Принцип Юма - Hume's principle
Принцип Юма или HP гласит, что количество F s равно количеству G s тогда и только тогда, когда существует взаимно однозначное соответствие (биекция) между F s и G s. HP можно формально сформулировать в системах логики второго порядка . Принцип Юма назван в честь шотландского философа Дэвида Юма и был изобретен Джорджем Булосом .
HP играет центральную роль в математической философии Готтлоба Фреге . Фреге показывает, что HP и подходящие определения арифметических понятий влекут за собой все аксиомы того, что мы сейчас называем арифметикой второго порядка . Этот результат известен как теорема Фреге , которая лежит в основе философии математики, известной как неологицизм .
Происхождение
Принцип Юма появляется в « Основах арифметики» Фреге (§73), в котором цитируется часть III книги I « Трактата о человеческой природе» Давида Юма (1740). Юм устанавливает семь фундаментальных отношений между идеями. Что касается одного из них, пропорции в количестве или числе , Юм утверждает, что наши рассуждения о пропорции в количестве, представленной геометрией , никогда не могут достичь «совершенной точности и точности», поскольку ее принципы вытекают из чувственно-видимости. Он противопоставляет это рассуждениям о числах или арифметике , в которых может быть достигнута такая точность :
Алгебра и арифметика [являются] единственными науками, в которых мы можем довести цепочку рассуждений до любой степени сложности и при этом сохранить абсолютную точность и определенность. У нас есть точный стандарт, по которому мы можем судить о равенстве и соотношении чисел; и в зависимости от того, соответствуют они или нет этому стандарту, мы определяем их отношения без какой-либо возможности ошибки. Когда два числа соединяются таким образом, что одно всегда имеет единицу, соответствующую каждой единице другого, мы объявляем их равными ; и именно из-за отсутствия такого стандарта равенства в [пространственном] расширении геометрия вряд ли может считаться совершенной и безошибочной наукой. (I. III. I.)
Обратите внимание на использование Юмом слова « число» в древнем смысле для обозначения набора или совокупности вещей, а не обычного современного понятия «положительное целое число». Древнегреческое понятие числа ( арифмос ) состоит из конечного множества единиц. См. Аристотель , Метафизика , 1020a14 и Евклид , Элементы , Книга VII, определение 1 и 2. Контраст между старой и современной концепцией числа подробно обсуждается в Mayberry (2000).
Влияние на теорию множеств
Принцип, согласно которому кардинальное число должно быть охарактеризовано в терминах взаимно однозначного соответствия, ранее с большим эффектом использовался Георгом Кантором , чьи труды были известны Фреге . Поэтому было высказано предположение, что принцип Юма лучше называть «принципом Кантора» или «принципом Юма-Кантора». Но Фреге критиковал Кантора на том основании, что Кантор определяет кардинальные числа в терминах порядковых чисел , тогда как Фреге хотел дать характеристику кардиналов, которая не зависела от порядковых чисел . Точка зрения Кантора, однако, воплощена в современных теориях трансфинитных чисел , разработанных в аксиоматической теории множеств .
использованная литература
- Андерсон, Д., и Эдвард Залта (2004) «Фреге, Boolos и логические объекты», Journal of Philosophical Logic 33 : 1-26.
- Джордж Булос , «Стандарт равенства чисел» в Джордж Булос (ред.), Значение и метод: Очерки в честь Хилари Патнэм (Кембридж, англ .: Cambridge University Press, 1990), стр. 261–277.
- Джордж Булос, 1998. Логика, логика и логика . Гарвардский унив. Нажмите. Особенно раздел II, «Исследования Фреге».
- Берджесс, Джон, 2005. Исправление Фреге . Princeton Univ. Нажмите.
- Готтлоб Фреге , Основы арифметики .
- Дэвид Хьюм . Трактат о человеческой природе .
- Мэйберри, Джон П., 2000. Основы математики в теории множеств . Кембридж.