Лицо (геометрия) - Face (geometry)
В твердой геометрии , A поверхность представляет собой плоскую поверхность (а плоская область ) , что образует часть границы твердого объекта; трехмерное тело, ограниченное исключительно гранями, является многогранником .
В более технических трактовках геометрии многогранников и многомерных многогранников этот термин также используется для обозначения элемента любой размерности более общего многогранника (в любом количестве измерений).
Полигональное лицо
В элементарной геометрии грань - это многоугольник на границе многогранника . Другие названия для многоугольных лиц включают в себя сторону многогранника и плитки евклидовой плоскости тесселяции .
Например, любой из шести квадратов , ограничивающих куб, является гранью куба. Иногда «грань» также используется для обозначения двумерных элементов 4-многогранника . В этом смысле четырехмерный тессеракт имеет 24 квадратных грани, каждая из которых имеет две из 8 кубических ячеек.
| Многогранник | Звездный многогранник | Евклидова мозаика | Гиперболическая мозаика | 4-многогранник |
|---|---|---|---|---|
| {4,3} | {5 / 2,5} | {4,4} | {4,5} | {4,3,3} |
 Куб имеет 3 квадратных граней для каждой вершины. |
 Небольшой звездчатый додекаэдр имеет 5 pentagrammic граней каждой вершины. |
 Площадь плиточные в евклидовой плоскости имеет 4 квадратных граней для каждой вершины. |
 Порядка 5 квадратных плитка имеет 5 квадратных граней для каждой вершины. |
 У тессеракта по 3 квадратных грани на каждое ребро. |
Количество многоугольных граней многогранника
Поверхность любого выпуклого многогранника имеет эйлерову характеристику
где V - количество вершин , E - количество ребер , а F - количество граней. Это уравнение известно как формула многогранника Эйлера . Таким образом, количество граней на 2 больше, чем превышение количества ребер над количеством вершин. Например, у куба 12 ребер и 8 вершин, а значит, 6 граней.
k -face
В многомерной геометрии грани многогранника являются объектами всех измерений. Грань размерности k называется k- гранью. Например, многоугольные грани обычного многогранника - это 2-грани. В теории множеств набор граней многогранника включает сам многогранник и пустое множество, где пустое множество предназначено для согласованности с учетом «размерности» -1. Для любого n -многогранника ( n -мерного многогранника) −1 ≤ k ≤ n .
Например, в этом значении грани куба включают сам куб (3-грань), его (квадратные) грани (2-грани), (линейные) ребра (1-грани), (точечные) вершины (0- лиц) и пустое множество. Являются следующие лица о наличии 4-мерного многогранника :
- 4-лицо - 4-мерный 4-многогранника самого
- 3-грани - 3-мерные ячейки ( многогранные грани)
- 2-грани - 2-мерные ребра ( многоугольные грани)
- 1-грань - 1-мерные ребра
- 0-faces - 0-мерные вершины
- пустое множество, имеющее размерность -1
В некоторых областях математики, таких как полиэдральная комбинаторика , многогранник по определению является выпуклым. Формально грань многогранника Р есть пересечение P с любой замкнутой полупространстве , граница которой не пересекается с внутренней частью Р . Из этого определения следует, что множество граней многогранника включает сам многогранник и пустое множество.
В других областях математики, таких как теории абстрактных многогранников и звездных многогранников , требование выпуклости ослаблено. Абстрактная теория по-прежнему требует, чтобы набор граней включал сам многогранник и пустое множество.
Сотовый или 3-х сторонний
Клетка представляет собой многогранный элемент ( 3-грань ) из 4-мерного многогранника или 3-мерной тесселяции или выше. Ячейки являются фасетами для 4-многогранников и 3-сот.
Примеры:
| 4-многогранники | 3-соты | ||
|---|---|---|---|
| {4,3,3} | {5,3,3} | {4,3,4} | {5,3,4} |
|
Тессеракт имеет 3 кубических клеток (3-граней) за края. |
 120-клетки имеют 3 додекаэдрические клетки (3-граней) за края. |
 Кубические сотовое заполняет евклидово 3-пространство с кубиками, с 4 - клетками (3-граней) на край. |
 Порядок-4 додекаэдрические сотовые заполняет 3-мерное гиперболического пространство с додекаэдрами, 4 клетки (3-граней) за края. |
Фасет или ( n - 1) -грань
В многомерной геометрии фасеты (также называемые гипергранями ) n- многогранника - это ( n -1) -грани (грани размерности на единицу меньше, чем сам многогранник). Многогранник ограничен своими гранями.
Например:
- Грани линейного сегмента - это его 0-грани или вершины .
- Грани многоугольника - это его 1-грани или ребра .
- Грани многогранника или плоского замощения - это его 2-грани .
- Грани 4- мерного многогранника или 3-соты являются его 3-гранями или ячейками.
- Грани 5D многогранника или 4-соты являются его 4-гранями .
Ридж или ( n - 2) -лицо
В соответствующей терминологии ( n - 2) - грани s n -многогранника называются гребнями (также подгранями ). Гребень рассматривается как граница между двумя гранями многогранника или соты.
Например:
- Ребра двумерного многоугольника или одномерного мозаичного объекта являются его 0-гранями или вершинами .
- Ребра трехмерного многогранника или плоской мозаики являются его 1-гранями или ребрами .
- Гребни 4- мерного многогранника или 3-соты являются его 2-гранями или просто гранями .
- Гребни 5D многогранника или 4-соты являются его 3-гранями или ячейками .
Пик или ( n - 3) -лицо
( П - 3) - лица с Ап п -многогранник называются пики . Пик содержит ось вращения граней и гребней в правильном многограннике или сотах.
Например:
- Вершины трехмерного многогранника или плоской мозаики являются его 0-гранями или вершинами .
- Вершины 4- мерного многогранника или 3-соты являются его 1-гранями или ребрами .
- Вершины 5D многогранника или 4-соты являются его 2-гранями или просто гранями .