Уравнение Кортевега – Де Фриза - Korteweg–De Vries equation

Кноидальные волны решение уравнения КдВ, с точки зрения площади в эллиптической функции Якоби сп (и со значением параметра т = 0,9 ).

Численное решение уравнения КдФ

u t + u u x + δ 2 u x x x = 0

(

δ = 0,022

) с начальным условием

u (x, 0) = cos (π x)

. Его расчет проводился по схеме Забуски – Крускала. Начальная косинусоидальная волна превращается в последовательность волн уединенного типа.

В математике , то К (КдФ) представляет собой математическая модель волн на мелкой поверхности воды. Это особенно примечательно как прототипный пример точно решаемой модели , то есть нелинейного уравнения в частных производных , решения которого могут быть точно и точно определены. KdV может быть решена с помощью преобразования обратной задачи рассеяния . Математическая теория, лежащая в основе уравнения КдФ, является предметом активных исследований. Уравнение КдФ было впервые введено Буссинеском ( 1877 г. , сноска на стр. 360) и повторно открыто Дидериком Кортевегом и Густавом де Фризом ( 1895 г. ).

Определение

Уравнение КдФ представляет собой нелинейное дисперсионное уравнение в частных производных для функции двух безразмерных вещественных переменных x и t, которые пропорциональны пространству и времени соответственно: ${\ displaystyle \ phi}$

{\ displaystyle \ partial _ {t} \ phi + \ partial _ {x} ^ {3} \ phi -6 \, \ phi \, \ partial _ {x} \ phi = 0 \,}

где ∂ _x и ∂ _t обозначают частные производные по x и t .

Константа 6 перед последним членом является условной, но не имеет большого значения: умножение t , x и на константы может использоваться, чтобы сделать коэффициенты любого из трех членов равными любой заданной ненулевой константе. ${\ displaystyle \ phi}$

Солитонные решения

Рассмотрим решения, в которых фиксированная форма волны (заданная f ( X )) сохраняет свою форму при движении вправо с фазовой скоростью c . Такое решение дается формулой φ ( x , t ) = f ( x - ct - a ) = f ( X ). Подставляя его в уравнение КдФ, получаем обыкновенное дифференциальное уравнение

{\ displaystyle -c {\ frac {df} {dX}} + {\ frac {d ^ {3} f} {dX ^ {3}}} - 6f {\ frac {df} {dX}} = 0, }

или, интегрируя по X ,

{\ displaystyle -cf + {\ frac {d ^ {2} f} {dX ^ {2}}} - 3f ^ {2} = A}

где A - постоянная интегрирования . Интерпретируя вышеприведенную независимую переменную X как виртуальную переменную времени, это означает, что f удовлетворяет уравнению движения Ньютона частицы единичной массы в кубическом потенциале.

{\ displaystyle V (f) = - \ left (f ^ {3} + {\ frac {1} {2}} cf ^ {2} + Af \ right)}

Если

{\ Displaystyle А = 0, \, с> 0}

тогда потенциальная функция V ( f ) имеет локальный максимум при f = 0, есть решение, в котором f ( X ) начинается в этой точке в `` виртуальном времени '' −∞, в конечном итоге скатывается до локального минимума , а затем возвращается к другая сторона, достигая такой же высоты, затем меняет направление на противоположное и снова достигает локального максимума в момент времени ∞. Другими словами, f ( X ) стремится к 0 при X → ± ∞. Это характерная форма решения уединенной волны .

Точнее, решение

{\ displaystyle \ phi (x, t) = - {\ frac {1} {2}} \, c \, \ operatorname {sech} ^ {2} \ left [{{\ sqrt {c}} \ более 2 } (xc \, ta) \ right]}

где sech обозначает гиперболический секанс, а a - произвольная постоянная. Это описывает правый солитон .

Интегралы движения

Уравнение КдФ имеет бесконечно много интегралов движения ( Miura, Gardner & Kruskal 1968 ), которые не меняются со временем. Их можно явно задать как

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} P_ {2n-1} (\ phi, \, \ partial _ {x} \ phi, \, \ partial _ {x} ^ {2} \ phi, \, \ ldots) \, {\ text {d}} x \,}

где многочлены P _n рекурсивно определяются как

{\ displaystyle {\ begin {align} P_ {1} & = \ phi, \\ P_ {n} & = - {\ frac {dP_ {n-1}} {dx}} + \ sum _ {i = 1 } ^ {n-2} \, P_ {i} \, P_ {n-1-i} \ quad {\ text {for}} n \ geq 2. \ end {выровнено}}}

Первые несколько интегралов движения:

масса ${\ displaystyle \ int \ phi \, {\ text {d}} x,}$
импульс ${\ displaystyle \ int \ phi ^ {2} \, {\ text {d}} x,}$
энергия ${\ displaystyle \ int \ left [2 \ phi ^ {3} - \ left (\ partial _ {x} \ phi \ right) ^ {2} \ right] \, {\ text {d}} x.}$

Только члены с нечетными номерами P _{(2 n +1)} приводят к нетривиальным (т.е. ненулевым) интегралам движения ( Dingemans 1997 , стр. 733).

Слабые пары

Уравнение КдФ

{\ displaystyle \ partial _ {t} \ phi = 6 \, \ phi \, \ partial _ {x} \ phi - \ partial _ {x} ^ {3} \ phi}

можно переформулировать как уравнение Лакса

{\ Displaystyle L_ {t} = [L, A] \ эквив LA-AL \,}

с L оператором Штурма – Лиувилля :

{\ displaystyle {\ begin {align} L & = - \ partial _ {x} ^ {2} + \ phi, \\ A & = 4 \ partial _ {x} ^ {3} -3 \ left [\ phi \, \ partial _ {x} + \ partial _ {x} \ phi \ right] \ end {выровнено}}}

и этим объясняется бесконечное число первых интегралов уравнения КдФ ( Lax 1968 ).

Принцип наименьшего действия

Уравнение Кортевега – де Фриза

{\ displaystyle \ partial _ {t} \ phi +6 \ phi \, \ partial _ {x} \ phi + \ partial _ {x} ^ {3} \ phi = 0,}

- уравнение движения Эйлера – Лагранжа, полученное из плотности лагранжиана , ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \,}$

{\ displaystyle {\ mathcal {L}}: = {\ frac {1} {2}} \ partial _ {x} \ psi \, \ partial _ {t} \ psi + \ left (\ partial _ {x} \ psi \ right) ^ {3} - {\ frac {1} {2}} \ left (\ partial _ {x} ^ {2} \ psi \ right) ^ {2}}

( 1 )

с определенным ${\ displaystyle \ phi}$

{\ displaystyle \ phi: = {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x}}.}

Вывод уравнений Эйлера – Лагранжа.

Поскольку лагранжиан (уравнение (1)) содержит вторые производные, уравнение движения Эйлера – Лагранжа для этого поля имеет вид

{\ displaystyle \ partial _ {\ mu \ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu \ mu} \ psi)}} \ справа) - \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ psi)}} \ right) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ psi}} = 0.}

( 2 )

где - производная по компоненту. ${\ displaystyle \ partial}$ ${\ displaystyle \ mu}$

Сумма подразумевается, поэтому уравнение (2) действительно читается: ${\ displaystyle \ mu}$

{\ displaystyle \ partial _ {tt} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {tt} \ psi)}} \ right) + \ partial _ {xx } \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {xx} \ psi)}} \ right) - \ partial _ {t} \ left ({\ frac { \ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {t} \ psi)}} \ right) - \ partial _ {x} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L} }} {\ partial (\ partial _ {x} \ psi)}} \ right) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ psi}} = 0.}

( 3 )

Оцените пять членов уравнения (3), подставив уравнение (1),

{\ displaystyle \ partial _ {tt} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {tt} \ psi)}} \ right) = 0}

{\ displaystyle \ partial _ {xx} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {xx} \ psi)}} \ right) = \ partial _ {xx } \ left (- \ partial _ {xx} \ psi \ right)}

{\ displaystyle \ partial _ {t} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {t} \ psi)}} \ right) = \ partial _ {t } \ left ({\ frac {1} {2}} \ partial _ {x} \ psi \ right)}

{\ displaystyle \ partial _ {x} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {x} \ psi)}} \ right) = \ partial _ {x } \ left ({\ frac {1} {2}} \ partial _ {t} \ psi +3 (\ partial _ {x} \ psi) ^ {2} \ right) \,}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ psi}} = 0}

Запомните определение , поэтому используйте его, чтобы упростить приведенные выше термины, ${\ displaystyle \ phi = \ partial _ {x} \ psi}$

{\ displaystyle \ partial _ {xx} \ left (- \ partial _ {xx} \ psi \ right) = - \ partial _ {xxx} \ phi}

{\ displaystyle \ partial _ {t} \ left ({\ frac {1} {2}} \ partial _ {x} \ psi \ right) = {\ frac {1} {2}} \ partial _ {t} \ phi}

{\ displaystyle \ partial _ {x} \ left ({\ frac {1} {2}} \ partial _ {t} \ psi +3 (\ partial _ {x} \ psi) ^ {2} \ right) = {\ frac {1} {2}} \ partial _ {t} \ phi +3 \ partial _ {x} (\ phi) ^ {2} = {\ frac {1} {2}} \ partial _ {t } \ phi +6 \ phi \ partial _ {x} \ phi}

Наконец, подставьте эти три ненулевых члена обратно в уравнение (3), чтобы увидеть

{\ displaystyle \ left (- \ partial _ {xxx} \ phi \ right) - \ left ({\ frac {1} {2}} \ partial _ {t} \ phi \ right) - \ left ({\ frac {1} {2}} \ partial _ {t} \ phi +6 \ phi \ partial _ {x} \ phi \ right) = 0,}

что и есть уравнение КдФ

{\ displaystyle \ partial _ {t} \ phi +6 \ phi \, \ partial _ {x} \ phi + \ partial _ {x} ^ {3} \ phi = 0.}

Долговременная асимптотика

Можно показать, что любое достаточно быстро затухающее гладкое решение в конечном итоге разделится на конечную суперпозицию солитонов, движущихся вправо, и убывающую дисперсионную часть, движущуюся влево. Это было впервые замечено Забуски и Крускалом (1965) и может быть строго доказано с помощью нелинейного анализа наискорейшего спуска для осциллирующих задач Римана – Гильберта .

История

История уравнения KdV началась с экспериментов Джона Скотта Рассела в 1834 году, за которыми последовали теоретические исследования лорда Рэлея и Джозефа Буссинеска около 1870 года и, наконец, Кортевега и Де Фриза в 1895 году.

Уравнение КдФ после этого мало изучалось, пока Забуски и Крускал (1965) не обнаружили численно, что его решения, казалось, распадались на больших временах на совокупность «солитонов»: хорошо разделенных уединенных волн. Более того, кажется, что солитоны почти не изменяют форму, проходя друг через друга (хотя это может вызвать изменение их положения). Они также связались с более ранними численными экспериментами Ферми, Паста, Улама и Цинго , показав, что уравнение КдФ является континуальным пределом системы FPUT . Разработка аналитического решения с помощью преобразования обратной задачи рассеяния была проведена в 1967 году Гарднером, Грином, Крускалом и Миурой.

Теперь видно, что уравнение КдФ тесно связано с принципом Гюйгенса .

Приложения и подключения

Уравнение КдФ имеет несколько связей с физическими проблемами. Помимо того, что оно является определяющим уравнением струны в задаче Ферми – Паста – Улама – Цинго в континуальном пределе, оно приближенно описывает эволюцию длинных одномерных волн во многих физических условиях, включая:

волны на мелкой воде со слабо нелинейным восстанавливающих сил,
длинные внутренние волны в стратифицированном по плотности океане ,
ионно-звуковые волны в плазме ,
акустические волны на кристаллической решетке .

Уравнение КдФ также может быть решено с использованием обратного преобразования рассеяния, такого как те, которые применяются к нелинейному уравнению Шредингера .

Уравнение КдФ и уравнение Гросса – Питаевского.

Рассматривая упрощенные решения вида

{\ Displaystyle \ фи (х, т) = \ фи (х \ пм т)}

получаем уравнение КдФ в виде

{\ Displaystyle \ pm \ partial _ {x} \ phi + \ partial _ {x} ^ {3} \ phi +6 \, \ phi \, \ partial _ {x} \ phi = 0 \,}

или

{\ displaystyle \ pm \ partial _ {x} \ phi + \ partial _ {x} (\ partial _ {x} ^ {2} \ phi +3 \ phi ^ {2}) = 0 \,}

Интегрируя и рассматривая частный случай, когда постоянная интегрирования равна нулю, мы имеем:

{\ displaystyle - \ partial _ {x} ^ {2} \ phi -3 \ phi ^ {2} = \ pm \ phi \,}

которое является частным случаем обобщенного стационарного уравнения Гросса – Питаевского (ОБУ) ${\ displaystyle \ lambda = 1}$

{\ displaystyle - \ partial _ {x} ^ {2} \ phi -3 \ phi ^ {\ lambda} \ phi = \ pm \ phi \,}

Следовательно, для определенного класса решений обобщенного GPE ( для истинного одномерного конденсата и при использовании трехмерного уравнения в одном измерении) два уравнения равны одному. Кроме того, рассматривая случай со знаком минус и действительный, мы получаем привлекательное самодействие, которое должно давать яркий солитон . ${\ displaystyle \ lambda = 4}$ ${\ displaystyle \ lambda = 2}$ ${\ displaystyle \ lambda = 3}$ ${\ displaystyle \ phi}$

Вариации

Было изучено множество различных вариантов уравнений КдФ. Некоторые из них перечислены в следующей таблице.

Имя	Уравнение
Кортевег – Де Фрис (KdV)	${\ displaystyle \ displaystyle \ partial _ {t} u + \ partial _ {x} ^ {3} u + 6u \ partial _ {x} u = 0}$
КдВ (цилиндрический)	${\ displaystyle \ displaystyle \ partial _ {t} u + \ partial _ {x} ^ {3} u-6u \ partial _ {x} u + {\ tfrac {1} {2t}} u = 0}$
КдВ (деформированный)	${\ displaystyle \ displaystyle \ partial _ {t} u + \ partial _ {x} \ left ({\ frac {\ partial _ {x} ^ {2} u-2 \ eta u ^ {3} -3u (\ partial _ {x} u) ^ {2}} {2 (\ eta + u ^ {2})}} \ right) = 0}$
КдВ (обобщенный)	${\ displaystyle \ displaystyle \ partial _ {t} u + \ partial _ {x} ^ {3} u = \ partial _ {x} ^ {5} u}$
КдВ (обобщенный)	${\ displaystyle \ displaystyle \ partial _ {t} u + \ partial _ {x} ^ {3} u + \ partial _ {x} f (u) = 0}$
KdV (Лакс 7-е) Дарвиши, Хейбари и Хани (2007)	${\ displaystyle {\ begin {align} \ partial _ {t} u + \ partial _ {x} & \ left \ {35u ^ {4} +70 \ left (u ^ {2} \ partial _ {x} ^ { 2} u + u \ left (\ partial _ {x} u \ right) ^ {2} \ right) \ right. \\ & \ left. \ Quad +7 \ left (2u \ partial _ {x} ^ { 4} u + 3 \ left (\ partial _ {x} ^ {2} u \ right) ^ {2} +4 \ partial _ {x} \ partial _ {x} ^ {3} u \ right) + \ частичное _ {x} ^ {6} u \ right \} = 0 \ end {выровнено}}}$
КдВ (модифицированный)	${\ displaystyle \ displaystyle \ partial _ {t} u + \ partial _ {x} ^ {3} u \ pm 6u ^ {2} \ partial _ {x} u = 0}$
КдВ (доработанный доработанный)	${\ displaystyle \ displaystyle \ partial _ {t} u + \ partial _ {x} ^ {3} u - {\ tfrac {1} {8}} (\ partial _ {x} u) ^ {3} + (\ частичный _ {x} u) (Ae ^ {au} + B + Ce ^ {- au}) = 0}$
КдВ (сферический)	${\ displaystyle \ displaystyle \ partial _ {t} u + \ partial _ {x} ^ {3} u-6u \ partial _ {x} u + {\ tfrac {1} {t}} u = 0}$
КдВ (супер)	${\ displaystyle \ displaystyle {\ begin {cases} \ partial _ {t} u = 6u \ partial _ {x} u- \ partial _ {x} ^ {3} u + 3w \ partial _ {x} ^ {2 } w \\\ partial _ {t} w = 3 (\ partial _ {x} u) w + 6u \ partial _ {x} w-4 \ partial _ {x} ^ {3} w \ end {case} }}$
КдВ (переходный)	${\ displaystyle \ displaystyle \ partial _ {t} u + \ partial _ {x} ^ {3} u-6f (t) u \ partial _ {x} u = 0}$
КдВ (переменные коэффициенты)	${\ displaystyle \ displaystyle \ partial _ {t} u + \ beta t ^ {n} \ partial _ {x} ^ {3} u + \ alpha t ^ {n} u \ partial _ {x} u = 0}$
Уравнение Кортевега – де Фриза – Бюргерса	${\ displaystyle \ displaystyle \ partial _ {t} u + \ mu \ partial _ {x} ^ {3} u + 2u \ partial _ {x} u- \ nu \ partial _ {x} ^ {2} u = 0 }$
неоднородный КдВ	${\ displaystyle \ partial _ {t} u + \ alpha u + \ beta \ partial _ {x} u + \ gamma \ partial _ {x} ^ {2} u = Ai (x), \ quad u (x, 0) = f (x)}$

q-аналоги

Относительно q-аналога уравнения КдФ см. Frenkel (1996) и Khesin, Lyubashenko & Roger (1997) .

Смотрите также

Примечания

использованная литература

Буссинеск, J. (1877), Essai sur la theorie des eaux courantes , Memoires presentes par divers savants` l'Acad. des Sci. Inst. Nat. Франция, XXIII, стр. 1–680.
де Ягер, Э.М. (2006). «О происхождении уравнения Кортевега – де Фриза». arXiv : math / 0602661v1 .
Дингеманс, М.В. (1997), Распространение водных волн на неровном дне , Advanced Series on Ocean Engineering, 13 , World Scientific, Singapore, ISBN 981-02-0427-2, 2 части, 967 стр.
Дразин, П.Г. (1983), Солитоны , Серия лекций Лондонского математического общества, 85 , Кембридж: Cambridge University Press, стр. Viii + 136 , DOI : 10.1017 / CBO9780511662843 , ISBN 0-521-27422-2, Руководство по ремонту 0716135
Грунерт, Катрин; Тешл, Джеральд (2009), "Долговременная асимптотика для уравнения Кортевега – де Фриза посредством нелинейного наискорейшего спуска", Матем. Phys. Анальный. Геом. , 12 (3), стр. 287–324, arXiv : 0807.5041 , Bibcode : 2009MPAG ... 12..287G , doi : 10.1007 / s11040-009-9062-2 , S2CID 8740754
Каппелер, Томас; Пешель, Юрген (2003), KdV & KAM , Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 3. Фольге. Серия современных обзоров по математике [Результаты по математике и смежным областям. 3-я серия. Серия современных исследований по математике], 45 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-3-662-08054-2 , ISBN 978-3-540-02234-3, Руководство по ремонту 1997070
Кортевег, диджей; De Vries, G. (1895), "Об изменении формы длинных волн наступающих в прямоугольном канале, и на нового типа Long стоячих волн" , Философский журнал , 39 (240): 422-443, DOI : 10.1080 / 14786449508620739
Лакс П. (1968), "Интегралы нелинейных уравнений эволюции и уединенные волны", Сообщения по чистой и прикладной математике , 21 (5): 467–490, doi : 10.1002 / cpa.3160210503
Майлз, Джон У. (1981), "Уравнение Кортевега-де Фриза: Исторический очерк", журнал Механика жидкости , 106 : 131-147, Bibcode : 1981JFM ... 106..131M , DOI : 10,1017 / S0022112081001559 .
Миура, Роберт М .; Gardner, Clifford S .; Краскал, Мартин Д. (1968), "Уравнение Кортевега – Де Фриза и обобщения. II. Существование законов сохранения и постоянных движения", J. Math. Phys. , 9 (8): 1204-1209, Bibcode : 1968JMP ..... 9.1204M , DOI : 10,1063 / 1,1664701 , МР 0252826
Тахтаджян, Л.А. (2001) [1994], "Уравнение Кортевега-де Фриза" , Энциклопедия математики , EMS Press
Забуски, штат Нью-Джерси; Крускал, М.Д. (1965), "Взаимодействие" солитонов "в бесстолкновительной плазме и повторяемость начальных состояний", Phys. Rev. Lett. , 15 (6): 240-243, Bibcode : 1965PhRvL..15..240Z , DOI : 10,1103 / PhysRevLett.15.240

внешние ссылки

Уравнение Кортевега – де Фриза в EqWorld: мир математических уравнений.
Уравнение Кортевега – Де Фриза в NEQwiki, энциклопедии нелинейных уравнений.
Цилиндрическое уравнение Кортевега – де Фриза в EqWorld: мир математических уравнений.
Модифицированное уравнение Кортевега – де Фриза в EqWorld: мир математических уравнений.
Модифицированное уравнение Кортевега – Де Фриза в NEQwiki, энциклопедии нелинейных уравнений.
Вайсштейн, Эрик В. "Уравнение Кортевега – де Фриза" . MathWorld .
Вывод уравнения Кортевега – де Фриза для узкого канала.
Трехсолитонное решение уравнения КдФ - [1]
Трехсолитонное (неустойчивое) решение уравнения КдФ - [2]
Математические аспекты уравнений типа Кортевега – де Фриза обсуждаются на Dispersive PDE Wiki .
Солитоны из уравнения Кортевега – де Фриза. Автор С.М. Блиндер, Демонстрационный проект Вольфрама .
Солитоны и нелинейные волновые уравнения

Languages

In other projects