывно изменяется в зависимости от его конечных точек. ${\ displaystyle x, y \ in X}$${\ Displaystyle д (х, у) <D_ {к}}$${\ displaystyle k> 0}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$
• Каждая локальная геодезическая длиной не более чем является геодезической. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle D_ {k}}$
• В - шариках в радиуса менее являются (геодезический) выпукло. ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle D_ {k} / 2}$
• -Balls в радиуса менее чем стягиваемы. ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle D_ {k}}$
• Приблизительные средние точки близки к средним точкам в следующем смысле: для каждого и каждого существует такое, что если - середина геодезического сегмента от до с и ${\ displaystyle \ lambda <D_ {k}}$${\ displaystyle \ epsilon> 0}$${\ Displaystyle \ дельта = \ дельта (к, \ лямбда, \ эпсилон)> 0}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ Displaystyle д (х, у) \ leq \ лямбда}$

${\ displaystyle \ max {\ big \ {} d (x, m '), d (y, m') {\ big \}} \ leq {\ frac {1} {2}} d (x, y) + \ delta,}$

тогда . ${\ Displaystyle д (м, м ') <\ эпсилон}$

• Из этих свойств следует, что универсальное покрытие любого пространства стягиваемо; в частности, высшие гомотопические группы такого пространства тривиальны . Как показывает пример -сферы , в целом нет никакой надежды на то, что пространство будет сжимаемым , если . ${\ Displaystyle к \ leq 0}$${\ displaystyle \ operatorname {CAT} (k)}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle \ mathbf {S} ^ {п}}$${\ displaystyle \ operatorname {CAT} (k)}$${\ displaystyle k> 0}$

Поверхности неположительной кривизны

В области , где кривизна поверхности удовлетворяет K ≤ 0 , геодезические треугольники удовлетворяют CAT (0) неравенства геометрии сравнения , изученной Картанна , Александров и Топоногова , и рассмотренную позже из другой точки зрения по Брюа и Титс ; благодаря видению Громова эта характеристика неположительной кривизны в терминах основного метрического пространства оказала глубокое влияние на современную геометрию и, в частности, на геометрическую теорию групп . Многие результаты, известные для гладких поверхностей и их геодезических, такие как метод Биркгофа построения геодезических с помощью его процесса сокращения кривой или теорема Ван Мангольдта и Адамара о том, что односвязная поверхность неположительной кривизны гомеоморфна плоскости, одинаково справедливы в этом более общие настройки.

Неравенство сравнения Александрова

Медиана в треугольнике сравнения всегда больше , чем фактическая медианы.

Простейшая форма неравенства сравнения, впервые доказанная для поверхностей Александровым около 1940 г., гласит, что

Расстояние между вершиной геодезического треугольника и серединой противоположной стороны всегда меньше, чем соответствующее расстояние в треугольнике сравнения в плоскости с такими же длинами сторон.

Неравенство следует из того факта, что если c ( t ) описывает геодезическую, параметризованную длиной дуги, а a - неподвижная точка, то

f ( t ) = d ( a , c ( t )) ² - t ²

является выпуклой функцией , т. е.

${\ Displaystyle {\ ddot {f}} (т) \ geq 0.}$

Взяв геодезические полярные координаты с началом в a так, что ‖ c ( t ) ‖ = r ( t ) , выпуклость эквивалентна

${\ displaystyle r {\ ddot {r}} + {\ dot {r}} ^ {2} \ geq 1.}$

Переходя к нормальным координатам u , v в точке c ( t ) , это неравенство принимает вид

u ² + H ⁻¹ H _r v ² ≥ 1 ,

где ( u , v ) соответствует единичному вектору ċ ( t ) . Это следует из неравенства H _r ≥ H , следствия неотрицательности производной вронскиана от H и r из теории Штурма – Лиувилля .

Смотрите также

• Теорема Картана – Адамара.

Рекомендации

• Александр, Стефани; Капович, Виталий; Петрунин, Антон. "Александровская геометрия, глава 7" (PDF) . Проверено 7 апреля 2011 .
• Александр, Стефани; Капович, Виталий; Петрунин, Антон. «Приглашение в геометрию Александрова: пространства CAT [0]». arXiv : 1701.03483 [ math.DG ].
• Баллманн, Вернер (1995). Лекции о пространствах неположительной кривизны . Семинар DMV 25. Базель: Birkhäuser Verlag. С. viii + 112. ISBN   3-7643-5242-6 . Руководство по ремонту   1377265 .
• Бридсон, Мартин Р .; Хефлигер, Андре (1999). Метрические пространства неположительной кривизны . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук] 319. Берлин: Springer-Verlag. С. xxii + 643. ISBN   3-540-64324-9 . Руководство по ремонту   1744486 .
• Громов, Михаил (1987). «Гиперболические группы». Очерки теории групп . Математика. Sci. Res. Inst. Publ. 8. Нью-Йорк: Спрингер. С. 75–263. Руководство по ремонту   0919829 .
• Хиндави, Мохамад А. (2005). Асимптотические инварианты многообразий Адамара (PDF) . Пенсильванский университет: докторская диссертация.