Альтернативные меры стресса - Alternative stress measures

В механике сплошных сред , наиболее часто используемая мера напряжения является тензор напряжений Коши , который часто называют просто Тензор или «истинное напряжение». Однако можно определить несколько альтернативных мер стресса:

1. Напряжение Кирхгофа ( ). ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}}}$
2. Номинальное напряжение ( ). ${\ displaystyle {\ boldsymbol {N}}}$
3. Первое напряжение Пиолы – Кирхгофа ( ). Этот тензор напряжений является заменой номинального напряжения ( ). ${\ displaystyle {\ boldsymbol {P}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {P}} = {\ boldsymbol {N}} ^ {T}}$
4. Второе напряжение Пиолы – Кирхгофа или напряжение PK2 ( ). ${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}}}$
5. Стресс Био ( ) ${\ displaystyle {\ boldsymbol {T}}}$

Определения

Рассмотрим ситуацию, показанную на следующем рисунке. В следующих определениях используются обозначения, показанные на рисунке.

Величины, используемые при определении меры стресса

В эталонной конфигурации внешняя нормаль к элементу поверхности равна, и сила тяги, действующая на эту поверхность, приводит к вектору силы . В деформированной конфигурации элемент поверхности изменяется на с внешней нормалью и вектором тяги, приводящим к силе . Обратите внимание, что эта поверхность может быть либо гипотетическим разрезом внутри тела, либо реальной поверхностью. Величина - тензор градиента деформации , - его определитель. ${\ displaystyle \ Omega _ {0}}$${\ displaystyle d \ Gamma _ {0}}$${\ Displaystyle \ mathbf {N} \ Equiv \ mathbf {п} _ {0}}$${\ displaystyle \ mathbf {t} _ {0}}$${\ displaystyle d \ mathbf {f} _ {0}}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle d \ Gamma}$${\ Displaystyle \ mathbf {п}}$${\ displaystyle \ mathbf {t}}$${\ displaystyle d \ mathbf {f}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {F}}}$${\ displaystyle J}$

Напряжение Коши

Напряжение Коши (или истинное напряжение) - это мера силы, действующей на элемент площади в деформированной конфигурации. Этот тензор симметричен и определяется через

${\ displaystyle d \ mathbf {f} = \ mathbf {t} ~ d \ Gamma = {\ boldsymbol {\ sigma}} ^ {T} \ cdot \ mathbf {n} ~ d \ Gamma}$

или же

${\ displaystyle \ mathbf {t} = {\ boldsymbol {\ sigma}} ^ {T} \ cdot \ mathbf {n}}$

где - сила тяги, а - нормаль к поверхности, на которую действует тяга. ${\ displaystyle \ mathbf {t}}$${\ Displaystyle \ mathbf {п}}$

Напряжение Кирхгофа

Количество,

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = J ~ {\ boldsymbol {\ sigma}}}$

называется тензором напряжений Кирхгофа с определителем . Он широко используется в численных алгоритмах пластической деформации металлов (где нет изменения объема во время пластической деформации). Его также можно назвать взвешенным тензором напряжений Коши . ${\ displaystyle J}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {F}}}$

Напряжение Пиолы – Кирхгофа

Номинальное напряжение / Первое напряжение Пиолы – Кирхгофа

Номинальное напряжение - это транспонирование первого напряжения Пиолы – Кирхгофа (напряжение PK1, также называемое инженерным напряжением) и определяется через ${\ displaystyle {\ boldsymbol {N}} = {\ boldsymbol {P}} ^ {T}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {P}}}$

${\ displaystyle d \ mathbf {f} = \ mathbf {t} ~ d \ Gamma = {\ boldsymbol {N}} ^ {T} \ cdot \ mathbf {n} _ {0} ~ d \ Gamma _ {0} = {\ boldsymbol {P}} \ cdot \ mathbf {n} _ {0} ~ d \ Gamma _ {0}}$

или же

${\ displaystyle \ mathbf {t} _ {0} = \ mathbf {t} {\ dfrac {d {\ Gamma}} {d \ Gamma _ {0}}} = {\ boldsymbol {N}} ^ {T} \ cdot \ mathbf {n} _ {0} = {\ boldsymbol {P}} \ cdot \ mathbf {n} _ {0}}$

Это напряжение несимметрично и представляет собой двухточечный тензор, подобный градиенту деформации.
Асимметрия проистекает из того факта, что в качестве тензора он имеет один индекс, прикрепленный к эталонной конфигурации, а другой - к деформированной конфигурации.

Второе напряжение Пиолы – Кирхгофа

Если мы вернемся к эталонной конфигурации, у нас будет ${\ displaystyle d \ mathbf {f}}$

${\ displaystyle d \ mathbf {f} _ {0} = {\ boldsymbol {F}} ^ {- 1} \ cdot d \ mathbf {f}}$

или же,

${\ displaystyle d \ mathbf {f} _ {0} = {\ boldsymbol {F}} ^ {- 1} \ cdot {\ boldsymbol {N}} ^ {T} \ cdot \ mathbf {n} _ {0} ~ d \ Gamma _ {0} = {\ boldsymbol {F}} ^ {- 1} \ cdot \ mathbf {t} _ {0} ~ d \ Gamma _ {0}}$

Напряжение PK2 ( ) симметрично и определяется соотношением ${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}}}$

${\ displaystyle d \ mathbf {f} _ {0} = {\ boldsymbol {S}} ^ {T} \ cdot \ mathbf {n} _ {0} ~ d \ Gamma _ {0} = {\ boldsymbol {F }} ^ {- 1} \ cdot \ mathbf {t} _ {0} ~ d \ Gamma _ {0}}$

Следовательно,

${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}} ^ {T} \ cdot \ mathbf {n} _ {0} = {\ boldsymbol {F}} ^ {- 1} \ cdot \ mathbf {t} _ {0}}$

Био стресс

Напряжение Био полезно, потому что это энергия, сопряженная с правым тензором растяжения . Напряжение Био определяется как симметричная часть тензора, где - тензор вращения, полученный из полярного разложения градиента деформации. Поэтому тензор напряжений Био определяется как ${\ displaystyle {\ boldsymbol {U}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {P}} ^ {T} \ cdot {\ boldsymbol {R}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {R}}}$

${\ displaystyle {\ boldsymbol {T}} = {\ tfrac {1} {2}} ({\ boldsymbol {R}} ^ {T} \ cdot {\ boldsymbol {P}} + {\ boldsymbol {P}} ^ {T} \ cdot {\ boldsymbol {R}}) ~.}$

Стресс Био также называют стрессом Яуманна.

Величина не имеет физической интерпретации. Однако несимметричное напряжение Био имеет интерпретацию ${\ displaystyle {\ boldsymbol {T}}}$

${\ displaystyle {\ boldsymbol {R}} ^ {T} ~ d \ mathbf {f} = ({\ boldsymbol {P}} ^ {T} \ cdot {\ boldsymbol {R}}) ^ {T} \ cdot \ mathbf {n} _ {0} ~ d \ Gamma _ {0}}$

связи

Связь между напряжением Коши и номинальным напряжением

Из формулы Нансона, связывающей площади в исходной и деформированной конфигурациях:

${\ displaystyle \ mathbf {n} ~ d \ Gamma = J ~ {\ boldsymbol {F}} ^ {- T} \ cdot \ mathbf {n} _ {0} ~ d \ Gamma _ {0}}$

Сейчас же,

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} ^ {T} \ cdot \ mathbf {n} ~ d \ Gamma = d \ mathbf {f} = {\ boldsymbol {N}} ^ {T} \ cdot \ mathbf { n} _ {0} ~ d \ Gamma _ {0}}$

Следовательно,

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} ^ {T} \ cdot (J ~ {\ boldsymbol {F}} ^ {- T} \ cdot \ mathbf {n} _ {0} ~ d \ Gamma _ {0 }) = {\ boldsymbol {N}} ^ {T} \ cdot \ mathbf {n} _ {0} ~ d \ Gamma _ {0}}$

или же,

${\ displaystyle {\ boldsymbol {N}} ^ {T} = J ~ ({\ boldsymbol {F}} ^ {- 1} \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}}) ^ {T} = J ~ {\ полужирный символ {\ sigma}} ^ {T} \ cdot {\ boldsymbol {F}} ^ {- T}}$

или же,

${\ displaystyle {\ boldsymbol {N}} = J ~ {\ boldsymbol {F}} ^ {- 1} \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} \ qquad {\ text {and}} \ qquad {\ boldsymbol { N}} ^ {T} = {\ boldsymbol {P}} = J ~ {\ boldsymbol {\ sigma}} ^ {T} \ cdot {\ boldsymbol {F}} ^ {- T}}$

В индексной записи

${\ Displaystyle N_ {Ij} = J ~ F_ {Ik} ^ {- 1} ~ \ sigma _ {kj} \ qquad {\ text {and}} \ qquad P_ {iJ} = J ~ \ sigma _ {ki} ~ F_ {Jk} ^ {- 1}}$

Следовательно,

${\ displaystyle J ~ {\ boldsymbol {\ sigma}} = {\ boldsymbol {F}} \ cdot {\ boldsymbol {N}} = {\ boldsymbol {F}} \ cdot {\ boldsymbol {P}} ^ {T } ~.}$

Обратите внимание, что и (обычно) не симметричны, потому что (как правило) не симметричны. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {N}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {P}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {F}}}$

Связь между номинальным напряжением и вторым напряжением P – K

Напомним, что

${\ displaystyle {\ boldsymbol {N}} ^ {T} \ cdot \ mathbf {n} _ {0} ~ d \ Gamma _ {0} = d \ mathbf {f}}$

и

${\ displaystyle d \ mathbf {f} = {\ boldsymbol {F}} \ cdot d \ mathbf {f} _ {0} = {\ boldsymbol {F}} \ cdot ({\ boldsymbol {S}} ^ {T } \ cdot \ mathbf {n} _ {0} ~ d \ Gamma _ {0})}$

Следовательно,

${\ displaystyle {\ boldsymbol {N}} ^ {T} \ cdot \ mathbf {n} _ {0} = {\ boldsymbol {F}} \ cdot {\ boldsymbol {S}} ^ {T} \ cdot \ mathbf {n} _ {0}}$

или (используя симметрию ), ${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}}}$

${\ displaystyle {\ boldsymbol {N}} = {\ boldsymbol {S}} \ cdot {\ boldsymbol {F}} ^ {T} \ qquad {\ text {and}} \ qquad {\ boldsymbol {P}} = {\ boldsymbol {F}} \ cdot {\ boldsymbol {S}}}$

В индексной записи

${\ displaystyle N_ {Ij} = S_ {IK} ~ F_ {jK} ^ {T} \ qquad {\ text {and}} \ qquad P_ {iJ} = F_ {iK} ~ S_ {KJ}}$

В качестве альтернативы мы можем написать

${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}} = {\ boldsymbol {N}} \ cdot {\ boldsymbol {F}} ^ {- T} \ qquad {\ text {and}} \ qquad {\ boldsymbol {S}} = {\ boldsymbol {F}} ^ {- 1} \ cdot {\ boldsymbol {P}}}$

Связь между напряжением Коши и вторым напряжением P – K

Напомним, что

${\ displaystyle {\ boldsymbol {N}} = J ~ {\ boldsymbol {F}} ^ {- 1} \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}}}$

Что касается 2-го ПК-стресса, мы имеем

${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}} \ cdot {\ boldsymbol {F}} ^ {T} = J ~ {\ boldsymbol {F}} ^ {- 1} \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}}}$

Следовательно,

${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}} = J ~ {\ boldsymbol {F}} ^ {- 1} \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot {\ boldsymbol {F}} ^ {- T} = {\ boldsymbol {F}} ^ {- 1} \ cdot {\ boldsymbol {\ tau}} \ cdot {\ boldsymbol {F}} ^ {- T}}$

В индексной записи

${\ Displaystyle S_ {IJ} = F_ {Ik} ^ {- 1} ~ \ tau _ {kl} ~ F_ {Jl} ^ {- 1}}$

Поскольку напряжение Коши (и, следовательно, напряжение Кирхгофа) симметрично, второе ПК-напряжение также симметрично.

В качестве альтернативы мы можем написать

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = J ^ {- 1} ~ {\ boldsymbol {F}} \ cdot {\ boldsymbol {S}} \ cdot {\ boldsymbol {F}} ^ {T}}$

или же,

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = {\ boldsymbol {F}} \ cdot {\ boldsymbol {S}} \ cdot {\ boldsymbol {F}} ^ {T} ~.}$

Ясно, что из определения операций продвижения вперед и назад мы имеем

${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}} = \ varphi ^ {*} [{\ boldsymbol {\ tau}}] = {\ boldsymbol {F}} ^ {- 1} \ cdot {\ boldsymbol {\ tau}} \ cdot {\ boldsymbol {F}} ^ {- T}}$

и

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \ varphi _ {*} [{\ boldsymbol {S}}] = {\ boldsymbol {F}} \ cdot {\ boldsymbol {S}} \ cdot {\ boldsymbol { F}} ^ {T} ~.}$

Таким образом, это отталкивание от by и это отталкивание от . ${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {F}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}}}$

Смотрите также

• Стресс (физика)
• Теория конечных деформаций
• Механика сплошной среды
• Гиперупругий материал
• Эластичный материал Коши
• Анализ критической плоскости

Резюме отношений между мерами стресса

Формулы преобразования
	${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {P}}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {T}}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {M}}}$
${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = \,}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$	${\ displaystyle J ^ {- 1} {\ boldsymbol {P}} {\ boldsymbol {F}} ^ {T}}$	${\ displaystyle J ^ {- 1} {\ boldsymbol {F}} {\ boldsymbol {S}} {\ boldsymbol {F}} ^ {T}}$	${\ displaystyle J ^ {- 1} {\ boldsymbol {\ tau}}}$	${\ displaystyle J ^ {- 1} {\ boldsymbol {R}} {\ boldsymbol {T}} {\ boldsymbol {F}} ^ {T}}$	${\ displaystyle J ^ {- 1} {\ boldsymbol {F}} ^ {- T} {\ boldsymbol {M}} {\ boldsymbol {F}} ^ {T}}$ (неизотропность)
${\ Displaystyle {\ boldsymbol {P}} = \,}$	${\ displaystyle J {\ boldsymbol {\ sigma}} {\ boldsymbol {F}} ^ {- T}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {P}}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {F}} {\ boldsymbol {S}}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} {\ boldsymbol {F}} ^ {- T}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {R}} {\ boldsymbol {T}}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {F}} ^ {- T} {\ boldsymbol {M}}}$
${\ Displaystyle {\ boldsymbol {S}} = \,}$	${\ displaystyle J {\ boldsymbol {F}} ^ {- 1} {\ boldsymbol {\ sigma}} {\ boldsymbol {F}} ^ {- T}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {F}} ^ {- 1} {\ boldsymbol {P}}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {F}} ^ {- 1} {\ boldsymbol {\ tau}} {\ boldsymbol {F}} ^ {- T}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {U}} ^ {- 1} {\ boldsymbol {T}}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {C}} ^ {- 1} {\ boldsymbol {M}}}$
${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \,}$	${\ displaystyle J {\ boldsymbol {\ sigma}}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {P}} {\ boldsymbol {F}} ^ {T}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {F}} {\ boldsymbol {S}} {\ boldsymbol {F}} ^ {T}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {R}} {\ boldsymbol {T}} {\ boldsymbol {F}} ^ {T}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {F}} ^ {- T} {\ boldsymbol {M}} {\ boldsymbol {F}} ^ {T}}$ (неизотропность)
${\ Displaystyle {\ boldsymbol {T}} = \,}$	${\ displaystyle J {\ boldsymbol {R}} ^ {T} {\ boldsymbol {\ sigma}} {\ boldsymbol {F}} ^ {- T}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {R}} ^ {T} {\ boldsymbol {P}}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {U}} {\ boldsymbol {S}}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {R}} ^ {T} {\ boldsymbol {\ tau}} {\ boldsymbol {F}} ^ {- T}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {T}}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {U}} ^ {- 1} {\ boldsymbol {M}}}$
${\ Displaystyle {\ boldsymbol {M}} = \,}$	${\ displaystyle J {\ boldsymbol {F}} ^ {T} {\ boldsymbol {\ sigma}} {\ boldsymbol {F}} ^ {- T}}$ (неизотропность)	${\ displaystyle {\ boldsymbol {F}} ^ {T} {\ boldsymbol {P}}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {C}} {\ boldsymbol {S}}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {F}} ^ {T} {\ boldsymbol {\ tau}} {\ boldsymbol {R}} ^ {- T}}$ (неизотропность)	${\ displaystyle {\ boldsymbol {U}} {\ boldsymbol {T}}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {M}}}$
${\ displaystyle J = \ det \ left ({\ boldsymbol {F}} \ right), \ quad {\ boldsymbol {C}} = {\ boldsymbol {F}} ^ {T} {\ boldsymbol {F}} = {\ boldsymbol {U}} ^ {2}, \ quad {\ boldsymbol {F}} = {\ boldsymbol {R}} {\ boldsymbol {U}}, \ quad {\ boldsymbol {R}} ^ {T} = {\ boldsymbol {R}} ^ {- 1}}$
${\ displaystyle {\ boldsymbol {P}} = J {\ boldsymbol {\ sigma}} {\ boldsymbol {F}} ^ {- T}, \ quad {\ boldsymbol {\ tau}} = J {\ boldsymbol {\ sigma}}, \ quad {\ boldsymbol {S}} = J {\ boldsymbol {F}} ^ {- 1} {\ boldsymbol {\ sigma}} {\ boldsymbol {F}} ^ {- T}, \ quad {\ boldsymbol {T}} = {\ boldsymbol {R}} ^ {T} {\ boldsymbol {P}}, \ quad {\ boldsymbol {M}} = {\ boldsymbol {C}} {\ boldsymbol {S} }}$

Рекомендации