Род (математика) - Genus (mathematics)
В математике , род (множественное число родов ) имеет несколько различных, но тесно связаны между собой , значения. Вероятно, самый быстрый, простой и интуитивно понятный способ ввести род - это количество «дырок» на поверхности . Итак, сфера имеет род 0, а тор - род 1.
Топология
Ориентируемые поверхности
Род из подключенной , ориентируемой поверхности представляет собой целое число , представляющее максимальное количество черенков вдоль непересекающихся замкнутых простых кривых без рендеринга результирующего коллектора отключены. Он равен количеству ручек на нем. В качестве альтернативы его можно определить в терминах эйлеровой характеристики χ через соотношение χ = 2–2 g для замкнутых поверхностей , где g - род. Для поверхностей с граничными компонентами b уравнение имеет вид χ = 2 - 2 g - b . С точки зрения непрофессионала, это количество «дырок» в объекте («дырки» интерпретируются как дырки от бублика; в этом смысле полая сфера будет считаться не имеющей дыр). Пончик или тор имеет 1 такое отверстие, а сфера - 0. На изображенной выше зеленой поверхности есть 2 отверстия соответствующего типа.
Например:
- Сфера S 2 и диска оба имеет рода нуль.
- Тор имеет род один, как это делает поверхность кружка кофе с ручкой. Отсюда шутка «топологи - это люди, которые не могут отличить пончик от кофейной кружки».
Явное построение поверхностей рода g дается в статье о фундаментальном многоугольнике .
Проще говоря, ценность рода ориентируемой поверхности равна количеству «дырок», которые она имеет.
Неориентируемые поверхности
В неориентируемом роде , demigenus или Эйлер род связной, неориентируемой замкнутой поверхности является положительным целым числом , представляющее количество поперечных крышек , прикрепленных к сфере . В качестве альтернативы его можно определить для замкнутой поверхности в терминах эйлеровой характеристики χ с помощью соотношения χ = 2 - k , где k - неориентируемый род.
Например:
- Вещественная проективная плоскость имеет неориентируемого род один.
- Бутылка Клейна имеет неориентируемой род два.
Морской узел
Родом из узла K определяются как минимальный родом все Seifert поверхностей для K . Однако поверхность Зейферта узла - это многообразие с краем , которое является узлом, т. Е. Гомеоморфным единичной окружности. Род такой поверхности определяется как род двумерного многообразия, которое получается склейкой единичного круга по границе.
Ручка
В роде из 3-мерного кренделя представляет собой целое число , представляющее максимальное количество черенков вдоль вложенных дисков без рендеринга результирующего коллектора отключен. Он равен количеству ручек на нем.
Например:
- У шара нулевой род.
- Полный тор D 2 × S 1 имеет род один.
Теория графов
Родом из графа есть минимальное целое число п такая , что граф можно сделать , не пересекая себя на сфере с п ручками (т.е. ориентированной поверхности рода п ). Таким образом, планарный граф имеет род 0, потому что его можно нарисовать на сфере без самопересечения.
В неориентируемом роде из в графе есть минимальное целое число п такая , что граф можно сделать , не пересекая себя на сфере с п поперечных колпачков (т.е. неориентируемая поверхность (неориентируемом) родом п ). (Это число также называют полукругом .)
Род Эйлера - это минимальное целое число n такое, что граф можно нарисовать, не пересекая себя, на сфере с n перекрестными заглавными буквами или на сфере с n / 2 ручками.
В топологической теории графов существует несколько определений рода группы . Артур Т. Уайт ввел следующую концепцию. Родом группы G является минимальным родом (связным) неориентированного графа Кэлей для G .
Проблема рода графов является NP-полной .
Алгебраическая геометрия
Есть два связанных определения рода любой проективной алгебраической схемы X : арифметический род и геометрический род . Когда Х представляет собой алгебраическую кривую с полем определения в комплексных чисел , и если Х не имеет особых точек , то эти определения соглашаются и совпадают с топологическим определением применительно к римановой поверхности из X (ее многообразия комплексных точек). Например, определение эллиптических кривой из алгебраической геометрии является связным неособым проективным кривым родом 1 с заданной рациональной точкой на ней .
По теореме Римана – Роха неприводимая плоская кривая степени, заданной исчезающим множеством сечения, имеет геометрический род
где s - количество особенностей при правильном подсчете.
Биология
Род можно также вычислить для графика, охватываемого сетью химических взаимодействий в нуклеиновых кислотах или белках. В частности, можно изучать рост рода по цепи. Такая функция (называемая следом рода) показывает топологическую сложность и доменную структуру биомолекул.
Смотрите также
- Группа (математика)
- Арифметический род
- Геометрический род
- Род мультипликативной последовательности
- Род квадратичной формы
- Род Spinor
Цитаты
использованная литература
- Попеску-Пампу, Патрик (2016). Что такое род? . Springer Verlag . ISBN 978-3-319-42312-8.