Инвариант Дена - Dehn invariant

В геометрии , то инвариант Дена из многогранника является значением , используемое для определения того, могут ли быть многогранники рассекают друг в друг , или же они могут плитки пространства . Он назван в честь Макса Дена , который использовал его для решения третьей проблемы Гильберта о том, можно ли разрезать все многогранники равного объема друг на друга.

Два многогранника имеют разрез на многогранные части, которые можно собрать в любой из них, если и только если их объемы и инварианты Дена равны. Многогранник можно разрезать и снова собрать в пространство плитки тогда и только тогда, когда его инвариант Дена равен нулю, поэтому наличие нулевого инварианта Дена является необходимым условием для того, чтобы быть многогранником, заполняющим пространство. Инвариант Дена гибкого многогранника без самопересечения инвариантен при его изгибе.

Инвариант Дена равен нулю для куба, но отличен от нуля для других Платоновых тел , подразумевая, что другие твердые тела не могут замощить пространство и что они не могут быть разрезаны на куб. Все архимедовы тела имеют инварианты Дена, которые представляют собой рациональные комбинации инвариантов Платоновых тел. В частности, усеченный октаэдр также разбивает пространство и имеет нулевой инвариант Дена, как куб.

Инварианты Дена многогранников являются элементами бесконечномерного векторного пространства . Как абелева группа , это пространство является частью точной последовательности, включающей групповые гомологии . Подобные инварианты также могут быть определены для некоторых других головоломок с разрезом , включая задачу разделения прямолинейных многоугольников друг на друга с помощью разрезов и перемещений, параллельных оси.

Фон

Рассечение квадрата и равностороннего треугольника друг на друга. Для куба и правильного тетраэдра такого разреза не существует .

В двух измерениях теорема Уоллеса – Бойя – Гервиена утверждает, что любые два многоугольника одинаковой площади можно разрезать на многоугольные части и собрать друг в друга. Дэвид Гильберт заинтересовался этим результатом как способом аксиоматизации области в связи с аксиомами Гильберта для евклидовой геометрии . В третьей задаче Гильберта он поставил вопрос о том, всегда ли два многогранника равного объема можно разрезать на многогранные части и снова собрать друг в друга. Ученик Гильберта Макс Ден в своей кандидатской диссертации 1900 года изобрел инвариант Дена, чтобы доказать, что это не всегда возможно, предоставив отрицательное решение проблемы Гильберта. Хотя Ден по-другому сформулировал свой инвариант, современный подход состоит в том, чтобы описать его как значение в тензорном произведении , следуя Джессену (1968) .

Определение

Определение инварианта Дена требует понятия многогранника, для которого корректно определены длины и двугранные углы ребер. Чаще всего это применяется к многогранникам, границы которых являются многообразиями , вложенными в конечное число плоскостей в евклидовом пространстве . Однако инвариант Дена также рассматривался для многогранников в сферической геометрии или в гиперболическом пространстве , а также для некоторых самопересекающихся многогранников в евклидовом пространстве.

Значения инварианта Дена принадлежат абелевой группе, определяемой как тензорное произведение

${\ displaystyle \ mathbb {R} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {R} / 2 \ pi \ mathbb {Z}.}$

Левый множитель этого тензорного произведения - это набор действительных чисел (в данном случае представляющих длины ребер многогранников), а правый множитель представляет двугранные углы в радианах , заданные как числа по модулю 2 π . (Некоторые источники берут углы по модулю π вместо 2 π или делят углы на π и используют вместо, но это не имеет никакого значения для результирующего тензорного произведения, так как любое рациональное кратное π в правом множителе становится равным нулю в продукт.) ${\ Displaystyle \ mathbb {R} / \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} / 2 \ pi \ mathbb {Z}}$

Инвариант Дена многогранника с длинами ребер и двугранными углами ребер представляет собой сумму ${\ displaystyle \ ell _ {i}}$${\ displaystyle \ theta _ {я}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i} \ ell _ {i} \ otimes \ theta _ {i}.}$

Альтернативное, но эквивалентное описание инварианта Дена включает выбор базиса Гамеля , бесконечного подмножества действительных чисел, так что каждое действительное число может быть однозначно выражено как сумма конечного числа рациональных кратных элементов . Таким образом, в качестве аддитивной группы, является изоморфен с , то прямой суммой копий с одного слагаемым для каждого элемента . Если выбрано тщательно, так что π (или рациональное кратное π ) является одним из его элементов и является остальной частью базиса с исключением этого элемента, то тензорное произведение является (бесконечномерным) вещественным векторным пространством . Инвариант Дена можно выразить, разложив каждый двугранный угол на конечную сумму базисных элементов ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ^ {(B)}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B '}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ otimes \ mathbb {R} / 2 \ pi \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {(B ')}}$${\ displaystyle \ theta _ {я}}$

${\ displaystyle \ theta _ {i} = \ sum _ {j = 0} ^ {k_ {i}} q_ {i, j} b_ {i, j}}$

где рационально, является одним из действительных чисел в базисе Гамеля, и эти базисные элементы пронумерованы так, что это рациональное кратное числа π, которое принадлежит, но не принадлежит . При таком разложении инвариант Дена равен ${\ displaystyle q_ {i, j}}$${\ displaystyle b_ {i, j}}$${\ displaystyle b_ {я, 0}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B '}$

${\ displaystyle \ sum _ {i} \ sum _ {j = 1} ^ {k_ {i}} \ ell _ {i} q_ {i, j} e_ {i, j},}$

где каждый - стандартный единичный вектор в соответствующем базисном элементе . Обратите внимание, что сумма здесь начинается с , чтобы опустить член, соответствующий рациональным кратным π . ${\ displaystyle e_ {i, j}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {(B ')}}$${\ displaystyle b_ {i, j}}$${\ displaystyle j = 1}$

Хотя формулировка базиса Гамеля, по-видимому, включает аксиому выбора , этого можно избежать (при рассмотрении любого конкретного конечного набора многогранников), ограничивая внимание конечномерным векторным пространством, порожденным двугранными углами многогранников. Эта альтернативная формулировка показывает, что значениям инварианта Дена можно придать дополнительную структуру реального векторного пространства . ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Для идеального многогранника в гиперболическом пространстве длины ребер бесконечны, поэтому обычное определение инварианта Дена неприменимо. Тем не менее, инвариант Дена может быть расширен на эти многогранники, используя орисферы для усечения их вершин и вычисляя инвариант Дена обычным способом для результирующей усеченной формы, игнорируя дополнительные ребра, созданные этим процессом усечения. Результат не зависит от выбора орисфер для усечения, если каждая из них отсекает только одну вершину данного многогранника.

Примеры

В Платоновых тела каждое имеет равномерные длины ребер и двугранные углы, ни один из которых являются рациональными кратными друг друга. Двугранный угол куба π / 2 является рациональным кратным π , а остальные - нет. Двугранные углы правильного тетраэдра и правильного октаэдра являются дополнительными : их сумма равна π .

В формулировке инварианта Дена в базисе Гамеля можно выбрать четыре из этих двугранных углов как часть базиса Гамеля. Угол куба, π / 2, является базисным элементом, который отбрасывается в формуле для инварианта Дена, поэтому инвариант Дена куба равен нулю. В более общем смысле, инвариант Дена любого параллелепипеда также равен нулю. Может быть включен только один из двух углов тетраэдра и октаэдра, так как другой является рациональной комбинацией того, который включен, и угла куба. Инварианты Дена каждого из других Платоновых тел будут вектором, образованным путем умножения единичного вектора для угла этого тела на длину и количество ребер тела. Независимо от того, как они масштабируются по разным длинам ребер, тетраэдр, икосаэдр и додекаэдр имеют инварианты Дена, которые образуют векторы, указывающие в разных направлениях, и поэтому не равны и не равны нулю. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {B '}}$

Отрицательный двугранный угол октаэдра отличается от угла тетраэдра на целое число, кратное π , и, кроме того, октаэдр имеет в два раза больше ребер, чем тетраэдр (двенадцать вместо шести). Следовательно, инвариант Дена октаэдра в −2 раза больше инварианта Дена тетраэдра той же длины ребра. Инварианты Дена других архимедовых тел также могут быть выражены как рациональные комбинации инвариантов Платоновых тел.

Приложения

Как заметил Ден (1901) , инвариант Дена является инвариантом для разрезания многогранников в том смысле, что разрезание многогранника на более мелкие многогранники с последующей их повторной сборкой в ​​другой многогранник не меняет инвариант Дена результата. Другой такой инвариант - это объем многогранника. Следовательно, если можно разрезать один многогранник P на другой многогранник Q , то и P, и Q должны иметь один и тот же инвариант Дена, а также одинаковый объем. Сидлер (1965) расширил этот результат, доказав, что объем и инвариант Дена являются единственными инвариантами для этой проблемы. Если P и Q имеют одинаковый объем и один и тот же инвариант Дена, всегда можно разделить одно на другое.

Результат Дена остается в силе для сферической геометрии и гиперболической геометрии . В обеих этих геометриях два многогранника, которые можно разрезать и собирать друг в друга, должны иметь один и тот же инвариант Дена. Однако, как заметил Джессен, распространение результата Сидлера на сферическую или гиперболическую геометрию остается открытым: неизвестно, всегда ли два сферических или гиперболических многогранника с одинаковым объемом и одним и тем же инвариантом Дена можно разрезать и собрать друг в друга. Каждое гиперболическое многообразие конечного объема можно разрезать по геодезическим поверхностям на гиперболический многогранник, который обязательно имеет нулевой инвариант Дена.

Инвариант Дена также управляет способностью многогранника к мозаичному пространству (часть предмета восемнадцатой проблемы Гильберта ). Каждый тайл, заполняющий пространство, имеет нулевой инвариант Дена, как и куб. Обратное неверно - существуют многогранники с нулевым инвариантом Дена, которые не образуют мозаичное пространство, но их всегда можно разрезать на другую форму (куб), которая образует мозаичное пространство.

В более общем смысле, если некоторая комбинация многогранников вместе покрывает пространство, то сумма их инвариантов Дена (взятых в одинаковой пропорции) должна быть равна нулю. Например, тетраэдрически-октаэдрические соты представляют собой мозаику пространства тетраэдрами и октаэдрами (с вдвое большим количеством тетраэдров, чем октаэдров), что соответствует тому факту, что сумма инвариантов Дена октаэдра и двух тетраэдров (с одинаковыми длинами сторон ) равен нулю.

Реализуемость

Хотя инвариант Дена принимает значения, не все элементы в этом пространстве могут быть реализованы как инварианты Дена многогранников. Инварианты Дена евклидовых многогранников образуют линейное подпространство : можно сложить инварианты Дена многогранников, взяв несвязное объединение многогранников (или склеив их вместе на грани), отменить инварианты Дена, сделав отверстия в форме многогранника на большие кубы и умножьте инвариант Дена на любой скаляр, масштабируя многогранник на то же число. Вопрос о том, какие элементы (или, что то же самое, ) реализуемы осветляли работой Dupont и SAH, который показал существование следующей короткой точной последовательности из абелевых групп (не векторных пространств) с участием группы гомологии : ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {R} / 2 \ pi \ mathbb {Z},}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {R} / 2 \ pi \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {R} / 2 \ pi \ mathbb {Z},}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {R} / \ mathbb {Z}}$

${\ displaystyle 0 \ к H_ {2} (\ operatorname {SO} (3), \ mathbb {R} ^ {3}) \ to {\ mathcal {P}} (E ^ {3}) / {\ mathcal {Z}} (E ^ {3}) \ to \ mathbb {R} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {R} / \ mathbb {Z} \ to H_ {1} (\ operatorname {SO } (3), \ mathbb {R} ^ {3}) \ to 0}$

Здесь обозначение представляет собой свободную абелеву группу над евклидовыми многогранниками по модулю определенных соотношений, полученных из пар многогранников, которые можно разрезать друг на друга. - это подгруппа, порожденная в этой группе треугольными призмами , и используется здесь для обозначения объема (поскольку каждое действительное число является объемом ровно одного элемента этой группы). Отображение группы многогранников в является инвариантом Дена. является группой евклидовых точечных вращений и является групповыми гомологиями. Теорема Сидлера о том, что объем и инвариант Дена являются единственными инвариантами для евклидова рассечения, гомологически представлена ​​утверждением, что группа, появляющаяся в этой последовательности, на самом деле равна нулю. Если бы он был ненулевым, его образ в группе многогранников дал бы семейство многогранников, которые нельзя разрезать на куб того же объема, но которые имеют нулевой инвариант Дена. По теореме Сидлера таких многогранников не существует. ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (E ^ {3})}$${\ displaystyle {\ mathcal {Z}} (E ^ {3})}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {R} / \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ operatorname {SO} (3)}$${\ displaystyle H}$${\ Displaystyle Н_ {2} (\ OperatorName {SO} (3), \ mathbb {R} ^ {3})}$

Группа появляется в направлении справа от точной последовательности изоморфна группой из дифференциалов кэлеровых , и отображение из тензорных произведений длин и углов , чтобы дифференциалы кэлеровы дается формулой ${\ Displaystyle Н_ {1} (\ OperatorName {SO} (3), \ mathbb {R} ^ {3})}$${\ Displaystyle \ Omega _ {\ mathbb {R} / \ mathbb {Q}} ^ {1}}$

${\ displaystyle \ ell \ otimes \ theta / \ pi \ mapsto \ ell {\ frac {d \ cos \ theta} {\ sin \ theta}},}$

где - универсальный вывод . Эта группа является препятствием для реализации: ее ненулевые элементы происходят из элементов, которые не могут быть реализованы как инварианты Дена. ${\ displaystyle d}$${\ Displaystyle \ Omega _ {\ mathbb {R} / \ mathbb {Q}} ^ {1}}$${\ Displaystyle Н_ {1} (\ OperatorName {SO} (3), \ mathbb {R} ^ {3}) = \ Omega _ {\ mathbb {R} / \ mathbb {Q}} ^ {1}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {R} / \ mathbb {Z}}$

Аналогично, в гиперболическом или сферическом пространстве реализуемые инварианты Дена не обязательно образуют векторное пространство, поскольку скалярное умножение больше невозможно, но они по-прежнему образуют подгруппу. Дюпон и Сах доказывают существование точных последовательностей

${\ displaystyle 0 \ to H_ {3} (\ operatorname {SL} (2, \ mathbb {C}), \ mathbb {Z}) ^ {-} \ to {\ mathcal {P}} ({\ mathcal { H}} ^ {3}) \ to \ mathbb {R} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {R} / \ mathbb {Z} \ to H_ {2} (\ operatorname {SL} (2 , \ mathbb {C}), \ mathbb {Z}) ^ {-} \ to 0}$

а также

${\ displaystyle 0 \ к H_ {3} (\ operatorname {SU} (2), \ mathbb {Z}) \ to {\ mathcal {P}} (S ^ {3}) / \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {R} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {R} / \ mathbb {Z} \ to H_ {2} (\ operatorname {SU} (2), \ mathbb {Z}) \ to 0.}$

Здесь обозначает специальную линейную группу , а - группа преобразований Мёбиуса ; верхний индекс минус указывает на (-1) -собственное подпространство для инволюции, индуцированной комплексным сопряжением. обозначает специальную унитарную группу . Подгруппа в - это группа, порожденная всей сферой. Опять же, самая правая ненулевая группа в этих последовательностях является препятствием для реализации значения в как инварианта Дена. ${\ displaystyle \ operatorname {SL}}$${\ Displaystyle \ OperatorName {SL} (2, \ mathbb {C})}$${\ displaystyle \ operatorname {SU}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (S ^ {3}) / \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {R} / \ mathbb {Z}}$

Этот алгебраический взгляд на инвариант Дена может быть расширен до более высоких измерений, где он имеет мотивированную интерпретацию, включающую алгебраическую K-теорию .

Связанные результаты

Трехкомпонентное разрезание греческого креста на прямоугольник с использованием только параллельных оси разрезов и переводов. Инвариант, подобный Дену, показывает, что ни одна из этих фигур не может быть разрезана на квадрат с таким ограниченным разрезом.

Подход, очень похожий на инвариант Дена, можно использовать для определения, можно ли разрезать два прямолинейных многоугольника друг на друга только с помощью параллельных осям разрезов и перемещений (а не разрезов под произвольными углами и поворотами). В инварианте этого вида рассечения используется тензорное произведение, где левый и правый члены в произведении представляют высоту и ширину прямоугольников. Инвариант для любого заданного многоугольника вычисляется путем разрезания многоугольника на прямоугольники, взятия тензорного произведения высоты и ширины каждого прямоугольника и сложения результатов. Опять же, рассечение возможно тогда и только тогда, когда два многоугольника имеют одинаковую площадь и одинаковый инвариант. Например, этот инвариант можно использовать для доказательства того, что полимино, образованное из объединения квадратов, может быть разрезано на квадрат только тогда, когда - квадратное число. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {R}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

Гибкие многогранники - это класс многогранников, которые могут совершать непрерывное движение, сохраняя форму их граней. По теореме Коши о жесткости они должны быть невыпуклыми, и известно ( «теорема сильфонов» ), что объем многогранника должен оставаться постоянным на протяжении всего этого движения. Более сильная версия этой теоремы утверждает, что инвариант Дена такого многогранника также должен оставаться инвариантным при любом непрерывном движении. Этот результат называется « теоремой о сильном мехе ». Это доказано для всех несамопересекающихся изгибаемых многогранников. Однако для более сложных изгибаемых многогранников с самопересечениями инвариант Дена может непрерывно изменяться по мере изгибания многогранника.

Общая средняя кривизна многогранной поверхности была определена как сумма длин ребер по краям, умноженная на внешние двугранные углы. Таким образом (для многогранников без рациональных углов) это линейная функция инварианта Дена, хотя она не дает полной информации об инварианте Дена. Доказано, что она остается постоянной для любого изгибающегося многогранника.

использованная литература

внешние ссылки

• Видео об инвариантах Дена на Numberphile