Перечислительная геометрия - Enumerative geometry

В математике , исчислительная геометрия является ветвью алгебраической геометрии , связанной с подсчетом числа решений геометрических вопросов, главным образом , с помощью теории пересечений .

История

Проблема Аполлония является одним из самых ранних примеров перечислительной геометрии. Эта задача требует количества и построения окружностей, которые касаются трех заданных окружностей, точек или прямых. В общем, задача для трех заданных окружностей имеет восемь решений, которые можно рассматривать как 2 ³ , причем каждое условие касания накладывает квадратичное условие на пространство окружностей. Однако для особого расположения данных кругов количество решений также может быть любым целым числом от 0 (без решений) до шести; нет договоренности, для которой существует семь решений проблемы Аполлония.

Ключевые инструменты

Ряд инструментов, от простых до более сложных, включают:

• Подсчет размеров
• Теорема Безу
• Исчисление Шуберта и более общие характеристические классы в когомологиях
• Связь подсчета пересечений с когомологиями есть двойственность Пуанкаре
• Изучение пространств модулей кривых, отображений и других геометрических объектов, иногда с помощью теории квантовых когомологий . Изучение квантовых когомологий , инвариантов Громова – Виттена и зеркальной симметрии дало значительный прогресс в гипотезе Клеменса .

Перечислительная геометрия очень тесно связана с теорией пересечений .

Исчисление Шуберта

Счетная геометрия получила впечатляющее развитие к концу девятнадцатого века под руководством Германа Шуберта . С этой целью он ввел исчисление Шуберта , которое доказало свою фундаментальную геометрическую и топологическую ценность в более широких областях. Конкретные потребности перечислительной геометрии не рассматривались до тех пор, пока в 1960-х и 1970-х годах им не было уделено дополнительное внимание (как, например, указал Стивен Клейман ). Числа пересечения были строго определены ( Андре Вейлем в рамках его основополагающей программы на 1942–1942 гг., А затем снова и снова), но это не исчерпало надлежащую область перечислительных вопросов.

Факторы Фаджа и пятнадцатая проблема Гильберта

Наивное применение подсчета размерностей и теоремы Безу дает неверные результаты, как показывает следующий пример. В ответ на эти проблемы алгебраические геометры ввели расплывчатые « ложные факторы », которые были строго оправданы лишь спустя десятилетия.

В качестве примера посчитайте конические сечения, касающиеся пяти заданных прямых на проективной плоскости . Коники составляют проективное пространство размерности 5, принимая их шесть коэффициентов в качестве однородных координат , а пять точек определяют конику , если точки находятся в общем линейном положении , поскольку прохождение через данную точку накладывает линейное условие. Точно так же касание к данной прямой L (касание - это пересечение с кратностью два) является одним квадратичным условием, таким образом определяя квадрику в P ⁵ . Однако линейная система дивизоров, состоящая из всех таких квадрик, не лишена базового множества . Фактически каждая такая квадрика содержит поверхность Веронезе , которая параметризует коники

( aX + bY + cZ ) ² = 0

называется «двойными линиями». Это происходит потому , что дабл пересекает линия , каждая линия на плоскости, так как линии в проективной плоскости пересекаются, с кратностью два , потому что она в два раза, и , таким образом , удовлетворяет тому же условию пересечение (пересечение кратности два) , как невырожденная коника , то есть касательной к линия.

Общая теорема Безу гласит, что 5 общих квадрик в 5-пространстве будут пересекаться в 32 = 2 ⁵ точках. Но соответствующие квадрики здесь не в общем положении . Из 32 необходимо вычесть 31 и отнести к веронезе, чтобы получить правильный ответ (с точки зрения геометрии), а именно 1. Этот процесс отнесения пересечений к «вырожденным» случаям является типичным геометрическим введением « выдумки». фактор ».

Пятнадцатая проблема Гильберта заключалась в том, чтобы преодолеть явно произвольный характер этих вмешательств; этот аспект выходит за рамки фундаментального вопроса самого исчисления Шуберта.

Гипотеза Клеменса

В 1984 г. Х. Клеменс изучил подсчет числа рациональных кривых на квинтике трехмерного многообразия и пришел к следующей гипотезе. ${\ Displaystyle X \ подмножество P ^ {4}}$

Пусть есть общая квинтика трехмерного многообразия, натуральное число, тогда существует только конечное число рациональных кривых со степенью на . ${\ Displaystyle X \ подмножество P ^ {4}}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle X}$

Эта гипотеза была разрешена в случае , но все еще открыта для дальнейшего . ${\ displaystyle d \ leq 9}$${\ displaystyle d}$

В 1991 году в статье о зеркальной симметрии на пятой тройке с точки зрения теории струн приведены числа рациональных кривых степени d для всех . До этого алгебраические геометры могли вычислять эти числа только для . ${\ displaystyle P ^ {4}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle d> 0}$${\ displaystyle d \ leq 5}$

Примеры

Некоторые из исторически важных примеров перечислений в алгебраической геометрии включают:

• 2 Количество линий, пересекающихся с 4 общими линиями в пространстве
• 8 Число касательных окружностей к трем общим окружностям ( проблема Аполлония ).
• 27 Количество линий на гладкой кубической поверхности ( Салмон и Кэли )
• 2875 Число строк в общей пятерке.
• 3264 Количество коник, касательных к 5 плоским коникам общего положения ( Chasles )
• 609250 Число коник на общей квинтике трехмерной
• 4407296 Число коник, касательных к 8 общим квадратичным поверхностям Fulton (1984 , стр. 193)
• 666841088 Число квадратичных поверхностей, касательных к 9 заданным квадратичным поверхностям общего положения в 3-мерном пространстве ( Schubert 1879 , p.106) ( Fulton 1984 , p. 193) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFSchubert1879 ( справка )
• 5819539783680 Число скрученных кубических кривых, касательных к 12 заданным квадратичным поверхностям общего положения в 3-пространстве ( Schubert 1879 , p.184) (S. Kleiman , SA Strømme & S. Xambó  1987 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFSchubert1879 ( справка )

Рекомендации

• Kleiman, S .; Strømme, SA; Шамбо, С. (1987), "Набросок проверки числа Шуберта 5819539783680 скрученных кубиков", Пространственные кривые (Рокка ди Папа, 1985) , Конспект лекций по математике, 1266 , Берлин: Springer, стр. 156–180, DOI : 10.1007 / BFb0078183 , ISBN   978-3-540-18020-3 , Руководство по ремонту   0908713
• Schubert, Hermann (1979) [1879], Kleiman, Steven L. (ed.), Kalkül der abzählenden Geometrie , Перепечатка оригинала 1879 года (на немецком языке), Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN   3-540-09233-1 , Руководство по ремонту   0555576

Внешние ссылки

• Башелор, Эндрю; Ксир, Эми; Травес, Уилл (2008). «Перечислительная алгебраическая геометрия коник» . Амер. Математика. Ежемесячно . 115 (8): 701–7. DOI : 10.1080 / 00029890.2008.11920584 . JSTOR   27642583 .