Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени - Maxwell's equations in curved spacetime

В физике , уравнения Максвелла в искривленном пространстве - времени определяют динамику электромагнитного поля в искривленном пространстве - времени (где метрика не может быть метрика Минковского ) или где один использует произвольное (не обязательно декартова ) система координат. Эти уравнения можно рассматривать как обобщение вакуумных уравнений Максвелла , которые , как правило , сформулированное в локальных координатах в плоском пространстве - времени . Но поскольку общая теория относительности диктует, что присутствие электромагнитных полей (или энергии / материи в целом) вызывает искривление пространства-времени, уравнения Максвелла для плоского пространства-времени следует рассматривать как удобное приближение.

При работе в присутствии объемного вещества различение свободных и связанных электрических зарядов может облегчить анализ. Когда проводится различие, они называются макроскопическими уравнениями Максвелла. Без этого различия их иногда называют «микроскопическими» уравнениями Максвелла для контраста.

Электромагнитное поле допускает геометрическое описание, не зависящее от координат, и уравнения Максвелла, выраженные в терминах этих геометрических объектов, одинаковы в любом пространстве-времени, искривленном или нет. Кроме того, такие же изменения вносятся в уравнения плоского пространства Минковского при использовании локальных координат, которые не являются прямолинейными. Например, уравнения в этой статье можно использовать для записи уравнений Максвелла в сферических координатах . По этим причинам может быть полезно рассматривать уравнения Максвелла в пространстве Минковского как частный случай общей формулировки.

Резюме

Не в ОТО , то метрический тензор , , больше не является постоянным (например , как в примерах метрического тензора ) , но может изменяться в пространстве и времени, а также уравнений электромагнетизма в вакууме стали: ${\ displaystyle g _ {\ alpha \ beta}}$${\ displaystyle \ eta _ {\ alpha \ beta}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} F _ {\ alpha \ beta} & = \ partial _ {\ alpha} A _ {\ beta} \, - \, \ partial _ {\ beta} A _ {\ alpha} \\ { \ mathcal {D}} ^ {\ mu \ nu} & = {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \, g ^ {\ mu \ alpha} \, F _ {\ alpha \ beta} \ , g ^ {\ beta \ nu} \, {\ frac {\ sqrt {-g}} {c}} \\ [2pt] J ^ {\ mu} & = \ partial _ {\ nu} {\ mathcal { D}} ^ {\ mu \ nu} \\ [2pt] f _ {\ mu} & = F _ {\ mu \ nu} \, J ^ {\ nu} \ end {выровнено}}}$

где - плотность силы Лоренца , - величина, обратная метрическому тензору , - определитель метрического тензора. Обратите внимание , что и являются (обычные) тензоры в то время как , и являются тензорные плотности веса +1. Несмотря на использование частных производных , эти уравнения инвариантны относительно произвольных криволинейных преобразований координат. Таким образом, если заменить частные производные ковариантными производными , введенные таким образом дополнительные члены сократятся (см. Ковариантность манифеста § Пример ). ${\ displaystyle f _ {\ mu}}$${\ displaystyle g ^ {\ alpha \ beta}}$ ${\ displaystyle g _ {\ alpha \ beta}}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle A _ {\ alpha}}$${\ displaystyle F _ {\ alpha \ beta}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ mu \ nu}}$${\ displaystyle J ^ {\ nu}}$${\ displaystyle f _ {\ mu}}$

Электромагнитный потенциал

Электромагнитный потенциал является ковариантный вектор, _α , который является неопределенным примитивным электромагнетизма. Как ковариантный вектор, его правило преобразования из одной системы координат в другую:

${\ displaystyle {\ bar {A}} _ {\ beta} ({\ bar {x}}) = {\ frac {\ partial x ^ {\ gamma}} {\ partial {\ bar {x}} ^ { \ beta}}} A _ {\ gamma} (x) \ ,.}$

Электромагнитное поле

Электромагнитное поле представляет собой ковариантный антисимметричный тензор степени 2 , которые могут быть определены в терминах электромагнитного потенциала путем

${\ displaystyle F _ {\ alpha \ beta} = \ partial _ {\ alpha} A _ {\ beta} - \ partial _ {\ beta} A _ {\ alpha}.}$

Чтобы убедиться, что это уравнение инвариантно, мы преобразуем координаты (как описано в классической трактовке тензоров )

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ bar {F}} _ {\ alpha \ beta} & = {\ frac {\ partial {\ bar {A}} _ {\ beta}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ alpha}}} - {\ frac {\ partial {\ bar {A}} _ {\ alpha}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ beta}}} \\ [6pt] & = {\ frac {\ partial} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ alpha}}} \ left ({\ frac {\ partial x ^ {\ gamma}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ beta}}} A _ {\ gamma} \ right) - {\ frac {\ partial} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ beta}}} \ left ({\ frac {\ partial x ^ {\ delta}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ alpha}}} A _ {\ delta} \ right) \\ [6pt] & = {\ frac {\ partial ^ {2} x ^ {\ gamma}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ alpha} \ partial {\ bar {x}} ^ {\ beta}}} A _ {\ gamma} + {\ frac {\ partial x ^ {\ gamma}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ beta}}} {\ frac {\ partial A _ {\ gamma}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ alpha}}} - {\ frac {\ partial ^ {2} x ^ {\ delta}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ beta} \ partial {\ bar {x}} ^ { \ alpha}}} A _ {\ delta} - {\ frac {\ partial x ^ {\ delta}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ alpha}}} {\ frac {\ partial A _ {\ delta}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ beta}}} \\ [6pt] & = {\ frac {\ partial x ^ {\ gamma}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ b eta}}} {\ frac {\ partial x ^ {\ delta}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ alpha}}} {\ frac {\ partial A _ {\ gamma}} {\ partial x ^ {\ delta}}} - {\ frac {\ partial x ^ {\ delta}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ alpha}}} {\ frac {\ partial x ^ {\ gamma} } {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ beta}}} {\ frac {\ partial A _ {\ delta}} {\ partial x ^ {\ gamma}}} \\ [6pt] & = {\ frac {\ partial x ^ {\ delta}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ alpha}}} {\ frac {\ partial x ^ {\ gamma}} {\ partial {\ bar {x} } ^ {\ beta}}} \ left ({\ frac {\ partial A _ {\ gamma}} {\ partial x ^ {\ delta}}}} - {\ frac {\ partial A _ {\ delta}} {\ partial x ^ {\ gamma}}} \ right) \\ [6pt] & = {\ frac {\ partial x ^ {\ delta}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ alpha}}} {\ frac {\ partial x ^ {\ gamma}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ beta}}} F _ {\ delta \ gamma} \ end {выровнено}}}$

Из этого определения следует, что электромагнитное поле удовлетворяет

${\ displaystyle \ partial _ {\ lambda} F _ {\ mu \ nu} + \ partial _ {\ mu} F _ {\ nu \ lambda} + \ partial _ {\ nu} F _ {\ lambda \ mu} = 0, }$

который включает в себя закон Фарадея индукции и закон Гаусса для магнетизма . Это видно по

${\ displaystyle \ partial _ {\ lambda} F _ {\ mu \ nu} + \ partial _ {\ mu} F _ {\ nu \ lambda} + \ partial _ {\ nu} F _ {\ lambda \ mu} = \ partial _ {\ lambda} \ partial _ {\ mu} A _ {\ nu} - \ partial _ {\ lambda} \ partial _ {\ nu} A _ {\ mu} + \ partial _ {\ mu} \ partial _ {\ nu} A _ {\ lambda} - \ partial _ {\ mu} \ partial _ {\ lambda} A _ {\ nu} + \ partial _ {\ nu} \ partial _ {\ lambda} A _ {\ mu} - \ partial _ {\ nu} \ partial _ {\ mu} A _ {\ lambda} = 0.}$

Хотя кажется, что в системе Фарадея – Гаусса 64 уравнения, на самом деле она сводится всего к четырем независимым уравнениям. Используя антисимметрию электромагнитного поля, можно либо свести к тождеству (0 = 0), либо сделать избыточными все уравнения, кроме тех, в которых λ , μ , ν равны 1, 2, 3 или 2, 3, 0 или 3, 0, 1 или 0, 1, 2.

Уравнение Фарадея – Гаусса иногда записывают

${\ displaystyle F _ {[\ mu \ nu; \ lambda]} = F _ {[\ mu \ nu, \ lambda]} = {\ frac {1} {6}} \ left (\ partial _ {\ lambda} F_ {\ mu \ nu} + \ partial _ {\ mu} F _ {\ nu \ lambda} + \ partial _ {\ nu} F _ {\ lambda \ mu} - \ partial _ {\ lambda} F _ {\ nu \ mu } - \ partial _ {\ mu} F _ {\ lambda \ nu} - \ partial _ {\ nu} F _ {\ mu \ lambda} \ right) = {\ frac {1} {3}} \ left (\ partial _ {\ lambda} F _ {\ mu \ nu} + \ partial _ {\ mu} F _ {\ nu \ lambda} + \ partial _ {\ nu} F _ {\ lambda \ mu} \ right) = 0,}$

где точка с запятой указывает на ковариантную производную, запятая указывает на частную производную, а квадратные скобки указывают на антисимметризацию (см. обозначения в исчислении Риччи ). Ковариантная производная электромагнитного поля равна

${\ displaystyle F _ {\ alpha \ beta; \ gamma} = F _ {\ alpha \ beta, \ gamma} - {\ Gamma ^ {\ mu}} _ {\ alpha \ gamma} F _ {\ mu \ beta} - { \ Gamma ^ {\ mu}} _ {\ beta \ gamma} F _ {\ alpha \ mu},}$

где Γ ^α _βγ - символ Кристоффеля , симметричный по своим нижним индексам.

Электромагнитное смещение

Электрическая индукция , D , и вспомогательное магнитное поле , Н , образуют антисимметричную контравариантным ранг 2 тензора плотность веса +1. В вакууме это дается выражением

${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ mu \ nu} \, = \, {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \, g ^ {\ mu \ alpha} \, F_ {\ alpha \ beta} \, g ^ {\ beta \ nu} \, {\ frac {\ sqrt {-g}} {c}} \ ,.}$

Это уравнение - единственное место, где метрика (и, следовательно, гравитация) входит в теорию электромагнетизма. Кроме того, уравнение инвариантно при изменении масштаба, то есть умножение метрики на константу не влияет на это уравнение. Следовательно, гравитация может влиять на электромагнетизм только путем изменения скорости света относительно используемой глобальной системы координат. Свет отражается только под действием силы тяжести, потому что он медленнее приближается к массивным телам. Это как если бы гравитация увеличивала показатель преломления пространства около массивных тел.

В целом, в материалах , где намагниченность - поляризационный тензор не равен нулю, то есть

${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ mu \ nu} \, = \, {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \, g ^ {\ mu \ alpha} \, F_ {\ alpha \ beta} \, g ^ {\ beta \ nu} \, {\ frac {\ sqrt {-g}} {c}} \, - \, {\ mathcal {M}} ^ {\ mu \ nu} \ ,.}$

Закон преобразования для электромагнитного смещения имеет вид

${\ displaystyle {\ bar {\ mathcal {D}}} ^ {\ mu \ nu} \, = \, {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ mu}} {\ partial x ^ {\ alpha}}} \, {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ nu}} {\ partial x ^ {\ beta}}} \, {\ mathcal {D}} ^ {\ альфа \ бета} \, \ det \ left [{\ frac {\ partial x ^ {\ sigma}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ rho}}} \ right] \,}$

где использован определитель Якоби . Если использовать тензор намагниченности-поляризации, он имеет тот же закон преобразования, что и электромагнитное смещение.

Электрический ток

Электрический ток - это расхождение электромагнитного смещения. В вакууме

${\ displaystyle J ^ {\ mu} = \ partial _ {\ nu} {\ mathcal {D}} ^ {\ mu \ nu}.}$

Если используется намагничивание-поляризация, то это просто дает свободную часть тока.

${\ displaystyle J _ {\ text {free}} ^ {\ mu} = \ partial _ {\ nu} {\ mathcal {D}} ^ {\ mu \ nu}.}$

Это включает в себя Закон Ампера и закон Гаусса .

В любом случае тот факт, что электромагнитное смещение является антисимметричным, означает, что электрический ток автоматически сохраняется.

${\ Displaystyle \ partial _ {\ mu} J ^ {\ mu} = \ partial _ {\ mu} \ partial _ {\ nu} {\ mathcal {D}} ^ {\ mu \ nu} = 0,}$

потому что частные производные коммутируют .

Определение электрического тока Ампера-Гаусса недостаточно для определения его значения, потому что электромагнитному потенциалу (из которого он в конечном итоге был получен) не было присвоено значение. Вместо этого обычная процедура состоит в том, чтобы приравнять электрический ток к какому-либо выражению в терминах других полей, в основном электрона и протона, а затем решить для электромагнитного смещения, электромагнитного поля и электромагнитного потенциала.

Электрический ток представляет собой контравариантную векторную плотность и, как таковой, преобразуется следующим образом:

${\ displaystyle {\ bar {J}} ^ {\ mu} = {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ mu}} {\ partial x ^ {\ alpha}}} J ^ {\ alpha} \ det \ left [{\ frac {\ partial x ^ {\ sigma}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ rho}}} \ right].}$

Проверка этого закона преобразования

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ bar {J}} ^ {\ mu} & = {\ frac {\ partial} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ nu}}} \ left ( {\ bar {\ mathcal {D}}} ^ {\ mu \ nu} \ right) \\ [6pt] & = {\ frac {\ partial} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ nu} }} \ left ({\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ mu}} {\ partial x ^ {\ alpha}}}} {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ { \ Nu}} {\ partial x ^ {\ beta}}} {\ mathcal {D}} ^ {\ alpha \ beta} \ det \ left [{\ frac {\ partial x ^ {\ sigma}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ rho}}} \ right] \ right) \\ [6pt] & = {\ frac {\ partial ^ {2} {\ bar {x}} ^ {\ mu}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ nu} \ partial x ^ {\ alpha}}} {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ nu}} {\ partial x ^ { \ beta}}} {\ mathcal {D}} ^ {\ alpha \ beta} \ det \ left [{\ frac {\ partial x ^ {\ sigma}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ rho}}} \ right] + {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ mu}} {\ partial x ^ {\ alpha}}} {\ frac {\ partial ^ {2} {\ bar {x}} ^ {\ nu}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ nu} \ partial x ^ {\ beta}}} {\ mathcal {D}} ^ {\ alpha \ beta} \ det \ left [{\ frac {\ partial x ^ {\ sigma}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ rho}}} \ right] + {\ frac {\ partial {\ bar {x }} ^ {\ mu}} {\ partial x ^ {\ alp ha}}} {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ nu}} {\ partial x ^ {\ beta}}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {D}} ^ {\ альфа \ бета}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ nu}}} \ det \ left [{\ frac {\ partial x ^ {\ sigma}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ rho}}} \ right] + {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ mu}} {\ partial x ^ {\ alpha}}} {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ nu}} {\ partial x ^ {\ beta}}} {\ mathcal {D}} ^ {\ alpha \ beta} {\ frac {\ partial} {\ partial {\ bar {x }} ^ {\ nu}}} \ det \ left [{\ frac {\ partial x ^ {\ sigma}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ rho}}} \ right] \\ [ 6pt] & = {\ frac {\ partial ^ {2} {\ bar {x}} ^ {\ mu}} {\ partial x ^ {\ beta} \ partial x ^ {\ alpha}}} {\ mathcal { D}} ^ {\ alpha \ beta} \ det \ left [{\ frac {\ partial x ^ {\ sigma}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ rho}}} \ right] + { \ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ mu}} {\ partial x ^ {\ alpha}}} {\ frac {\ partial ^ {2} {\ bar {x}} ^ {\ nu }} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ nu} \ partial x ^ {\ beta}}} {\ mathcal {D}} ^ {\ alpha \ beta} \ det \ left [{\ frac { \ partial x ^ {\ sigma}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ rho}}} \ right] + {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ mu}} { \ partial x ^ {\ alpha}}} {\ fr ac {\ partial {\ mathcal {D}} ^ {\ alpha \ beta}} {\ partial x ^ {\ beta}}} \ det \ left [{\ frac {\ partial x ^ {\ sigma}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ rho}}} \ right] + {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ mu}} {\ partial x ^ {\ alpha}}} { \ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ nu}} {\ partial x ^ {\ beta}}} {\ mathcal {D}} ^ {\ alpha \ beta} \ det \ left [{\ frac {\ partial x ^ {\ sigma}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ rho}}} \ right] {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ rho}} {\ partial x ^ {\ sigma}}} {\ frac {\ partial ^ {2} x ^ {\ sigma}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ nu} \ partial {\ bar {x }} ^ {\ rho}}} \\ [6pt] & = 0 + {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ mu}} {\ partial x ^ {\ alpha}}} {\ frac {\ partial ^ {2} {\ bar {x}} ^ {\ nu}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ nu} \ partial x ^ {\ beta}}} {\ mathcal { D}} ^ {\ alpha \ beta} \ det \ left [{\ frac {\ partial x ^ {\ sigma}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ rho}}} \ right] + { \ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ mu}} {\ partial x ^ {\ alpha}}} J ^ {\ alpha} \ det \ left [{\ frac {\ partial x ^ {\ sigma}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ rho}}} \ right] + {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ mu}} {\ partial x ^ {\ альфа}}} {\ mathcal {D}} ^ {\ alpha \ beta} \ det \ left [{\ frac {\ partial x ^ {\ sigma}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ rho}}} \ right] {\ frac {\ partial {\ бар {x}} ^ {\ rho}} {\ partial x ^ {\ sigma}}} {\ frac {\ partial ^ {2} x ^ {\ sigma}} {\ partial x ^ {\ beta} \ partial {\ bar {x}} ^ {\ rho}}} \\ [6pt] & = {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ mu}} {\ partial x ^ {\ alpha}} } J ^ {\ alpha} \ det \ left [{\ frac {\ partial x ^ {\ sigma}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ rho}}} \ right] + {\ frac { \ partial {\ bar {x}} ^ {\ mu}} {\ partial x ^ {\ alpha}}} {\ mathcal {D}} ^ {\ alpha \ beta} \ det \ left [{\ frac {\ частичный x ^ {\ sigma}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ rho}}} \ right] \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} {\ bar {x}} ^ { \ nu}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ nu} \ partial x ^ {\ beta}}} + {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ rho}} { \ partial x ^ {\ sigma}}} {\ frac {\ partial ^ {2} x ^ {\ sigma}} {\ partial x ^ {\ beta} \ partial {\ bar {x}} ^ {\ rho} }} \ right) \ end {выровнен}}}$

Остается только показать, что

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} {\ bar {x}} ^ {\ nu}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ nu} \ partial x ^ {\ beta}} } + {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ rho}} {\ partial x ^ {\ sigma}}} {\ frac {\ partial ^ {2} x ^ {\ sigma}} { \ partial x ^ {\ beta} \ partial {\ bar {x}} ^ {\ rho}}} = 0}$

которая является версией известной теоремы (см. Обратные функции и дифференцирование § Высшие производные ).

${\ displaystyle {\ begin {align} & {\ frac {\ partial ^ {2} {\ bar {x}} ^ {\ nu}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ nu} \ partial x ^ {\ beta}}} + {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ rho}} {\ partial x ^ {\ sigma}}} {\ frac {\ partial ^ {2} x ^ {\ sigma}} {\ partial x ^ {\ beta} \ partial {\ bar {x}} ^ {\ rho}}} \\ [6pt] {} = {} & {\ frac {\ partial x ^ {\ sigma}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ nu}}} {\ frac {\ partial ^ {2} {\ bar {x}} ^ {\ nu}} {\ partial x ^ {\ sigma} \ partial x ^ {\ beta}}} + {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ nu}} {\ partial x ^ {\ sigma}}} {\ frac {\ partial ^ {2} x ^ {\ sigma}} {\ partial x ^ {\ beta} \ partial {\ bar {x}} ^ {\ nu}}} \\ [6pt] {} = {} & {\ frac {\ partial x ^ {\ sigma}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ nu}}} {\ frac {\ partial ^ {2} {\ bar {x}} ^ {\ nu} } {\ partial x ^ {\ beta} \ partial x ^ {\ sigma}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} x ^ {\ sigma}} {\ partial x ^ {\ beta} \ partial { \ bar {x}} ^ {\ nu}}} {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ nu}} {\ partial x ^ {\ sigma}}} \\ [6pt] {} = {} & {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {\ beta}}} \ left ({\ frac {\ partial x ^ {\ sigma}} {\ partial {\ bar {x}} ^ { \ nu}}} {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ nu}} {\ p artial x ^ {\ sigma}}} \ right) \\ [6pt] {} = {} & {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {\ beta}}} \ left ({\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ nu}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ nu}}} \ right) \\ [6pt] {} = {} & {\ frac {\ partial } {\ partial x ^ {\ beta}}} \ left (\ mathbf {4} \ right) \\ [6pt] {} = {} & 0 \ end {выровнено}}}$

Плотность силы Лоренца

Плотность силы Лоренца представляет собой ковариантную векторную плотность, задаваемую формулой

${\ displaystyle f _ {\ mu} = F _ {\ mu \ nu} J ^ {\ nu}.}$

Сила, действующая на пробную частицу, подверженную только гравитации и электромагнетизму, равна

${\ displaystyle {\ frac {dp _ {\ alpha}} {dt}} = \ Gamma _ {\ alpha \ gamma} ^ {\ beta} p _ {\ beta} {\ frac {dx ^ {\ gamma}} {dt }} + qF _ {\ alpha \ gamma} {\ frac {dx ^ {\ gamma}} {dt}}}$

где p _α - линейный 4-импульс частицы, t - любая временная координата, параметризующая мировую линию частицы, Γ ^β _αγ - символ Кристоффеля (гравитационное силовое поле), а q - электрический заряд частицы.

Это уравнение инвариантно при изменении временной координаты; просто умножьте на и используйте правило цепочки . Он также инвариантен при изменении системы координат x . ${\ displaystyle dt / d {\ bar {t}}}$

Использование закона преобразования для символа Кристоффеля

${\ displaystyle {\ bar {\ Gamma}} _ {\ alpha \ gamma} ^ {\ beta} = {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ beta}} {\ partial x ^ {\ epsilon}}} {\ frac {\ partial x ^ {\ delta}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ alpha}}} {\ frac {\ partial x ^ {\ zeta}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ gamma}}} \ Gamma _ {\ delta \ zeta} ^ {\ epsilon} + {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ beta}} {\ частичный x ^ {\ eta}}} {\ frac {\ partial ^ {2} x ^ {\ eta}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ alpha} \ partial {\ bar {x}} ^ {\ gamma}}}}$

мы получаем

${\ displaystyle {\ begin {align} & {\ frac {d {\ bar {p}} _ {\ alpha}} {dt}} - {\ bar {\ Gamma}} _ {\ alpha \ gamma} ^ { \ beta} {\ bar {p}} _ {\ beta} {\ frac {d {\ bar {x}} ^ {\ gamma}} {dt}} - q {\ bar {F}} _ {\ alpha \ gamma} {\ frac {d {\ bar {x}} ^ {\ gamma}} {dt}} \\ [6pt] {} = {} & {\ frac {d} {dt}} \ left ({ \ frac {\ partial x ^ {\ delta}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ alpha}}} p _ {\ delta} \ right) - \ left ({\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ beta}} {\ partial x ^ {\ theta}}} {\ frac {\ partial x ^ {\ delta}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ alpha}} } {\ frac {\ partial x ^ {\ iota}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ gamma}}} \ Gamma _ {\ delta \ iota} ^ {\ theta} + {\ frac { \ partial {\ bar {x}} ^ {\ beta}} {\ partial x ^ {\ eta}}} {\ frac {\ partial ^ {2} x ^ {\ eta}} {\ partial {\ bar { x}} ^ {\ alpha} \ partial {\ bar {x}} ^ {\ gamma}}} \ right) {\ frac {\ partial x ^ {\ epsilon}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ beta}}} p _ {\ epsilon} {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ gamma}} {\ partial x ^ {\ zeta}}} {\ frac {dx ^ {\ zeta}} {dt}} - q {\ frac {\ partial x ^ {\ delta}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ alpha}}} F _ {\ delta \ zeta} {\ frac { dx ^ {\ zeta}} {dt}} \\ [6pt] {} = {} & {\ frac {\ partial x ^ {\ delta}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ alpha}}} \ left ({\ frac {dp _ {\ delta}} {dt}} - \ Gamma _ { \ delta \ zeta} ^ {\ epsilon} p _ {\ epsilon} {\ frac {dx ^ {\ zeta}} {dt}} - qF _ {\ delta \ zeta} {\ frac {dx ^ {\ zeta}} { dt}} \ right) + {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ frac {\ partial x ^ {\ delta}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ alpha}}} \ right) p _ {\ delta} - \ left ({\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ beta}} {\ partial x ^ {\ eta}}} {\ frac {\ partial ^ { 2} x ^ {\ eta}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ alpha} \ partial {\ bar {x}} ^ {\ gamma}}} \ right) {\ frac {\ partial x ^ {\ epsilon}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ beta}}} p _ {\ epsilon} {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ gamma}} {\ partial x ^ {\ zeta}}} {\ frac {dx ^ {\ zeta}} {dt}} \\ [6pt] {} = {} & 0 + {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ frac {\ partial x ^ {\ delta}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ alpha}}} \ right) p _ {\ delta} - {\ frac {\ partial ^ {2} x ^ {\ epsilon}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ alpha} \ partial {\ bar {x}} ^ {\ gamma}}} p _ {\ epsilon} {\ frac {d {\ bar {x}) } ^ {\ gamma}} {dt}} \\ [6pt] {} = {} & 0 \ end {align}}}$

Лагранжиан

В вакууме плотность лагранжиана для классической электродинамики (в джоулях на метр ³ ) является скалярной плотностью

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \, = \, - {\ frac {1} {4 \ mu _ {0}}} \, F _ {\ alpha \ beta} \, F ^ {\ alpha \ beta } \, {\ frac {\ sqrt {-g}} {c}} \, + \, A _ {\ alpha} \, J ^ {\ alpha} \,}$

куда

${\ displaystyle F ^ {\ alpha \ beta} = g ^ {\ alpha \ gamma} F _ {\ gamma \ delta} g ^ {\ delta \ beta} \ ,.}$

Четыре-ток следует понимать как аббревиатуру многих терминов, выражающих электрические токи других заряженных полей через их переменные.

Если отделить свободные токи от связанных токов, лагранжиан станет

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \, = \, - {\ frac {1} {4 \ mu _ {0}}} \, F _ {\ alpha \ beta} \, F ^ {\ alpha \ beta } \, {\ frac {\ sqrt {-g}} {c}} \, + \, A _ {\ alpha} \, J _ {\ text {free}} ^ {\ alpha} \, + \, {\ гидроразрыв {1} {2}} \, F _ {\ alpha \ beta} \, {\ mathcal {M}} ^ {\ alpha \ beta} \ ,.}$

Электромагнитный тензор энергии-напряжения.

Как часть истокового члена в уравнениях поля Эйнштейна , электромагнитный тензор энергии-импульса является ковариантным симметричным тензором

${\ displaystyle T _ {\ mu \ nu} = - {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ left (F _ {\ mu \ alpha} g ^ {\ alpha \ beta} F _ {\ beta \ nu} - {\ frac {1} {4}} g _ {\ mu \ nu} F _ {\ sigma \ alpha} g ^ {\ alpha \ beta} F _ {\ beta \ rho} g ^ {\ rho \ sigma} \Правильно)}$

используя метрику подписи (-, +, +, +). При использовании метрики с подписью (+, -, -, -) выражение для будет иметь противоположный знак. Тензор энергии-импульса бесследов. ${\ Displaystyle Т _ {\ му \ ню}}$

${\ Displaystyle Т _ {\ му \ ню} г ^ {\ му \ ню} = 0}$

потому что электромагнетизм распространяется с локальной инвариантной скоростью и конформно инвариантен.

В выражении для сохранения энергии и импульса электромагнитный тензор энергии-импульса лучше всего представить в виде смешанной тензорной плотности

${\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ mu} ^ {\ nu} = T _ {\ mu \ gamma} g ^ {\ gamma \ nu} {\ frac {\ sqrt {-g}} {c} }.}$

Из приведенных выше уравнений можно показать, что

${\ Displaystyle {{\ mathfrak {T}} _ {\ mu} ^ {\ nu}} _ {; \ nu} + f _ {\ mu} = 0}$

где точка с запятой указывает на ковариантную производную .

Это можно переписать как

${\ displaystyle - {{\ mathfrak {T}} _ {\ mu} ^ {\ nu}} _ {, \ nu} = - \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ sigma} {\ mathfrak {T }} _ {\ sigma} ^ {\ nu} + f _ {\ mu}}$

который говорит, что уменьшение электромагнитной энергии такое же, как работа, совершаемая электромагнитным полем над гравитационным полем, плюс работа, совершаемая над веществом (через силу Лоренца), и аналогично скорость уменьшения электромагнитного линейного импульса равна электромагнитная сила, действующая на гравитационное поле, плюс сила Лоренца, действующая на материю.

Вывод закона сохранения.

${\ displaystyle {\ begin {align} {{\ mathfrak {T}} _ {\ mu} ^ {\ nu}} _ {; \ nu} + f _ {\ mu} & = - {\ frac {1} { \ mu _ {0}}} \ left (F _ {\ mu \ alpha; \ nu} g ^ {\ alpha \ beta} F _ {\ beta \ gamma} g ^ {\ gamma \ nu} + F _ {\ mu \ alpha} g ^ {\ alpha \ beta} F _ {\ beta \ gamma; \ nu} g ^ {\ gamma \ nu} - {\ frac {1} {2}} \ delta _ {\ mu} ^ {\ nu } F _ {\ sigma \ alpha; \ nu} g ^ {\ alpha \ beta} F _ {\ beta \ rho} g ^ {\ rho \ sigma} \ right) {\ frac {\ sqrt {-g}} {c }} + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} F _ {\ mu \ alpha} g ^ {\ alpha \ beta} F _ {\ beta \ gamma; \ nu} g ^ {\ gamma \ nu } {\ frac {\ sqrt {-g}} {c}} \\ [6pt] & = - {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ left (F _ {\ mu \ alpha; \ nu} F ^ {\ alpha \ nu} - {\ frac {1} {2}} F _ {\ sigma \ alpha; \ mu} F ^ {\ alpha \ sigma} \ right) {\ frac {\ sqrt {- g}} {c}} \\ [6pt] & = - {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ left (\ left (-F _ {\ nu \ mu; \ alpha} -F_ { \ alpha \ nu; \ mu} \ right) F ^ {\ alpha \ nu} - {\ frac {1} {2}} F _ {\ sigma \ alpha; \ mu} F ^ {\ alpha \ sigma} \ right ) {\ frac {\ sqrt {-g}} {c}} \\ [6pt] & = - {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ left (F _ {\ mu \ nu; \ alpha} F ^ {\ alpha \ nu} -F _ {\ alpha \ nu; \ mu} F ^ {\ alpha \ nu} + {\ frac {1} {2}} F _ {\ sigma \ alpha; \ mu} F ^ {\ sigma \ alpha} \ right) {\ frac {\ sqrt {-g}} {c}} \\ [6pt] & = - {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ left (F_ { \ mu \ alpha; \ nu} F ^ {\ nu \ alpha} - {\ frac {1} {2}} F _ {\ alpha \ nu; \ mu} F ^ {\ alpha \ nu} \ right) {\ frac {\ sqrt {-g}} {c}} \\ [6pt] & = - {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ left (-F _ {\ mu \ alpha; \ nu} F ^ {\ alpha \ nu} + {\ frac {1} {2}} F _ {\ sigma \ alpha; \ mu} F ^ {\ alpha \ sigma} \ right) {\ frac {\ sqrt {-g} } {c}} \ end {выровнены}}}$

который равен нулю, потому что он отрицателен сам по себе (см. четыре строки выше).

Уравнение электромагнитной волны

Уравнение неоднородной электромагнитной волны в терминах тензора поля модифицируется с формы специальной теории относительности на

${\ displaystyle \ Box F_ {ab} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ F_ {ab;} {} ^ {d} {} _ {d} = - 2R_ {acbd} F ^ {cd} + R_ {ae} F ^ {e} {} _ {b} -R_ {be} F ^ {e} {} _ {a} + J_ {a; b} -J_ {b; a}}$

где R _acbd - ковариантная форма тензора Римана и обобщение оператора Даламбера для ковариантных производных. С использованием ${\ displaystyle \ Box}$

${\ displaystyle \ Box A ^ {a} = {{A ^ {a;}} ^ {b}} _ {b}}$

Уравнения источника Максвелла могут быть записаны в терминах 4-потенциала [ссылка 2, с. 569] как,

${\ displaystyle \ Box A ^ {a} - {A ^ {b; a}} _ {b} = - \ mu _ {0} J ^ {a}}$

или, предполагая обобщение калибровки Лоренца в искривленном пространстве-времени

${\ displaystyle {\ begin {align} {A ^ {a}} _ {; a} & = 0, \\\ Box A ^ {a} & = - \ mu _ {0} J ^ {a} + { R ^ {a}} _ {b} A ^ {b} \ end {align}}}$

где - тензор кривизны Риччи . ${\ Displaystyle R_ {ab} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {R ^ {s}} _ {asb}}$

Это та же форма волнового уравнения, что и в плоском пространстве-времени, за исключением того, что производные заменены ковариантными производными и есть дополнительный член, пропорциональный кривизне. Волновое уравнение в этой форме также имеет некоторое сходство с силой Лоренца в искривленном пространстве-времени, где A ^a играет роль 4-позиции.

Для случая метрической сигнатуры в виде (+, -, -, -) в статье проводится вывод волнового уравнения в искривленном пространстве-времени.

Нелинейность уравнений Максвелла в динамическом пространстве-времени

Когда уравнения Максвелла рассматриваются независимо от фона , то есть когда метрика пространства-времени считается динамической переменной, зависящей от электромагнитного поля, тогда уравнение электромагнитной волны и уравнения Максвелла являются нелинейными. Это можно увидеть, заметив, что тензор кривизны зависит от тензора энергии-импульса через уравнение поля Эйнштейна

${\ displaystyle G_ {ab} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T_ {ab}}$

куда

${\ displaystyle {G} _ {ab} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {R} _ {ab} - {1 \ over 2} {R} g_ {ab}}$

- тензор Эйнштейна , G - гравитационная постоянная , g _ab - метрический тензор , а R ( скалярная кривизна ) - след тензора кривизны Риччи. Тензор энергии-импульса состоит из энергии-импульса частиц, а также энергии-импульса электромагнитного поля. Это порождает нелинейность.

Геометрическая формулировка

В дифференциально-геометрической формулировке электромагнитного поля антисимметричный тензор Фарадея можно рассматривать как 2-форму Фарадея . С этой точки зрения одно из двух уравнений Максвелла имеет вид ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$

${\ Displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {F} = 0,}$

где - оператор внешней производной . Это уравнение полностью координатно и метрически не зависит и говорит, что электромагнитный поток через замкнутую двумерную поверхность в пространстве-времени является топологическим, точнее, зависит только от его класса гомологии (обобщение интегральной формы закона Гаусса и уравнения Максвелла-Фарадея поскольку класс гомологии в пространстве Минковского автоматически равен 0). По лемме Пуанкаре из этого уравнения следует (по крайней мере, локально), что существует 1-форма, удовлетворяющая ${\ displaystyle \ mathrm {d}}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

${\ displaystyle \ mathbf {F} = \ mathrm {d} \ mathbf {A}.}$

Другое уравнение Максвелла

${\ displaystyle \ mathrm {d} \ star \ mathbf {F} = \ mathbf {J}.}$

В этом контексте это текущая 3-форма (или, точнее, скрученная тройная форма), а звездочка обозначает звездный оператор Ходжа . Зависимость уравнения Максвелла от метрики пространства-времени заключается в операторе звезды Ходжа на двух формах, который конформно инвариантен . Написанное таким образом уравнение Максвелла одинаково в любом пространстве-времени, явно координатно инвариантно и удобно в использовании (даже в пространстве Минковского или евклидовом пространстве и времени, особенно с криволинейными координатами). ${\ displaystyle \ mathbf {J}}$${\ displaystyle \ star}$${\ displaystyle \ star}$

Альтернативная геометрическая интерпретация является то , что Фарадей две формы представляет собой ( с точностью до множителя ) с 2-формой кривизны в виде U (1) - соединение на главной U (1) -расслоения которого участки представляют собой заряженные поля. Связь очень похожа на векторный потенциал, поскольку каждое соединение может быть записано как "базовое" соединение и ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$${\ displaystyle i}$ ${\ Displaystyle F (\ набла)}$ ${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle \ nabla = \ nabla _ {0} + iA}$${\ displaystyle \ nabla _ {0}}$

${\ displaystyle \ mathbf {F} = \ mathbf {F} _ {0} + \ mathrm {d} \ mathbf {A}.}$

С этой точки зрения «уравнение» Максвелла является математическим тождеством, известным как тождество Бианки . Уравнение - единственное уравнение с любым физическим содержанием в этой формулировке. Эта точка зрения особенно естественна при рассмотрении заряженных полей или квантовой механики. Это можно интерпретировать как утверждение, что, подобно тому, как гравитацию можно понять как результат необходимости подключения к параллельным векторам переноса в разных точках , можно понять электромагнитные явления или более тонкие квантовые эффекты, такие как эффект Ахаранова-Бома. в результате необходимости подключения к параллельным транспортным заряженным полям или волновым участкам в разных точках. Фактически, подобно тому, как тензор Римана является голономией связности Леви Чивиты вдоль бесконечно малой замкнутой кривой, кривизна связности является голономией U (1) -связности. ${\ Displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {F} = 0}$${\ Displaystyle \ mathrm {d} \ звезда \ mathbf {F} = \ mathbf {J}}$

Смотрите также

• Уравнение электромагнитной волны
• Неоднородное уравнение электромагнитной волны
• Математические описания электромагнитного поля.
• Формулировка уравнений Максвелла в специальной теории относительности
• Теоретическая мотивация общей теории относительности
• Основное введение в математику искривленного пространства-времени
• Электровакуумный раствор
• Парадокс заряда в гравитационном поле

Примечания

использованная литература

• Эйнштейн, А. (1961). Относительность: специальная и общая теория . Нью-Йорк: Корона. ISBN 0-517-02961-8.
• Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип С .; Уиллер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация . Сан-Франциско: WH Freeman . ISBN 0-7167-0344-0.
• Ландау, ЛД ; Лифшиц Е.М. (1975). Классическая теория полей (четвертое пересмотренное английское издание). Оксфорд: Пергамон. ISBN 0-08-018176-7.
• Фейнман, Р.П . ; Моринго, ФБ; Вагнер, WG (1995). Лекции Фейнмана по гравитации . Эддисон-Уэсли . ISBN 0-201-62734-5.

внешние ссылки

• Электромагнитные поля в искривленном пространстве-времени