Групповая задержка и фазовая задержка - Group delay and phase delay

В обработке сигналов , групповая задержка представляет собой задержка времени амплитуды огибающих различных синусоидальных компонентов сигнала через тестируемое устройство , и является функцией частоты для каждого компонента. Фазовая задержка , напротив, представляет собой временную задержку фазы в противоположность временной задержке огибающей амплитуды .

Все частотные компоненты сигнала задерживаются при прохождении через устройство, такое как усилитель, громкоговоритель, или при распространении через пространство или среду, например воздух. Эта задержка сигнала будет разной для разных частот, если только устройство не имеет свойства линейной фазы . Изменение задержки означает, что сигналы, состоящие из нескольких частотных компонентов, будут искажаться, потому что эти компоненты не задерживаются на такое же количество времени на выходе устройства. Это изменяет форму сигнала в дополнение к любой постоянной задержке или изменению масштаба. При достаточно большой разброс задержки может вызвать такие проблемы, как плохая точность в аудио или межсимвольной интерференция (ISI) в демодуляции из цифровой информации из аналогового сигнала несущего . В высокоскоростных модемах используются адаптивные эквалайзеры для компенсации непостоянной групповой задержки.

Для такого устройства, как усилитель или телекоммуникационная система, групповая задержка и фазовая задержка - это рабочие характеристики устройства, которые помогают охарактеризовать временную задержку, которая представляет собой количество времени, в течение которого различные частотные компоненты сигнала проходят через устройство от входа до выхода. . Если это время не соответствует определенным требованиям, устройство будет способствовать искажению сигнала. Например, достаточное количество искажений приравнивается к плохой точности в видео или аудио или к высокой частоте ошибок по битам в цифровом потоке битов.

Фазовая задержка напрямую измеряет временную задержку устройства или системы отдельных частотных компонентов. Для модулированного сигнала, который необходимо демодулировать, чтобы восстановить исходную логику сигнала, необходимо использовать групповую задержку с модулированным сигналом для определения временной задержки демодулированного сигнала.

В этой статье обсуждается базовая теория свойства фазовой характеристики устройства, на основе которой можно точно рассчитать фазовую задержку устройства и свойства групповой задержки. Далее в статье проиллюстрированы теория и варианты использования этих связанных свойств устройства.

Вступление

Фазовая задержка

Линейная инвариантная во времени (LTI) система или устройство имеет свойство фазовой характеристики, на основе которого можно точно рассчитать фазовую задержку устройства. Фазовая задержка дает временную задержку различных частотных компонентов сигнала. Поскольку фазовая задержка является функцией частоты, дающей временную задержку, отклонение от плоского графика ее функции может выявить различия во времени задержки между различными частотными компонентами сигнала, и в этом случае эти различия будут способствовать искажению сигнала, что проявляется в виде выходного сигнала. форма волны сигнала отличается от формы входного сигнала. Свойство фазовой задержки в целом не дает полезной информации, если вход устройства является модулированным сигналом. Для этого необходимо использовать групповую задержку.

Групповая задержка

Рис. 1. Внешний и внутренний LTI-устройства

Базовый вариант использования групповой задержки проиллюстрирован на рис. 1, на котором показано внешнее устройство LTI, которое само содержит внутреннее (красный блок) устройство LTI. Одна версия сигнала состоит из частотных компонентов в исходном частотном диапазоне основной полосы частот, а другая версия сигнала, несущего ту же информацию, является модулированным сигналом, который состоит из частотных компонентов, которые были сдвинуты модулятором в более высокий частотный диапазон полосы пропускания . Демодулятор делает обратное, сдвигая частоту обратно к исходному диапазону основной полосы частот. В идеале выходной (основная полоса) сигнал представляет собой версию входного (основная полоса) с задержкой по времени, где форма сигнала на выходе идентична форме сигнала на входе.

В ограниченных ситуациях свойство групповой задержки красного внутреннего устройства может быть прокси для фазовой задержки внешнего устройства; фазовая задержка внешнего устройства является значимым показателем производительности. Например, если внутренняя задержка красного устройства группы полностью плоская, внешнее устройство также будет иметь идеал совершенно плоскую фазовую задержку, где вклад искажений из - за фазовый отклик наружной LTi устройства, полностью определяется внутреннее устройство это возможно , различная фазовая характеристика , исключена. В этом случае и групповая задержка внутреннего красного устройства, и фазовая задержка внешнего устройства дают одно и то же значение для временной задержки сигнала от входа основной полосы до выхода основной полосы частот. Важно отметить, что внутреннее (красное) устройство может иметь очень непостоянную фазовую задержку (но плоскую групповую задержку), в то время как внешнее устройство имеет идеальную идеально ровную фазовую задержку. Это к счастью, потому что в конструкции устройства LTI легче достичь плоской групповой задержки, чем фиксированной фазовой задержки.

Как это часто бывает в радиосистеме, красное устройство LTI на рис. 1 может представлять два устройства LTI в каскаде, одно на передающем конце, а другое на принимающем.

Фон

Частотные составляющие сигнала

Для периодического сигнала частотная составляющая представляет собой синусоиду со свойствами, которые включают в себя частоту и фазу на основе времени.

Генерация базовой синусоиды

Синусоида, со свойством частоты на основе времени или без него, генерируется кружком, как показано на рисунке. В этом примере синусоида - это синусоида, которая отслеживается с помощью функции sin trig.

Построение синусоиды по окружности: y = sin (x). В этом примере используется функция sin trig. Как для синусоиды, так и для единичной окружности зависимая выходная переменная y находится на вертикальной оси. Только для синусоиды угол в градусах является независимой входной переменной x на горизонтальной оси. Только для единичного круга угол в градусах представляет собой независимое входное значение x, представленное как фактический угол на диаграмме между горизонтальной осью и красным вектором, в настоящее время равным нулю градусов на изображении, но может быть под любым углом.

Воспроизвести медиа

Вращающийся вектор, отслеживающий функцию sin (). Шаг 1 Нажмите кнопку воспроизведения. Шаг 2 Развернуть Шаг 3 Выберите источник WebM

Когда увеличивающийся угол x совершает полный поворот против часовой стрелки вокруг окружности, генерируется один цикл шаблона функции. Дальнейшее увеличение угла за пределы 360 градусов просто снова поворачивает по кругу, завершая еще один цикл, где каждый последующий цикл повторяет один и тот же шаблон, делая функцию периодической. (См. Анимацию «Вращающийся вектор ...» слева.) Значение угла не имеет ограничений, поэтому количество повторений шаблона также не имеет ограничений. Из-за этого у синусоиды нет ни начала, ни конца. Функция синусоиды основана на одной или обеих триггерных функциях sin (x) и cos (x).

Теория

В линейном стационарна (ЛТИ) теории систем , теории управления , так и в цифровой или аналоговой обработки сигнала , соотношение между входным сигналом, а выходной сигнал, , из системы LTI управляется свертки операции: ${\ Displaystyle \ Displaystyle х (т)}$${\ Displaystyle \ Displaystyle у (т)}$

${\ Displaystyle у (т) = (ч * х) (т) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} х (и) ч (ту) \, ду}$

Или, в частотной области ,

${\ Displaystyle Y (s) = H (s) X (s) \,}$

куда

${\ Displaystyle X (s) = {\ mathcal {L}} {\ Big \ {} x (t) {\ Big \}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) e ^ {- st} \, dt}$

${\ Displaystyle Y (s) = {\ mathcal {L}} {\ Big \ {} y (t) {\ Big \}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} y (t) e ^ {- st} \, dt}$

а также

${\ Displaystyle H (s) = {\ mathcal {L}} {\ Big \ {} h (t) {\ Big \}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (t) e ^ {- st} \, dt}$.

Вот это временной области импульсной характеристикой системы LTI и , , , являются преобразования Лапласа входного , выходного и импульсного отклика , соответственно. называется передаточной функцией системы LTI и, как и импульсная характеристика , полностью определяет характеристики ввода-вывода системы LTI. ${\ Displaystyle \ Displaystyle ч (т)}$${\ displaystyle \ displaystyle X (s)}$${\ displaystyle \ displaystyle Y (s)}$${\ displaystyle \ displaystyle H (s)}$${\ Displaystyle \ Displaystyle х (т)}$${\ Displaystyle \ Displaystyle у (т)}$${\ Displaystyle \ Displaystyle ч (т)}$${\ displaystyle \ displaystyle H (s)}$${\ Displaystyle \ Displaystyle ч (т)}$

Предположим, что такая система управляется квазисинусоидальным сигналом, то есть синусоидой, имеющей огибающую амплитуды, которая медленно изменяется относительно частоты синусоиды. Математически это означает, что квазисинусоидальный управляющий сигнал имеет вид ${\ Displaystyle \ Displaystyle а (т)> 0}$${\ displaystyle \ displaystyle \ omega}$

${\ Displaystyle х (т) = а (т) \ соз (\ омега т + \ тета) \}$

а медленно меняющаяся огибающая амплитуды означает, что ${\ Displaystyle \ Displaystyle а (т)}$

${\ displaystyle \ left | {\ frac {d} {dt}} \ log {\ big (} a (t) {\ big)} \ right | \ ll \ omega \.}$

Тогда выход такой системы LTI очень хорошо аппроксимируется как

${\ Displaystyle Y (T) = {\ big |} H (я \ omega) {\ big |} \ a (t- \ tau _ {g}) \ cos {\ big (} \ omega (t- \ tau _ {\ phi}) + \ theta {\ big)} \ ;.}$

Здесь и , групповая задержка и фазовая задержка, соответственно, задаются приведенными ниже выражениями (и потенциально являются функциями угловой частоты ). Синусоида, как показано переходы через нуль, задерживаются во время фазовой задержки, . Огибающей синусоиды с задержкой во времени по групповой задержки, . ${\ displaystyle \ displaystyle \ tau _ {g}}$${\ Displaystyle \ Displaystyle \ тау _ {\ phi}}$ ${\ displaystyle \ displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle \ Displaystyle \ тау _ {\ phi}}$${\ displaystyle \ displaystyle \ tau _ {g}}$

В линейной фазовой системе (с неинвертирующим усилением) оба и являются постоянными (т. Е. Независимыми от ) и равными, а их общее значение равно общей задержке системы; и развернутый фазовый сдвиг системы (а именно ) отрицательный, величина которого линейно увеличивается с частотой . ${\ displaystyle \ displaystyle \ tau _ {g}}$${\ Displaystyle \ Displaystyle \ тау _ {\ phi}}$${\ displaystyle \ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ displaystyle - \ omega \ tau _ {\ phi}}$${\ displaystyle \ displaystyle \ omega}$

В более общем плане можно показать, что для системы LTI с передаточной функцией, управляемой сложной синусоидой единичной амплитуды, ${\ displaystyle \ displaystyle H (s)}$

${\ Displaystyle х (т) = е ^ {я \ омега т} \}$

выход

${\ Displaystyle {\ begin {align} y (t) & = H (я \ omega) \ e ^ {i \ omega t} \ \\ & = \ left ({\ big |} H (я \ omega) { \ big |} e ^ {i \ phi (\ omega)} \ right) \ e ^ {i \ omega t} \ \\ & = {\ big |} H (i \ omega) {\ big |} \ e ^ {i \ left (\ omega t + \ phi (\ omega) \ right)} \ \\\ конец {выровнено}} \}$

где фазовый сдвиг является ${\ displaystyle \ displaystyle \ phi}$

${\ displaystyle \ phi (\ omega) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ arg \ left \ {H (я \ omega) \ right \} \ ;.}$

Кроме того, можно показать, что групповая задержка, и фазовая задержка, зависят от частоты, и их можно вычислить из правильно развернутого фазового сдвига с помощью ${\ displaystyle \ displaystyle \ tau _ {g}}$${\ Displaystyle \ Displaystyle \ тау _ {\ phi}}$${\ displaystyle \ displaystyle \ phi}$

${\ Displaystyle \ тау _ {г} (\ омега) = - {\ гидроразрыва {д \ фи (\ омега)} {д \ омега}} \}$

${\ Displaystyle \ тау _ {\ фи} (\ омега) = - {\ гидроразрыва {\ фи (\ омега)} {\ омега}} \}$ .

То есть «групповая задержка может быть определена как производная спектральной фазы по угловой частоте » (по сравнению с мгновенной частотой ).

Групповая задержка в оптике

Групповая задержка важна в физике и, в частности, в оптике .

Групповая задержка - это скорость изменения полного фазового сдвига относительно угловой частоты ,

$${\ displaystyle \ tau _ {g} = - {\ frac {d \ phi} {d \ omega}}}$$

если групповая задержка измеряется в секундах). ${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle 2 \ pi f}$${\ displaystyle f}$

В оптическом волокне , групповая задержка является транзитным время , необходимое для оптической мощности , путешествия при заданном режиме «с групповой скоростью , чтобы ездить на заданном расстоянии. Для целей измерения дисперсии оптического волокна интересующей величиной является групповая задержка на единицу длины, которая является обратной величиной групповой скорости конкретной моды. Измеренная групповая задержка сигнала через оптическое волокно имеет зависимость от длины волны из-за различных механизмов дисперсии , присутствующих в оптоволокне.

Часто желательно, чтобы групповая задержка была постоянной на всех частотах; в противном случае сигнал будет размываться во времени. Поскольку групповая задержка равна , отсюда следует, что постоянная групповая задержка может быть достигнута, если

фазовую характеристику (т. Е. Когда групповая задержка является постоянной). Степень нелинейности фазы указывает на отклонение групповой задержки от постоянной. ${\ textstyle \ tau _ {g} (\ omega) = - {\ гидроразрыва {d \ phi} {d \ omega}}}$${\ Displaystyle \ фи (\ омега) = \ фи (0) - \ тау _ {г} \ омега}$${\ displaystyle \ tau _ {g}}$

Групповая задержка в аудио

Групповая задержка имеет определенное значение в звуковой области и особенно в области воспроизведения звука. Многие компоненты цепи воспроизведения звука, особенно громкоговорители и кроссоверные сети многополосных громкоговорителей , вносят групповую задержку в аудиосигнал. Поэтому важно знать порог слышимости групповой задержки по отношению к частоте, особенно если предполагается, что звуковая цепочка обеспечивает воспроизведение с высокой точностью . Лучшие пороговые значения таблицы слышимости были предоставлены Blauert & Laws (1978) .

Частота	Порог	Периоды (циклы)
500 Гц	3,2 мс	1.6
1 кГц	2 мс	2
2 кГц	1 мс	2
4 кГц	1,5 мс	6
8 кГц	2 мс	16

Фланаган, Мур и Стоун пришли к выводу, что на частотах 1, 2 и 4 кГц групповая задержка около 1,6 мс слышна в наушниках в нереверберирующем состоянии.

Истинная задержка времени

Говорят, что передающее устройство имеет истинную временную задержку (TTD), если временная задержка не зависит от частоты электрического сигнала. TTD - важная характеристика линий передачи без потерь и с малыми потерями и без дисперсии. TTD обеспечивает широкую мгновенную полосу пропускания сигнала практически без искажения сигнала, такого как уширение импульса во время импульсного режима.

Смотрите также

• Измерения аудиосистемы
• Фильтр Бесселя
• Рисунок глаз
• Групповая скорость - «Групповая скорость света в среде обратно пропорциональна групповой задержке на единицу длины».

использованная литература

 Эта статья включает  материалы, являющиеся общественным достоянием, из документа Управления общих служб : «Федеральный стандарт 1037C» .

• Blauert, J .; Законы, P. (май 1978), "Задержка Искажения Group в электроакустических систем", журнал Американского акустического общества , 63 (5): 1478-1483, Bibcode : 1978ASAJ ... 63.1478B , DOI : 10,1121 / 1.381841

внешние ссылки

• Обсуждение групповой задержки в громкоговорителях
• Объяснения групповой задержки и приложения
• Blauert, J .; Лоус, П. (май 1978 г.), "Групповые искажения задержки в электроакустических системах", журнал Американского акустического общества 63 (5): 1478–1483
• «Введение в цифровые фильтры со звуковыми приложениями», Джулиус О. Смит III, (сентябрь 2007 г.).