Геометрия Галуа - Galois geometry

Фано плоскость , то проективная плоскость над полем из двух элементов, является одним из самых простых объектов в геометрии Галуа.

Геометрия Галуа (названная так в честь французского математика 19 века Эвариста Галуа ) - это ветвь конечной геометрии, которая занимается алгебраической и аналитической геометрией над конечным полем (или полем Галуа ). Более узко, геометрия Галуа может быть определена как проективное пространство над конечным полем.

Объектами изучения являются аффинные и проективные пространства над конечными полями и различные структуры, которые в них содержатся. В частности, дуги , овалы , гиперовалы , униталы , блокирующие множества , овоиды , заглушки, развороты и все конечные аналоги структур, встречающихся в нефинитных геометриях. Векторные пространства, определенные над конечными полями, играют важную роль, особенно в методах построения.

Проективные пространства над конечными полями

Обозначение

Хотя иногда используются общие обозначения проективной геометрии , чаще проективные пространства над конечными полями обозначают через $PG (n, q)$ , где $n$ - «геометрическое» измерение (см. Ниже), а $q$ - порядок конечное поле (или поле Галуа) $GF (q)$ , которое должно быть целым числом, которое является простым числом или степенью простого числа.

Геометрические размеры в приведенном выше обозначениях относятся к системе , в результате чего линия 1-мерная, самолеты 2-мерные, точка 0-мерная и т.д. модификатор, иногда термин проективные вместо геометрического используются, необходимо , так как эта концепция размерности отличается от концепции, используемой для векторных пространств (то есть количества элементов в базисе). Обычно наличие двух разных концепций с одним и тем же именем не вызывает особых затруднений в разных областях из-за контекста, но в этом предмете важную роль играют как векторные пространства, так и проективные пространства, и весьма вероятно возникновение путаницы. Концепция векторного пространства иногда упоминается как алгебраическая размерность.

Строительство

Пусть $V = V (n + 1, q)$ обозначает векторное пространство (алгебраической) размерности $n + 1,$ определенное над конечным полем $GF (q)$ . Проективное пространство $PG (п, д)$ состоит из всех положительных (алгебраического) мерных векторных подпространств $V$ . Альтернативный способ просмотра конструкции состоит в определении точки из $PG (п, д)$ как классы эквивалентности этих ненулевых векторов $V$ по отношению эквивалентности которой два вектора эквивалентен , если один является скалярным кратным других. Затем из точек строятся подпространства с использованием определения линейной независимости множеств точек.

Подпространства

Векторное подпространство алгебраической размерности $d + 1$ в $V$ является (проективным) подпространством в $PG (n, q)$ геометрической размерности $d$ . Проективным подпространствам даны общие геометрические имена; точки, линии, плоскости и твердые тела - это 0,1,2 и 3-мерные подпространства соответственно. Все пространство является $n-$ мерным подпространством, а ( $n - 1$ ) -мерное подпространство называется гиперплоскостью (или простым).

Количество векторных подпространств алгебраической размерности $d$ в векторном пространстве $V (n, q)$ задается гауссовским биномиальным коэффициентом ,

{\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} n \\ d \ end {matrix}} \ right] _ {q} = {\ frac {(q ^ {n} -1) (q ^ {n} - q) \ cdots (q ^ {n} -q ^ {d-1})} {(q ^ {d} -1) (q ^ {d} -q) \ cdots (q ^ {d} -q ^ {d-1})}}.}

Следовательно, количество $k-$ мерных проективных подпространств в $PG (n, q)$ определяется выражением

{\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} n + 1 \\ k + 1 \ end {matrix}} \ right] _ {q} = {\ frac {(q ^ {n + 1} -1) ( q ^ {n + 1} -q) \ cdots (q ^ {n + 1} -q ^ {k})} {(q ^ {k + 1} -1) (q ^ {k + 1} -q ) \ cdots (q ^ {k + 1} -q ^ {k})}}.}

Так, например, количество строк ( $k$ = 1) в PG (3,2) равно

{\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} 4 \\ 2 \ end {matrix}} \ right] _ {2} = {\ frac {(2 ^ {4} -1) (2 ^ {4} - 2)} {(2 ^ {2} -1) (2 ^ {2} -2)}} = {\ frac {(15) (14)} {(3) (2)}} = 35.}

Отсюда следует, что общее количество точек ( $k$ = 0) $P = PG (n, q)$ равно

{\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} n + 1 \\ 1 \ end {matrix}} \ right] _ {q} = {\ frac {(q ^ {n + 1} -1)} {( q-1)}} = q ^ {n} + q ^ {n-1} + \ cdots + q + 1.}

Это также равно числу гиперплоскостей $Р$ .

Можно вычислить количество линий, проходящих через точку $P,$ и это также количество гиперплоскостей, проходящих через фиксированную точку. ${\ Displaystyle д ^ {п-1} + д ^ {п-2} + \ cdots + д + 1}$

Пусть $U$ и $W$ - подпространства геометрии Галуа $P = PG (n, q)$ . Пересечение $U \cap W$ является подпространством в $P$ , но теоретико-множественное объединение может и не быть. Присоединиться из этих подпространств, обозначаемых $< U, W >$ , является наименьшим подпространством $P$ , которое содержит $U$ и $W$ . Размеры соединения и пересечения этих двух подпространств связаны формулой

{\ Displaystyle | <U, W> | = | U | + | W | - | U \ cap W |.}

Координаты

Относительно фиксированного базиса каждый вектор в $V$ однозначно представлен ( $n + 1$ ) -набором элементов $GF (q)$ . Проективная точка - это класс эквивалентности векторов, поэтому существует много разных координат (векторов), которые соответствуют одной и той же точке. Однако все они связаны друг с другом, поскольку каждый является ненулевым скалярным кратным другим. Это дает начало концепции однородных координат, используемых для представления точек проективного пространства.

История

Джино Фано был одним из первых писателей в области геометрии Галуа. В своей статье 1892 года, доказывая независимость своего набора аксиом для проективного n -пространства, он , среди прочего, считал, что последствия наличия четвертой гармонической точки равны ее сопряженной. Это приводит к конфигурации из семи точек и семи линий, содержащихся в конечном трехмерном пространстве с 15 точками, 35 линиями и 15 плоскостями, в котором каждая линия содержит только три точки. Все плоскости в этом пространстве состоят из семи точек и семи линий и теперь известны как плоскости Фано . Фано продолжил описывать геометрии Галуа произвольной размерности и простых порядков.

Джордж Конвелл впервые применил геометрию Галуа в 1910 году, когда охарактеризовал решение проблемы Киркмана о школьнице как разбиение множеств косых линий в PG (3,2) , трехмерной проективной геометрии над полем Галуа GF (2). . Подобно методам линейной геометрии в пространстве над полем характеристики 0 , Конвелл использовал координаты Плюккера в PG (5,2) и идентифицировал точки, представляющие прямые в PG (3,2), как точки на квадрике Клейна .

В 1955 году Бениамино Сегре охарактеризовал овалы как q нечетное. Теорема Сегре утверждает, что в геометрии Галуа нечетного порядка (то есть проективной плоскости, определенной над конечным полем нечетной характеристики ) каждый овал является коникой . Этому результату часто приписывают установление геометрии Галуа как важной области исследований. На Международном математическом конгрессе 1958 г. Сегре представил обзор известных к тому времени результатов по геометрии Галуа.

Смотрите также

Геометрия падения

Примечания

использованная литература

Бойтельшпахер, Альбрехт; Розенбаум, Юте (1998), Проективная геометрия / От основ до приложений , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-48364-3
Коллино, Альберто; Конте, Альберто; Верра, Алессандро (2013). «О жизни и научной деятельности Джино Фано». arXiv : 1311.7177 .
Де Бёль, Ян; Сторм, Лео (2011), Текущие темы исследований в геометрии Галуа , Nova Science Publishers, ISBN 978-1-61209-523-3
Хиршфельд, JWP (1979), Проективные геометрии над конечными полями , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-850295-1, подчеркивая размеры один и два.CS1 maint: postscript ( ссылка )
Хиршфельд, JWP (1985), Конечные проективные пространства трех измерений , Oxford University Press , ISBN 0-19-853536-8, размер 3.CS1 maint: postscript ( ссылка )
Хиршфельд, JWP ; Thas, JA (1992), Общая геометрия Галуа , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853537-9, относясь к общему размеру.CS1 maint: postscript ( ссылка )

внешние ссылки

Геометрия Галуа в энциклопедии математики, SpringerLink

Languages

In other projects