Когда электромагнитная волна проходит через среду, в которой она затухает (это называется « непрозрачной » или « затухающей » средой), она подвергается экспоненциальному затуханию, как описано законом Бера-Ламберта . Однако есть много возможных способов охарактеризовать волну и узнать, как быстро она затухает. В этой статье описываются математические отношения между:
Обратите внимание, что во многих из этих случаев используется несколько противоречивых определений и соглашений. Эта статья не обязательно является всеобъемлющей или универсальной.
Фон: незатухающая волна
Описание
Электромагнитная волна, распространяющаяся в направлении + z, обычно описывается уравнением:
где
-
E 0 - вектор в плоскости x - y с единицами электрического поля (вектор, как правило, является комплексным вектором , чтобы учесть все возможные поляризации и фазы);
-
ω - угловая частота волны;
-
k - угловое волновое число волны;
- Re указывает на действительную часть ;
-
e - число Эйлера .
Длина волны по определению
Для данной частоты длина волны электромагнитной волны зависит от материала, в котором она распространяется. Длина волны вакуума (длина волны, которую имела бы волна этой частоты, если бы она распространялась в вакууме):
где c - скорость света в вакууме.
В отсутствие затухания показатель преломления (также называемый показателем преломления ) представляет собой отношение этих двух длин волн, т. Е.
Интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды, усредненная по времени в течение многих колебаний волны, которая составляет:
Обратите внимание, что эта интенсивность не зависит от местоположения z , что свидетельствует о том, что эта волна не затухает с расстоянием. Мы определяем I 0 равным этой постоянной интенсивности:
Комплексно-сопряженная неоднозначность
Так как
любое выражение может использоваться как синонимы. Обычно физики и химики используют условные обозначения слева (с e - iωt ), а инженеры-электрики используют условные обозначения справа (с e + iωt , например, см. Электрический импеданс ). Это различие не имеет значения для незатухающей волны, но становится актуальным в некоторых случаях ниже. Например, есть два определения комплексного показателя преломления , одно с положительной мнимой частью, а другое с отрицательной мнимой частью, полученных из двух различных соглашений. Эти два определения являются комплексно сопряженными друг другу.
Коэффициент затухания
Один из способов включить затухание в математическое описание волны - использовать коэффициент затухания :
где α - коэффициент затухания.
Тогда интенсивность волны удовлетворяет:
т.е.
Коэффициент затухания, в свою очередь, просто связан с несколькими другими величинами:
-
коэффициент поглощения по существу (но не всегда) синонимичен коэффициенту ослабления; подробнее см. коэффициент затухания ;
-
молярный коэффициент поглощения или молярный коэффициент поглощения , также называемый молярной поглощающей способностью , представляет собой коэффициент ослабления, деленный на молярность (и обычно умноженный на ln (10), т. е. десятичный); подробности см. в законе Бера-Ламберта и молярной поглощающей способности ;
-
массовый коэффициент ослабления , также называемый массовым коэффициентом ослабления, представляет собой коэффициент ослабления, деленный на плотность; подробности см. в массовом коэффициенте затухания ;
-
сечение поглощения и сечение рассеяния количественно связаны с коэффициентом ослабления; см. сечение поглощения и сечение рассеяния для подробностей;
- Коэффициент затухания также иногда называют непрозрачностью ; см. непрозрачность (оптика) .
Глубина проникновения и глубина кожи
Глубина проникновения
Очень похожий подход использует глубину проникновения :
где δ pen - глубина проникновения.
Глубина кожи
Глубина скин определяется таким образом , что волновые удовлетворяет условию:
где δ скин - глубина скин-слоя.
Физически глубина проникновения - это расстояние, которое волна может пройти, прежде чем ее интенсивность уменьшится в 1 / e 0,37 раза . Глубина скин-слоя - это расстояние, которое волна может пройти до того, как ее амплитуда уменьшится в тот же коэффициент.
Коэффициент поглощения связан с глубиной проникновения и глубиной скин-фактора соотношением
Комплексное угловое волновое число и постоянная распространения
Комплексное угловое волновое число
Другой способ включить затухание - использовать комплексное угловое волновое число :
где k - комплексное угловое волновое число.
Тогда интенсивность волны удовлетворяет:
т.е.
Следовательно, сравнивая это с подходом коэффициента поглощения,
В соответствии с отмеченной выше неоднозначностью , некоторые авторы используют комплексно-сопряженное определение:
Постоянная распространения
Близкий подход, особенно распространенный в теории линий передачи , использует постоянную распространения :
где γ - постоянная распространения.
Тогда интенсивность волны удовлетворяет:
т.е.
Сравнивая два уравнения, постоянная распространения и комплексное угловое волновое число связаны соотношением:
где * обозначает комплексное сопряжение.
Эта величина также называется постоянной затухания , иногда обозначаемой α .
Эта величина также называется фазовой постоянной , иногда обозначается β .
К сожалению, обозначения не всегда согласованы. Например, иногда его называют «константой распространения» вместо γ , которая меняет местами действительную и мнимую части.
Комплексный показатель преломления
Напомним, что в средах без ослабления коэффициент преломления и угловое волновое число связаны соотношением:
где
-
n - показатель преломления среды;
- c - скорость света в вакууме;
-
v - скорость света в среде.
Комплексный показатель преломления , следовательно , могут быть определены в терминах комплексного углового волновом определенных выше:
где n - показатель преломления среды.
Другими словами, волна должна удовлетворять
Тогда интенсивность волны удовлетворяет:
т.е.
По сравнению с предыдущим разделом, мы имеем
Эту величину часто (неоднозначно) называют просто показателем преломления .
Эта величина называется коэффициентом экстинкции и обозначается κ .
В соответствии с отмеченной выше неоднозначностью , некоторые авторы используют комплексно-сопряженное определение, где (все еще положительный) коэффициент экстинкции минус мнимая часть .
Комплексная электрическая проницаемость
В средах без ослабления электрическая диэлектрическая проницаемость и показатель преломления связаны соотношением:
где
В затухающих средах используется то же соотношение, но диэлектрическая проницаемость может быть комплексным числом, называемым комплексной электрической проницаемостью :
где ε - комплексная электрическая проницаемость среды.
Возведение обеих сторон в квадрат и использование результатов предыдущего раздела дает:
Проводимость переменного тока
Другой способ включить затухание - через электропроводность, как показано ниже.
Одним из уравнений распространения электромагнитных волн является закон Максвелла-Ампера :
где - поле смещения .
Вставка закона Ома и определение (реальной) диэлектрической проницаемости
где σ - (реальная, но зависящая от частоты) электрическая проводимость, называемая проводимостью переменного тока .
С синусоидальной зависимостью от времени от всех величин, т.е.
результат
Если бы ток не был включен явно (через закон Ома), а только неявно (через комплексную диэлектрическую проницаемость), величина в скобках была бы просто комплексной электрической диэлектрической проницаемостью. Следовательно,
По сравнению с предыдущим разделом, проводимость переменного тока удовлетворяет
Заметки
Рекомендации