Уравнение потока грунтовых вод - Groundwater flow equation

Используется в гидрогеологии , то уравнение поток подземных вод представляет собой математическое отношение , которое используется для описания потока грунтовых вод через водоносный слой . Переходный поток грунтовых вод описывается формой уравнения диффузии , подобный тому , который используется в передаче тепла для описания потока тепла в виде твердого вещества ( теплопроводности ). Стационарный поток подземных вод описывается формой уравнения Лапласа , которое является формой потенциального потока и имеет аналоги во многих областях.

Уравнение потока грунтовых вод часто выводится для небольшого репрезентативного элементного объема (REV), где свойства среды считаются практически постоянными. Баланс массы выполняется для воды, втекающей в этот небольшой объем и из него, причем параметры потока в соотношении выражаются в единицах напора с помощью определяющего уравнения, называемого законом Дарси , которое требует, чтобы поток был ламинарным. Другие подходы основаны на агентных моделях, чтобы учесть влияние сложных водоносных горизонтов, таких как карстовые или трещиноватые породы (например, вулканические).

Баланс массы

Баланс массы должен быть выполнен и использован вместе с законом Дарси , чтобы прийти к уравнению нестационарного потока грунтовых вод. Этот баланс аналогичен балансу энергии, используемому при передаче тепла для получения уравнения теплопроводности . Это просто отчет о том, что для данного контрольного объема, помимо источников или стоков, масса не может быть создана или уничтожена. Сохранение массы утверждает, что для данного приращения времени ( Δt ) разница между массой, протекающей через границы, массой, истекающей через границы, и источниками в объеме, является изменением в хранении.

${\ displaystyle {\ frac {\ Delta M_ {stor}} {\ Delta t}} = {\ frac {M_ {in}} {\ Delta t}} - {\ frac {M_ {out}} {\ Delta t }} - {\ frac {M_ {gen}} {\ Delta t}}}$

Уравнение диффузии (нестационарный поток)

Массу можно представить как плотность, умноженную на объем , и в большинстве случаев воду можно считать несжимаемой (плотность не зависит от давления). Потоки массы через границы затем становятся объемными потоками (как это обнаруживается в законе Дарси ). Использование рядов Тейлора для представления входящих и исходящих потоков через границы контрольного объема и использование теоремы расходимости для преобразования потока через границу в поток через весь объем, окончательная форма уравнения потока грунтовых вод (в дифференциальном форма) это:

${\ displaystyle S_ {s} {\ frac {\ partial h} {\ partial t}} = - \ nabla \ cdot qG.}$

В других областях это известно как уравнение диффузии или уравнение теплопроводности, это параболическое уравнение в частных производных (PDE). Это математическое утверждение указывает, что изменение гидравлического напора со временем (левая сторона) равно отрицательному расхождению потока ( q ) и исходных членов ( G ). В этом уравнении неизвестны как напор, так и поток, но закон Дарси связывает поток с гидравлическим напором, поэтому его замена на поток ( q ) приводит к

${\ displaystyle S_ {s} {\ frac {\ partial h} {\ partial t}} = - \ nabla \ cdot (-K \ nabla h) -G.}$

Теперь, если гидравлическая проводимость ( K ) является пространственно однородной и изотропной (а не тензорной ), ее можно вынести из пространственной производной, упростив их до лапласиана , это приведет к уравнению

${\ displaystyle S_ {s} {\ frac {\ partial h} {\ partial t}} = K \ nabla ^ {2} hG.}$

Разделение на конкретный накопитель ( S _s ) помещает коэффициент гидравлической диффузии ( α = K / S _s или, что эквивалентно, α = T / S ) с правой стороны. Гидравлический коэффициент диффузии пропорционален скорости, с которой конечный импульс давления будет распространяться через систему (большие значения α приводят к быстрому распространению сигналов). Уравнение потока грунтовых вод тогда принимает вид

${\ displaystyle {\ frac {\ partial h} {\ partial t}} = \ alpha \ nabla ^ {2} hG.}$

Если член "поглотитель / источник", G , теперь имеет те же единицы, но делится на соответствующий срок хранения (как определено заменой коэффициента гидравлической диффузии).

Прямоугольные декартовы координаты

В частности, при использовании конечно-разностных моделей с прямоугольной сеткой ( например, MODFLOW , разработанная USGS ) мы имеем дело с декартовыми координатами . В этих координатах общий лапласовский оператор принимает вид (для трехмерного потока), в частности,

${\ displaystyle {\ frac {\ partial h} {\ partial t}} = \ alpha \ left [{\ frac {\ partial ^ {2} h} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac { \ partial ^ {2} h} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} h} {\ partial z ^ {2}}} \ right] -G.}$

Код MODFLOW дискретизирует и моделирует ортогональную трехмерную форму основного уравнения потока подземных вод. Однако у него есть возможность работать в «квази-3D» режиме, если пользователь желает этого; в этом случае модель имеет дело с усредненными по вертикали T и S , а не с k и S _s . В квази-трехмерном режиме поток рассчитывается между двухмерными горизонтальными слоями с использованием концепции утечки.

Круговые цилиндрические координаты

Другой полезной системой координат являются трехмерные цилиндрические координаты (обычно, когда насосная скважина представляет собой линейный источник, расположенный в начале координат - параллельно оси z, вызывающий сходящийся радиальный поток). В этих условиях приведенное выше уравнение становится ( r - радиальное расстояние, θ - угол),

${\ displaystyle {\ frac {\ partial h} {\ partial t}} = \ alpha \ left [{\ frac {\ partial ^ {2} h} {\ partial r ^ {2}}} + {\ frac { 1} {r}} {\ frac {\ partial h} {\ partial r}} + {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} h} {\ partial \ theta ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} h} {\ partial z ^ {2}}} \ right] -G.}$

Предположения

Это уравнение представляет поток в насосную скважину (сток прочности G ), расположенный в начале координат. И это уравнение, и декартова версия, приведенная выше, являются фундаментальным уравнением в потоке грунтовых вод, но чтобы прийти к этому пункту, требуется значительное упрощение. Некоторые из основных допущений, которые вошли в оба этих уравнения:

• материал водоносного горизонта несжимаем (отсутствие изменений в матрице из-за изменений давления - так называемое проседание),
• вода постоянной плотности (несжимаемая),
• любые внешние нагрузки на водоносный горизонт (например, перекрывающие породы , атмосферное давление ) постоянны,
• для одномерной радиальной задачи насосная скважина полностью проходит через негерметичный водоносный горизонт,
• грунтовые воды текут медленно ( число Рейнольдса меньше единицы), и
• гидравлическая проводимость ( K ) является изотропным скаляром .

Несмотря на эти большие допущения, уравнение потока грунтовых вод хорошо справляется с представлением распределения напоров в водоносных горизонтах из-за временного распределения источников и стоков.

Уравнение Лапласа (установившееся течение)

Если водоносный горизонт имеет граничные условия подпитки, может быть достигнуто установившееся состояние (или его можно использовать в качестве приближения во многих случаях), а уравнение диффузии (см. Выше) упрощается до уравнения Лапласа .

${\ Displaystyle 0 = \ альфа \ набла ^ {2} ч}$

Это уравнение утверждает, что гидравлический напор является гармонической функцией и имеет много аналогов в других областях. Уравнение Лапласа может быть решено с использованием методов, с использованием аналогичных предположений, изложенных выше, но с дополнительными требованиями стационарного поля потока.

Обычным методом решения этого уравнения в гражданском строительстве и механике грунтов является использование графической техники рисования сетей ; где контурные линии гидравлического напора и функция тока образуют криволинейную сетку , позволяющую приближенно решать сложные геометрические формы.

Устойчивый поток в насосную скважину (который никогда не возникает, но иногда является полезным приближением) обычно называют решением Тима .

Двумерный поток подземных вод

Приведенные выше уравнения потока грунтовых вод действительны для трехмерного потока. В неограниченных водоносных горизонтах решение трехмерной формы уравнения усложняется наличием граничного условия уровня свободной поверхности грунтовых вод : в дополнение к решению для пространственного распределения напоров, местоположение этой поверхности также неизвестно. Это нелинейная задача, хотя основное уравнение является линейным.

Альтернативная формулировка уравнения потока грунтовых вод может быть получена путем использования допущения Дюпюи – Форххаймера , где предполагается, что напоры не меняются в вертикальном направлении (т. Е. ). Горизонтальный водный баланс применяется к длинной вертикальной колонне, площадь которой простирается от основания водоносного горизонта до ненасыщенной поверхности. Это расстояние называется насыщенной толщиной , б . В замкнутом водоносном горизонте насыщенная толщина определяется высотой водоносного горизонта H , а напор везде отличен от нуля. В неограниченном водоносном горизонте , то насыщенная толщина определяются как расстояние по вертикали между поверхностью воды и таблицами водоносной базой. Если , и основание водоносного горизонта находится в нулевой точке отсчета, тогда неограниченная насыщенная толщина равна напору, т. Е. B = h . ${\ Displaystyle \ частичный ч / \ частичный г = 0}$${\ displaystyle \ delta x \ delta y}$${\ Displaystyle \ частичный ч / \ частичный г = 0}$

Предполагая , как гидравлическая проводимость и горизонтальные компоненты потока однородны по всей толщине насыщенного водоносного пласта (то есть, и ), мы можем выразить закон Дарси с точки зрения интегрированных сбросов подземных вод , Q _х и Q _у : ${\ displaystyle \ partial q_ {x} / \ partial z = 0}$${\ displaystyle \ partial K / \ partial z = 0}$

${\ displaystyle Q_ {x} = \ int _ {0} ^ {b} q_ {x} dz = -Kb {\ frac {\ partial h} {\ partial x}}}$

${\ displaystyle Q_ {y} = \ int _ {0} ^ {b} q_ {y} dz = -Kb {\ frac {\ partial h} {\ partial y}}}$

Вставляя их в наше выражение баланса массы , мы получаем общее двумерное управляющее уравнение для потока несжимаемых насыщенных грунтовых вод:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial nb} {\ partial t}} = \ nabla \ cdot (Kb \ nabla h) + N.}$

Где n - пористость водоносного горизонта . Термин источника, N (длина за время), представляет добавление воды в вертикальном направлении (например, подпитка). Путем включения правильных определений для насыщенной толщины , удельного хранения и удельного выхода мы можем преобразовать это в два уникальных управляющих уравнения для замкнутых и неограниченных условий:

${\ Displaystyle S {\ frac {\ partial h} {\ partial t}} = \ nabla \ cdot (Kb \ nabla h) + N.}$

(ограниченно), где S = S _сек Ь является водоносным storativity и

${\ displaystyle S_ {y} {\ frac {\ partial h} {\ partial t}} = \ nabla \ cdot (Kh \ nabla h) + N.}$

(неограниченный), где S _y - удельная производительность водоносного горизонта.

Обратите внимание, что уравнение в частных производных в неограниченном случае является нелинейным, тогда как оно является линейным в ограниченном случае. Для неограниченного стационарного потока эта нелинейность может быть устранена путем выражения PDE через квадрат напора:

${\ displaystyle \ nabla \ cdot (K \ nabla h ^ {2}) = - 2N.}$

Или, для однородных водоносных горизонтов,

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} h ^ {2} = - {\ frac {2N} {K}}.}$

Эта формулировка позволяет нам применять стандартные методы для решения линейных уравнений в частных производных в случае неограниченного потока. Для неоднородных водоносных горизонтов без подпитки методы потенциального потока могут применяться для смешанных замкнутых / неограниченных случаев.

Смотрите также

• Метод аналитических элементов
  • Численный метод, используемый для решения дифференциальных уравнений в частных производных
• Допущение Дюпюи-Форххаймера
  • Упрощение уравнения потока грунтовых вод относительно вертикального потока
• Энергетический баланс подземных вод
  • Уравнения потока подземных вод на основе энергетического баланса
• Уравнение Ричардса

использованная литература

дальнейшее чтение

• Х. Ф. Ван и М. П. Андерсон Введение в моделирование подземных вод: методы конечных разностей и конечных элементов
  • Отличное чтение для начинающих по моделированию грунтовых вод. Охватывает все основные концепции с простыми примерами в FORTRAN 77 .
• Фриз, Р. Аллан; Черри, Джон А. (1979). Подземные воды . Прентис Холл. ISBN  978-0133653120 .

внешние ссылки

• Программное обеспечение USGS для подземных вод - бесплатное программное обеспечение для моделирования подземных вод, такое как MODFLOW
• Гидрология подземных вод ( MIT OpenCourseware )