Контрпример - Counterexample

Контрпример любое исключение к генерализации . В логике контрпример опровергает обобщение, и это неукоснительно в области математики и философии . Например, тот факт, что «Джон Смит не ленивый студент», является контрпримером к обобщению «студенты ленивы», а также контрпримером и опровержением обобщения «все студенты ленивы».

В математике термин «контрпример» также используется (с небольшим злоупотреблением) для обозначения примеров, которые иллюстрируют необходимость полной гипотезы теоремы. Чаще всего это делается, рассматривая случай, когда часть гипотезы не выполняется и заключение теоремы не выполняется.

По математике

В математике контрпримеры часто используются для доказательства границ возможных теорем. Используя контрпримеры, чтобы показать, что некоторые гипотезы ложны, математические исследователи могут избежать тупика и научиться изменять гипотезы, чтобы получить доказуемые теоремы. Иногда говорят, что математическое развитие состоит прежде всего в поиске (и доказательстве) теорем и контрпримеров.

Пример прямоугольника

Предположим, математик изучает геометрию и формы и хочет доказать определенные теоремы о них. Она предполагает, что «Все прямоугольники - квадраты », и ей интересно знать, верно это утверждение или нет.

В этом случае она может либо попытаться доказать истинность утверждения, используя дедуктивное рассуждение , либо попытаться найти контрпример утверждению, если она подозревает, что оно ложное. В последнем случае контрпримером может быть прямоугольник, который не является квадратом, например прямоугольник с двумя сторонами длиной 5 и двумя сторонами длиной 7. Однако, несмотря на то, что она нашла прямоугольники, которые не были квадратами, все прямоугольники она сделала У находки было четыре стороны. Затем она выдвигает новую гипотезу «Все прямоугольники имеют четыре стороны». Это логически слабее, чем ее первоначальная гипотеза, поскольку у каждого квадрата четыре стороны, но не каждая четырехгранная форма является квадратом.

В приведенном выше примере упрощенно объясняется, как математик может ослабить свою гипотезу перед лицом контрпримеров, но контрпримеры также могут использоваться для демонстрации необходимости определенных предположений и гипотез . Например, предположим, что через некоторое время вышеупомянутый математик остановился на новой гипотезе «Все формы, которые являются прямоугольниками и имеют четыре стороны равной длины, являются квадратами». Эта гипотеза состоит из двух частей: форма должна быть «прямоугольником» и иметь «четыре стороны равной длины». Затем математик хотел бы знать, может ли она удалить любое из предположений и при этом сохранить истинность своего предположения. Это означает, что ей необходимо проверить истинность следующих двух утверждений:

  1. «Все формы, которые представляют собой прямоугольники, являются квадратами».
  2. «Все фигуры с четырьмя сторонами равной длины - квадраты».

Контрпример к (1) уже был приведен выше, а контрпример к (2) представляет собой неквадратный ромб . Таким образом, математик теперь знает, что оба допущения действительно были необходимы.

Другие математические примеры

См. Также: Контрпримеры в топологии и Минимальный контрпример.

Контрпримером к утверждению «все простые числа являются нечетными » является число 2, так как это простое число, но не нечетное. Ни одно из чисел 7 или 10 не является контрпримером, поскольку ни одного из них недостаточно, чтобы противоречить утверждению. В этом примере число 2 фактически является единственным возможным контрпримером к утверждению, хотя одного этого достаточно, чтобы противоречить утверждению. Аналогичным образом утверждение «Все натуральные числа либо простые, либо составные » содержит число 1 в качестве контрпримера, поскольку 1 не является ни простым, ни составным.

Гипотеза Эйлера о сумме степеней была опровергнута контрпримером. Он утверждал , что , по крайней мере п п й сила была необходима , чтобы подвести к другому п - й мощности. Эта гипотеза была опровергнута в 1966 году контрпримером с n  = 5;  Теперь известны другие n = 5 контрпримеров, а также несколько  контрпримеров n = 4.

Контрпример Витсенхаузена показывает, что не всегда верно (для задач управления ), что квадратичная функция потерь и линейное уравнение эволюции переменной состояния подразумевают оптимальные законы управления, которые являются линейными.

Другие примеры включают опровержение этого предположения зейфертова , на гипотезу PolyA , гипотезу о четырнадцатых проблемах Гильберта , гипотезах Тейта , и Ганя гипотезу .

В философии

В философии контрпримеры обычно используются, чтобы доказать, что определенная философская позиция неверна, показывая, что она неприменима в определенных случаях. В качестве альтернативы, первый философ может изменить свое утверждение так, чтобы контрпример больше не применялся; это аналогично тому, как математик модифицирует гипотезу из-за контрпримера.

Например, в Plato «s Горгий , Калликл , пытаясь определить , что это значит сказать , что некоторые люди„лучше“ , чем другие, утверждает , что те , кто сильнее , тем лучше.

Но Сократ отвечает, что в силу своей численности класс простой черни сильнее, чем имущий класс дворян, даже несмотря на то, что массы на первый взгляд хуже по характеру. Таким образом, Сократ предложил контрпример к утверждению Калликла, исследуя область, которую Калликл, возможно, не ожидал, - группы людей, а не отдельные лица.

Калликл мог бы оспорить контрпример Сократа, утверждая, что, возможно, обычная чернь действительно лучше, чем дворяне, или что даже в своем большом количестве они все же не сильнее. Но если Калликл принимает контрпример, то он должен либо отозвать свое заявление, либо изменить его так, чтобы контрпример больше не применялся. Например, он может изменить свое утверждение, чтобы относиться только к отдельным лицам, требуя от него думать о простых людях как о совокупности людей, а не как о толпе.

Так случилось, что он изменил свое заявление, сказав «мудрее» вместо «сильнее», утверждая, что никакое численное превосходство не может сделать людей мудрее.

Смотрите также

Рекомендации

дальнейшее чтение

Внешние ссылки