Многозначная функция, обратная x * e ^ x
График
y = W ( x ) для действительных
x <6 и
y > −4 . Верхняя ветвь (синяя) с
y ≥ −1 - это график функции
W 0 (главная ветвь), нижняя ветвь (пурпурная) с
y ≤ −1 - график функции
W −1 . Минимальное значение
x равно {−1 /
e , −1}.
В математике , то Ламберта W функция , которая также называется омега - функции или логарифм продукт , является многозначной функцией , а именно ветви по обратной связи функции F ( ш ) = мы ш , где ш любое комплексное число и е ш IS экспоненциальная функция .
Для каждого целого числа k существует одна ветвь, обозначаемая W k ( z ) , которая является комплексной функцией одного комплексного аргумента. W 0 известен как главная ветвь . Эти функции обладают следующим свойством: если z и w - любые комплексные числа, то
выполняется тогда и только тогда, когда
При работе только с действительными числами достаточно двух ветвей W 0 и W −1 : для действительных чисел x и y уравнение
может быть решена относительно y, только если x ≥ -
1/е; мы получаем y = W 0 ( x ), если x ≥ 0, и два значения y = W 0 ( x ) и y = W −1 ( x ), если -1/е≤ х <0 .
Отношение Ламберта W нельзя выразить в терминах элементарных функций . Это полезно в комбинаторике , например, при перечислении деревьев . Он может использоваться для решения различных уравнений, включающих экспоненты (например, максимумы распределений Планка , Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака ), а также встречается при решении дифференциальных уравнений с запаздыванием , таких как y ′ ( t ) = a y ( т - 1) . В биохимии и, в частности, в кинетике ферментов , решение в открытой форме для анализа кинетики Михаэлиса-Ментен во времени описывается в терминах W- функции Ламберта .
Основная ветвь функции Ламберта
W на комплексной плоскости, построенная с
раскраской области . Обратите внимание на
срезанную ветвь вдоль отрицательной действительной оси, заканчивающуюся на
-1/е.
Модуль главной ветви функции Ламберта
W , раскрашенный согласно
arg W ( z )
Терминология
Функция Ламберта W названа в честь Иоганна Генриха Ламберта . Главная ветвь W 0 обозначается Wp в Электронной библиотеке математических функций , а ветвь W −1 там обозначается Wm .
Выбранное здесь обозначение (с W 0 и W −1 ) следует канонической ссылке на функцию Ламберта W Корлессом, Гонне, Хэром, Джеффри и Кнутом .
Название «логарифм продукта» можно понимать так: поскольку обратная функция к f ( w ) = e w называется логарифмом , имеет смысл называть обратную «функцию» продукта, которую мы w, «логарифмом продукта». (Техническое примечание: поскольку оно многозначно, на самом деле это не функция, и поэтому W описывается как обратное отношение, а не обратная функция.) Это связано с константой Омега , которая равна W 0 (1) .
История
Ламберт впервые рассмотрел родственное трансцендентное уравнение Ламберта в 1758 году, что привело к статье Леонарда Эйлера в 1783 году, в которой обсуждался частный случай we w .
Рассматриваемая функция Ламберта была
Эйлер преобразовал это уравнение к виду
Оба автора вывели ряд решений для своих уравнений.
Решив это уравнение, Эйлер рассмотрел случай a = b . Взяв пределы, он вывел уравнение
Затем он положил a = 1 и получил решение в виде сходящейся серии для полученного уравнения, выразив x через c .
После взятия производных по x и некоторых манипуляций получается стандартный вид функции Ламберта.
В 1993 году, когда было сообщено, что функция Ламберта W обеспечивает точное решение квантово-механической модели дельта-функции Дирака с двумя ямами для равных зарядов - фундаментальной проблемы в физике - Корлесс и разработчики системы компьютерной алгебры Maple создали библиотеку. поиск и обнаружил, что эта функция была повсеместной по своей природе.
Другой пример, где эта функция обнаруживается, - кинетика Михаэлиса – Ментен .
Хотя фольклор знал, что функция Ламберта W не может быть выражена в терминах элементарных (лиувиллевских) функций, первое опубликованное доказательство появилось только в 2008 году.
Элементарные свойства, ветви и ассортимент
Диапазон функции
W с отображением всех ветвей. Черные кривые (включая действительную ось) образуют изображение действительной оси, оранжевые кривые - изображение мнимой оси. Пурпурная кривая - это изображение небольшого круга вокруг точки
z = 0 ; красные кривые - это изображение небольшого круга вокруг точки
z = -1/е.
График мнимой части W [n, x + iy] для ветвей n = -2, -1,0,1,2. График аналогичен функции многозначного
комплексного логарифма, за исключением того, что расстояние между листами не является постоянным, а соединение основного листа отличается
Существует счетное число ветвей функции W , обозначаемых W k ( z ) для целого числа k ; W 0 ( z ) - главная (или главная) ветвь. W 0 ( z ) определен для всех комплексных чисел z, а W k ( z ) с k ≠ 0 определен для всех ненулевых z . Имеем W 0 (0) = 0 иLimz → 0 W k ( z ) = −∞ для всех k ≠ 0 .
Точка ветвления для главной ветви находится в точке z = -1/е, с разрезом ветви, идущим до −∞ вдоль отрицательной действительной оси. Эта ветвь разрез отделяет основную ветвь от двух ветвей W -1 и W 1 . Во всех ветвях W k с k ≠ 0 есть точка ветвления в точке z = 0 и ветвь, разрезанная вдоль всей отрицательной действительной оси.
Функции W к ( г ), к ∈ Z все инъективны и их диапазоны не пересекаются. Образ всей многозначной функции W - это комплексная плоскость. Изображение действительной оси - это объединение действительной оси и квадратичной диаграммы Гиппия , параметрическая кривая w = - t cot t + it .
Обратный
График диапазона выше также очерчивает области на комплексной плоскости, где истинна простая обратная зависимость . f = ze z означает, что существует такое n , что , где n зависит от значения z . Значение целого числа n резко меняется, когда ze z находится на срезе ветви , что означает, что ze z ≤ 0 , за исключением случаев, когда это ze z ≤ −1 / e .
Определив , где x и y действительны, и выразив e z в полярных координатах, мы видим, что
Для , разрез ветви для является неположительной действительной осью, так что
а также
Для , разрез ветви для является действительной осью с , так что неравенство принимает вид
Внутри областей, ограниченных указанным выше, нет скачкообразных изменений в , и эти области определяют, где функция W просто обратима, т .
Е.
Исчисление
Производная
Путем неявного дифференцирования можно показать, что все ветви W удовлетворяют дифференциальному уравнению
( W не дифференцируема при z = -1/е.) Как следствие, получаем следующую формулу для производной от W :
Используя тождество e W ( z ) =z/W ( z ), получаем следующую эквивалентную формулу:
В начале мы имеем
интеграл
Функция W ( x ) и многие выражения, включающие W ( x ) , могут быть интегрированы с помощью замены w = W ( x ) , т.е. x = we w :
(Последнее уравнение чаще встречается в литературе, но не определено при x = 0 ). Одним из следствий этого (используя тот факт, что W 0 ( e ) = 1 ) является тождество
Асимптотические разложения
Ряд Тейлора из W 0 около 0 можно найти с помощью теоремы Лагранжа инверсии и задается
Радиус сходимости является1/е, как видно из теста отношения . Функция, определяемая этим рядом, может быть расширена до голоморфной функции, определенной на всех комплексных числах с ветвью, разрезанной вдоль интервала (−∞, -1/е] ; эта голоморфная функция определяет главную ветвь от Ламберта W функции.
Для больших значений х , W 0 является асимптотической
где L 1 = ln x , L 2 = ln ln x и [л + м
л + 1] - неотрицательноечисло Стирлинга первого рода. Сохраняя только первые два условия расширения,
Другая действительная ветвь, W −1 , определенная в интервале [-1/е, 0) , имеет приближение того же вида, когда x стремится к нулю, в этом случае L 1 = ln (- x ) и L 2 = ln (−ln (- x )) .
Целочисленные и комплексные степени
Целые степени W 0 также допускают разложение в простой ряд Тейлора (или Лорана ) в нуле:
В более общем плане , для г ∈ ℤ , то формула обращения Лагранжа дает
который, вообще говоря, является рядом Лорана порядка r . Эквивалентно последнее может быть записано в виде разложения Тейлора по степеням W 0 ( x ) / x :
которое выполняется для любого r ∈ ℂ и | х | <1/е.
Границы и неравенства
Для функции Ламберта известен ряд неасимптотических оценок.
Хоорфар и Хассани показали, что для x ≥ e справедлива следующая оценка :
Они также показали общую оценку
для каждого и с равенством только для . Граница позволяет сделать много других ограничений, например, взятие,
которое дает оценку
В 2013 году было доказано, что ветвь W −1 ограничивается следующим образом:
Идентичности
График
W j (xe x ), где синий - для j = 0, а красный - для j = -1. Диагональная линия представляет интервалы, где
W j (xe x ) = x
Из определения следует несколько идентичностей:
Обратите внимание, что, поскольку f ( x ) = xe x не является инъективным , не всегда верно, что W ( f ( x )) = x , как и в случае обратных тригонометрических функций . При фиксированном x <0 и x ≠ −1 уравнение xe x = ye y имеет два решения по y , одно из которых, конечно, y = x . Тогда при я = 0 и х <-1 , а также для я = -1 и х ∈ (-1, 0) , у = Ш я ( х х ) является другим решением.
Некоторые другие личности:
- (который может быть расширен на другие n и x, если выбрана правильная ветвь).
Подставляя −ln x в определение:
С повторяющейся экспонентой Эйлера h ( x ) :
Особые ценности
Для любого ненулевого алгебраических чисел х , Ш ( х ) является трансцендентным числом . Действительно, если W ( х ) равен нулю, то х должна быть равна нулю , а также, и , если W ( х ) не равен нулю и алгебраическая, то по теореме Линдемана-Вейерштрасса , е Ш ( х ) должно быть трансцендентным, подразумевая , что х = W ( x ) e W ( x ) также должно быть трансцендентным.
Ниже перечислены особые значения основной ветви:
-
( постоянная омега ).
Представления
Основная ветвь функции Ламберта может быть представлена собственным интегралом Пуассона:
В более широком смысле -1/е≤ x ≤ e , значительно более простое представление находит Mező:
Еще одно представление основной ветви было найдено тем же автором:
Следующее представление непрерывной дроби также верно для главной ветви:
Кроме того, если | W ( x ) | <1 :
В свою очередь, если | W ( x ) | > e , тогда
Другие формулы
Определенные интегралы
Существует несколько полезных определенных интегральных формул, включающих главную ветвь функции W , в том числе следующие:
Первое тождество можно найти, записав интеграл Гаусса в полярных координатах .
Второе тождество можно получить, сделав замену u = W ( x ) , которая дает
Таким образом
Третье тождество может быть получено из второго путем замены u = x −2, а первое также может быть получено из третьего путем замены z =1/√ 2загар х .
За исключением z вдоль разреза ветви (−∞, -1/е] (где интеграл не сходится), главную ветвь функции Ламберта W можно вычислить с помощью следующего интеграла:
где два интегральных выражения эквивалентны из-за симметрии подынтегральной функции.
Неопределенные интегралы
1-е доказательство
|
-
-
|
2-е доказательство
|
|
Доказательство
|
|
Приложения
Решение уравнений
Функция Ламберта W используется для решения уравнений, в которых неизвестная величина встречается как в основании, так и в показателе степени или как внутри, так и вне логарифма. Стратегия состоит в том, чтобы преобразовать такое уравнение в одну из форм ze z = w, а затем решить относительно z . используя функцию
W.
Например, уравнение
(где x - неизвестное действительное число) можно решить, переписав его как
Это последнее уравнение имеет желаемую форму, а решения для действительного x:
и поэтому:
Как правило, решение
является:
где a , b и c - комплексные константы, причем b и c не равны нулю, а функция W имеет любой целочисленный порядок.
Вязкие потоки
Фронты и отложения зернистых и селевых потоков, а также фронты вязких жидкостей в природных явлениях и в лабораторных экспериментах можно описать с помощью омега-функции Ламберта-Эйлера следующим образом:
где H ( x ) - высота селевого потока, x - положение канала ниже по потоку, L - параметр единой модели, состоящий из нескольких физических и геометрических параметров потока, высоты потока и градиента гидравлического давления.
В потоке трубы W-функция Ламберта является частью явной формулировки уравнения Коулбрука для определения коэффициента трения Дарси . Этот коэффициент используется для определения падения давления на прямом участке трубы при турбулентном потоке .
Нейровизуализация
Функция Ламберта W использовалась в области нейровизуализации для связывания изменений мозгового кровотока и потребления кислорода в вокселе мозга с соответствующим сигналом, зависящим от уровня оксигенации крови (жирный шрифт).
Химическая инженерия
W- функция Ламберта использовалась в области химической инженерии для моделирования толщины пористой электродной пленки в суперконденсаторе на основе стеклоуглерода для электрохимического накопления энергии. W- функция Ламберта оказалась точным решением для процесса термической активации в газовой фазе, когда рост углеродной пленки и горение одной и той же пленки конкурируют друг с другом.
Материаловедение
W- функция Ламберта использовалась в области эпитаксиального роста пленки для определения критической толщины пленки зарождения дислокации . Это расчетная толщина эпитаксиальной пленки, при которой в соответствии с термодинамическими принципами в пленке будут развиваться кристаллографические дислокации, чтобы минимизировать запасенную в пленках упругую энергию. Перед применением метода Ламберта W для решения этой задачи необходимо было определить критическую толщину путем решения неявного уравнения. Ламберт W с легкостью превращает его в явное уравнение для аналитической обработки.
Пористая среда
Функция Ламберта W использовалась в области течения жидкости в пористой среде для моделирования наклона границы раздела двух гравитационно разделенных жидкостей в однородном наклонном пористом слое постоянного падения и толщины, где более тяжелая жидкость закачивается в нижний конец, вытесняет жидкость для зажигалок, которая производится с той же скоростью из верхнего конца. Основная ветвь решения соответствует стабильным смещениям, тогда как ветвь -1 применяется, если смещение нестабильно, когда более тяжелая жидкость течет под более легкой.
Числа Бернулли и род Тодда
Уравнение (связанное с производящими функциями чисел Бернулли и рода Тодда ):
может быть решена с помощью двух вещественных ветвей W 0 и W −1 :
Это приложение показывает, что разность ветвей функции W может использоваться для решения других трансцендентных уравнений.
Статистика
Центроид набора гистограмм, определенных относительно симметризованной дивергенции Кульбака – Лейблера (также называемой дивергенцией Джеффри), имеет замкнутую форму с использованием W- функции Ламберта .
Объединение тестов на инфекционные заболевания
Решение оптимального размера группы для объединения тестов, чтобы хотя бы один человек был инфицирован, включает W- функцию Ламберта .
Точные решения уравнения Шредингера
Функция W Ламберта появляется в квантово-механическом потенциале, который дает пятый - после гармонического осциллятора плюс центробежный, кулоновского плюс обратный квадрат, Морзе и потенциал обратного квадратного корня - точное решение стационарного - размерное уравнение Шредингера в терминах вырожденных гипергеометрических функций. Потенциал выражается как
Особенность решения состоит в том, что каждое из двух фундаментальных решений, составляющих общее решение уравнения Шредингера, задается комбинацией двух конфлюэнтных гипергеометрических функций аргумента, пропорционального
Функция W Ламберта также появляется в точном решении для энергии связанного состояния одномерного уравнения Шредингера с двойным дельта-потенциалом .
Точные решения вакуумных уравнений Эйнштейна
В метрическом решении Шварцшильда вакуумных уравнений Эйнштейна функция W необходима для перехода от координат Эддингтона – Финкельштейна к координатам Шварцшильда. По этой причине он также появляется при построении координат Крускала – Секереса .
Резонансы потенциала дельта-оболочки
S-волновые резонансы потенциала дельта-оболочки могут быть точно записаны в терминах W- функции Ламберта .
Термодинамическое равновесие
Если в реакции участвуют реагенты и продукты, теплоемкость которых постоянна с температурой, тогда константа равновесия K подчиняется
для некоторых констант a , b и c . Когда c (равноΔ C p/р) Не равно нулю, можно найти значение или значения T , где K равно заданное значение следующим образом , где мы используем L для LN T .
Если a и c имеют одинаковый знак, будет либо два решения, либо ни одного (или одно, если аргумент W точно -1/е). (Верхнее решение может быть неактуальным.) Если у них противоположные знаки, будет одно решение.
Фазовое разделение полимерных смесей
При расчете фазовой диаграммы термодинамически несовместимых смесей полимеров по модели Эдмонда-Огстона решения для бинодали и связующих линий формулируются в терминах W- функций Ламберта .
Закон смещения Вина в D-мерной вселенной
Закон смещения Вина выражается как . С и , где - спектральная плотность энергии энергии, находим . Решение показывает, что спектральная плотность энергии зависит от размерности Вселенной.
AdS / CFT корреспонденция
Классические поправки конечного размера к дисперсионным соотношениям гигантских магнонов , одиночных шипов и струн ГКП могут быть выражены через W- функцию Ламберта .
Эпидемиология
В пределе t → ∞ модели SIR соотношение восприимчивых и выздоровевших индивидуумов имеет решение в терминах W- функции Ламберта .
Определение времени полета снаряда
Общее время полета снаряда, который испытывает сопротивление воздуха, пропорциональное его скорости, можно определить в точной форме с помощью W- функции Ламберта .
Распространение электромагнитных поверхностных волн
Трансцендентное уравнение, которое появляется при определении волнового числа распространения электромагнитной осесимметричной поверхностной волны (одиночная мода TM01 с низким затуханием), распространяющейся в цилиндрическом металлическом проводе, приводит к уравнению вида u ln u = v (где u и v объединяют геометрические и физические факторы задачи), которая решается функцией W Ламберта . Первое решение этой проблемы, предложенное Зоммерфельдом примерно в 1898 году, уже содержало итерационный метод определения значения W- функции Ламберта .
Обобщения
Стандартная функция Ламберта W выражает точные решения трансцендентных алгебраических уравнений (по x ) вида:
-
|
|
( 1 )
|
где a 0 , c и r - действительные постоянные. Решение
Обобщения функции Ламберта W включают:
-
|
|
( 2 )
|
- где r 1 и r 2 - действительные различные константы, корни квадратичного многочлена. Здесь решение - это функция, которая имеет единственный аргумент x, но такие термины, как r i и a 0, являются параметрами этой функции. В этом отношении обобщение напоминает гипергеометрическую функцию и функцию G Мейера, но принадлежит к другому классу функций. Когда r 1 = r 2 , обе части ( 2 ) могут быть факторизованы и сведены к ( 1 ), и, таким образом, решение сводится к решению стандартной W- функции. Уравнение ( 2 ) выражает уравнение, определяющее поле дилатона , из которого выводится метрика R = T или линейной задачи двух тел гравитации в измерениях 1 + 1 (одно пространственное измерение и одно временное измерение) для случая неравного покоя. массы, а также собственные энергии квантово-механической двухъямной модели дельта-функции Дирака для неравных зарядов в одном измерении.
- Аналитические решения собственных энергий частного случая квантово-механической задачи трех тел , а именно (трехмерной) молекулы-иона водорода . Здесь правая часть ( 1 ) заменена отношением многочленов бесконечного порядка по x :
-
|
|
( 3 )
|
- где г I и ев я являюсь различными вещественным постоянными , а х является функцией от собственной энергии и межъядерного расстояние R . Уравнение ( 3 ) с его частными случаями, выраженными в ( 1 ) и ( 2 ), относится к большому классу дифференциальных уравнений с запаздыванием . Понятие «ложной производной» Дж. Харди дает точные кратные корни для частных случаев ( 3 ).
Приложения W- функции Ламберта в фундаментальных физических задачах не исчерпаны даже для стандартного случая, выраженного в ( 1 ), как это недавно было замечено в области атомной, молекулярной и оптической физики .
Сюжеты
- Графики функции Ламберта W на комплексной плоскости
Наложение трех предыдущих сюжетов
Числовая оценка
Функция W может быть аппроксимирована методом Ньютона , при этом последовательные приближения к w = W ( z ) (так что z = we w ) будут
Функция W также может быть аппроксимирована методом Галлея ,
приведено в Corless et al. для вычисления W .
Программное обеспечение
Функция Lambert W реализована как LambertW
в Maple, lambertw
в GP (и glambertW
в PARI ), lambertw
в Matlab , а также lambertw
в Octave с specfun
пакетом, как lambert_w
в Maxima, as ProductLog
(с тихим псевдонимом LambertW
) в Mathematica , как lambertw
в специальной функции Python scipy пакет, как и LambertW
в Perl- ntheory
модуль, а также gsl_sf_lambert_W0
, gsl_sf_lambert_Wm1
функции в специальных функций секции GNU Scientific Library (GSL). В библиотеках подталкивания C ++ , звонки lambert_w0
, lambert_wm1
, lambert_w0_prime
, и lambert_wm1_prime
. В R , Ламберт W функция реализована как lambertW0
и lambertWm1
функция в lamW
пакете.
Код C ++ для всех ветвей сложной функции Ламберта W доступен на домашней странице Иштвана Мезо.
Смотрите также
Примечания
использованная литература
-
Corless, R .; Gonnet, G .; Заяц, Д .; Джеффри, Д .; Кнут, Дональд (1996). «О W- функции Ламберта » (PDF) . Успехи в вычислительной математике . 5 : 329–359. arXiv : 1809.07369 . DOI : 10.1007 / BF02124750 . ISSN 1019-7168 . S2CID 29028411 . Архивировано из оригинального (PDF) 14 декабря 2010 года . Проверено 10 марта 2007 .
-
Шапо-Блондо, Ф .; Монир, А. (2002). "Оценка W- функции Ламберта и применение к генерации обобщенного гауссовского шума с показателем 1/2" (PDF) . IEEE Trans. Сигнальный процесс . 50 (9). DOI : 10.1109 / TSP.2002.801912 . Архивировано из оригинального (PDF) 28 марта 2012 года . Проверено 10 марта 2004 .
-
Фрэнсис; и другие. (2000). «Количественная общая теория периодического дыхания». Тираж . 102 (18): 2214–21. CiteSeerX 10.1.1.505.7194 . DOI : 10.1161 / 01.cir.102.18.2214 . PMID 11056095 . S2CID 14410926 . (Функция Ламберта используется для решения дифференциальной динамики задержки при заболеваниях человека.)
-
Хейс, Б. (2005). "Почему W ?" (PDF) . Американский ученый . 93 (2): 104–108. DOI : 10.1511 / 2005.2.104 .
-
Рой, Р .; Olver, FWJ (2010), « W- функция Ламберта » , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
-
Стюарт, Шон М. (2005). "Новая элементарная функция в нашей учебной программе?" (PDF) . Австралийский старший математический журнал . 19 (2): 8–26. ISSN 0819-4564 . ЭРИК EJ720055. Выложите резюме .
-
Веберик, Д., «Развлечение с функцией Ламберта W ( x )» arXiv: 1003.1628 (2010) ; Веберич, Д. (2012). « W- функция Ламберта для приложений в физике». Компьютерная физика . 183 (12): 2622–2628. arXiv : 1209.0735 . Bibcode : 2012CoPhC.183.2622V . DOI : 10.1016 / j.cpc.2012.07.008 . S2CID 315088 .
-
Чатзигеоргиу, И. (2013). «Границы функции Ламберта и их применение для анализа сбоев взаимодействия пользователей». Письма связи IEEE . 17 (8): 1505–1508. arXiv : 1601.04895 . DOI : 10,1109 / LCOMM.2013.070113.130972 . S2CID 10062685 .
внешние ссылки