Преобразование Ельмслева - Hjelmslev transformation
В математике , то преобразование ельмслевова является эффективным методом для отображения целой гиперболической плоскости в круг с конечным радиусом . Преобразование было изобретено датским математиком Йоханнесом Ельмслевым . В нем использована 23-я теорема Николая Ивановича Лобачевского из его работы « Геометрические исследования по теории параллелей» .
Лобачевский замечает, используя комбинацию своих 16-й и 23-й теорем, что фундаментальной характеристикой гиперболической геометрии является то, что должен существовать определенный угол параллельности для любой данной длины линии. Скажем, для длины AE ее угол параллельности равен BAF. В этом случае линии AH и EJ будут гиперпараллельны и, следовательно, никогда не встретятся. Следовательно, любая линия, проведенная перпендикулярно основанию AE между A и E, обязательно должна пересекать линию AH на некотором конечном расстоянии. Иоганнес Ельмслев открыл отсюда метод сжатия всей гиперболической плоскости в конечную окружность. Метод заключается в следующем: для любого угла параллельности проведите от его линии AE перпендикуляр к другому лучу; используя эту длину отсечения, например AH, в качестве радиуса окружности, «отобразите» точку H на линию AE. Эта отображенная таким образом точка H должна находиться между A и E. Применяя этот процесс для каждой линии внутри плоскости, бесконечное гиперболическое пространство, таким образом, становится ограниченным и плоским. Однако преобразование Ельмслева не дает правильного круга. Окружность созданного круга не имеет соответствующего местоположения в плоскости, и поэтому результат преобразования Ельмслева более уместно называть диском Ельмслева . Точно так же, когда это преобразование распространяется во всех трех измерениях, оно называется шаром Ельмслева .
При преобразовании сохраняется несколько свойств, позволяющих извлекать из него ценную информацию, а именно:
- Изображение круга, разделяющего центр трансформации, будет кругом с тем же центром.
- В результате изображения всех прямых углов с одной стороной, проходящей через центр, будут прямыми углами.
- Любой угол с центром преобразования в качестве вершины будет сохранен.
- Изображение любой прямой будет конечным отрезком прямой.
- Точно так же порядок точек сохраняется на протяжении всего преобразования, т. Е. Если B находится между A и C, изображение B будет между изображением A и изображением C.
- Изображение прямолинейного угла - это прямолинейный угол.
Преобразование Ельмслева и модель Клейна
Если мы представим гиперболическое пространство с помощью модели Клейна и примем центр преобразования Ельмслева как центральную точку модели Клейна, то преобразование Ельмслева отображает точки в единичном круге в точки в круге с центром в начале координат с радиус меньше единицы. Учитывая действительное число k, преобразование Ельмслева, если мы игнорируем вращения, фактически является тем, что мы получаем, отображая вектор u, представляющий точку в модели Клейна, в ku, где 0 <k <1. Таким образом, с точки зрения модели, это единообразное масштабирование, при котором линии переходят в линии и так далее. Для существ, живущих в гиперболическом пространстве, это может быть подходящий способ составления карты.