Двенадцатая проблема Гильберта - Hilbert's twelfth problem

Jugendtraum Кронекера или двенадцатая проблема Гильберта , из 23 математических проблем Гильберта , является продолжением теоремы Кронекера-Вебер на абелевых расширения этих рациональных чисел , для любого базовых числового поля . То есть он запрашивает аналоги корней из единицы в виде комплексных чисел, которые являются частными значениями экспоненциальной функции ; требование состоит в том, чтобы такие числа генерировали целое семейство дополнительных числовых полей, которые являются аналогами круговых полей и их подполей.

Классическая теория комплексного умножения , теперь часто известная как югендтраум Кронекера , делает это для любого мнимого квадратичного поля , используя модулярные функции и эллиптические функции, выбранные с определенной решеткой периодов, связанной с рассматриваемым полем. Горо Шимура распространил это на поля CM . Общий случай по состоянию на 2014 год все еще открыт. Леопольд Кронекер описал сложную проблему умножения как его liebster Jugendtraum или « самую заветную мечту своей юности».

Описание проблемы

Основная проблема алгебраической теории чисел состоит в описании полей алгебраических чисел . Работа Галуа прояснила, что расширения полей контролируются определенными группами , группами Галуа . Простейшая ситуация, которая уже находится на границе того, что хорошо понимается, - это когда рассматриваемая группа абелева . Все квадратичные расширения, полученные соединением корней квадратичного многочлена, абелевы, и их изучение было начато Гауссом . Другой типа абелево расширение поля Q из рациональных чисел задаются присоединение г N - й корней из единицы, в результате чего в круговых полях . Уже Гаусс показал, что на самом деле каждое квадратичное поле содержится в большем круговом поле. Теорема Кронекера – Вебера показывает, что любое конечное абелево расширение Q содержится в круговом поле. Вопрос Кронекера (и Гильберта) касается ситуации более общего поля алгебраических чисел K : какие алгебраические числа необходимы для построения всех абелевых расширений поля K ? Полный ответ на этот вопрос был полностью разработан только тогда, когда K - мнимое квадратичное поле или его обобщение, CM-поле .

Первоначальная формулировка 12-й проблемы Гильберта вводит в заблуждение: он, кажется, подразумевает, что абелевы расширения мнимых квадратичных полей порождаются специальными значениями эллиптических модулярных функций, что неверно. (Трудно сказать точно, что говорил Гильберт, одна из проблем заключалась в том, что он, возможно, использовал термин «эллиптическая функция» для обозначения как эллиптической функции, так и эллиптической модулярной функции j .) Во-первых, также необходимо использовать корни единства, хотя Гильберт, возможно, неявно имел в виду включить их. Более серьезно, в то время как значения эллиптических модульных функций порождают поле классов Гильберта , для более общих абелевых расширений также необходимо использовать значения эллиптических функций. Например, абелево расширение не порождается сингулярными модулями и корнями из единицы. ${\ Displaystyle \ mathbf {Q} (я, {\ sqrt [{4}] {1 + 2i}}) / \ mathbf {Q} (я)}$

Один особенно привлекательный способ сформулировать теорему Кронекера – Вебера - сказать, что максимальное абелево расширение Q может быть получено путем присоединения специальных значений exp (2π i / n ) экспоненциальной функции . Аналогичным образом теория комплексного умножения показывает, что максимальное абелево расширение Q (τ), где τ - мнимая квадратичная иррациональность, может быть получено путем присоединения специальных значений ℘ (τ, z ) и j (τ) модулярных функций j и эллиптические функции ℘ и корни из единицы, где τ находится в мнимом квадратичном поле, а z представляет собой точку кручения на соответствующей эллиптической кривой. Одна интерпретации двенадцатых проблем Гильберта просит предоставить подходящий аналог экспонент, эллиптических или модулярных функции, у которых особого значение будет генерировать максимальное абелево расширение K ^аб от общего числа поля K . В таком виде он остается нерешенным. Описание поля K ^ab было получено в теории полей классов , разработанной самим Гильбертом , Эмилем Артином и другими в первой половине 20 века. Однако построение K ^ab в теории полей классов включает сначала построение больших неабелевых расширений с использованием теории Куммера , а затем сокращение до абелевых расширений, поэтому на самом деле не решает проблему Гильберта, которая требует более прямого построения абелевых расширений.

Современные разработки

События, произошедшие примерно с 1960 года, безусловно, внесли свой вклад. До этого Гекке  ( 1912 ) в своей диссертации использовал модулярные формы Гильберта для изучения абелевых расширений вещественных квадратичных полей . Сложное умножение абелевых разновидностей было областью, открытой трудами Шимуры и Таниямы . Это приводит к абелевым расширениям CM-полей вообще. Вопрос о том, какие расширения можно найти, - это вопрос о модулях Тейта таких многообразий, как представления Галуа . Поскольку это наиболее доступный случай l-адических когомологий , эти представления глубоко изучены.

Ленглендс утверждал в 1973 году , что современная версия Jugendtraum должна иметь дело с дзета - функции Хассе-Вейля из разновидностей Шимуры . Хотя он задумал грандиозную программу , которая продвинет предмет намного дальше, более чем тридцать лет спустя остаются серьезные сомнения относительно ее значения для вопроса, который задал Гильберт.

Отдельным развитием была гипотеза Старка ( Гарольд Старк ), которая, напротив, напрямую касалась вопроса поиска интересных, конкретных единиц в числовых полях. Это привело к значительному развитию гипотез для L-функций , а также позволяет получать конкретные численные результаты. P-адическое решение для вполне вещественных полей было объявлено Дасгуптой и Какде, а для частного случая вещественных квадратичных полей - Дармоном, Поцци и Вонком в марте 2021 года.

Примечания

использованная литература

• Лэнглендс, Р.П. (1976). «Некоторые современные проблемы с происхождением в Jugendtraum». В Браудере, Феликс Э. (ред.). Математические разработки, связанные с проблемами Гильберта (PDF) . Proc. Симпози. Чистая математика. 28 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . С. 401–418. ISBN 0-8218-1428-1. Zbl  0345.14006 .
• Шаппахер, Норберт (1998). «К истории двенадцатой проблемы Гильберта: комедия ошибок». Matériaux pour l'histoire des mathématiques au XX ^e siècle (Ницца, 1996) . Семин. Congr. 3 . Париж: Société Mathématique de France . С. 243–273. ISBN 978-2-85629-065-1. Руководство по ремонту  1640262 . Zbl  1044.01530 .
• Vlǎduţ, SG (1991). Jugendtraum Кронекера и модульные функции . Исследования в области развития современной математики. 2 . Нью-Йорк: издательство Gordon and Breach Science. ISBN 2-88124-754-7. Zbl  0731.11001 .